段麗芬,左明霞,王宏志

(1.通化師范學院數(shù)學學院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

1 預備知識

一致凸(UR)點和弱一致凸(WUR)點是Banach空間幾何學的重要概念,應用廣泛[1-4].Orlicz空間作為一類具體的Banach空間,涵蓋內容豐富,對其UR 點和WUR點的刻畫十分重要.賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的UR 點和WUR點的判據(jù)早已獲得[5-8].2010年,李小彥又得到了賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的UR 點和WUR點的判據(jù)[9].本文給出賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的UR 點和WUR點的判別準則.

設M(u)、N(v)是一對互余的N-函數(shù),p+(u)表示M(u)的右導數(shù).M∈Δ2指存在常數(shù)k>0使M(2x)≤kM(x)對較小x成 立.M∈2?N∈Δ2.記

SM={u∈R+:?ε>0,2M(u)<

M(u+ε)+M(u-ε)},

線性集

及閉子空間

關于Orlicz范數(shù):

Luxemburg范數(shù):

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1},

及廣義Orlicz范數(shù):

引理設M是N-函數(shù),M∈Δ2∩2,xn=(xn(i))∈lM,p(1

則

證明由文獻[7]中定理2的證明過程易得,略.

2 主要結果及證明

定理1 設M是N-函數(shù),p+(u)連續(xù),x0=(x0(i))∈S(lM,p)(1

(i)x0是UR點;

(ii)x0是WUR點;

(iii) 1)M∈Δ2∩2；2) {k0|x0(i)|:i=1,2,…}中至多有一個元不屬于SM;3) {k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?或者{k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?這里

證明(i)? (ii)顯然.

(ii)? (iii) 首先證明M∈Δ2.若不然,存在z(t)∈lM,phM,p及奇異泛函φ,使得ρM(z)<∞,φ(k0x0-z)≠0.令

則

‖x0+xn‖M,p≥

2‖(x0(1),x0(2),…,x0(n),0,0，…)‖M,p→

2‖x0‖M,p=2,

因此

進而

但

其次證明M∈2.若不然,存在正數(shù)列vn↓0,使得

(n=1,2,…).

取正整數(shù)mn,使

因M∈2,可取足夠大的in,使得

‖(0,…,0,x0(in+1),…,x0(in+mn),

令

則

2mnnN(vn)>n(mn+1)N(vn)>1,

因此

取

再取y0=(y0(i))∈lN,q,使‖y0‖N,q=1,且

令l0>1,使

定義

gn=(y0(1),…,y0(in),vn,…,vn,y0(in+mn+

1),…).

則

于是

…,0,x(in+1),…,x(in+mn),0,…)‖M,p+

因WUR點必為端點,由文獻[10]知,2)成立.下面證明3).

因p+(u)連續(xù),有

故

又

則

但x0≠x′,這與x0是WUR點矛盾.

(iii)?(i)設

xn=(xn(i))∈lM,p(n=1,2,…),

且

所以

其中

于是

這與‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.

ε4=1+ε4.

(1)

ρN(p+(k0x0))-ε7=1-ε7;

由定理1立即可得：

定理2 設M是N-函數(shù),p+(u)連續(xù),則對任何1

(i)lM,p局部UR;

(ii)lM,p弱局部UR;

(iii)M∈Δ2∩2且M(u)在[0,πM,p(1)]上嚴格凸.其中

πM,p(α)=inf{t>0:2p[M(t)]p-1·

N(p+(t))>α}.

[1] 黃建鋒,王元恒.迭代逼近m-增生映象的零點[J].數(shù)學學報:中文版,2008,51(3):435-446.

[2] 彭春,嵇偉民.一致凸Banach空間中漸近非擴張映射不動點的粘性逼近[J].大學數(shù)學,2010,26(5):50-57.

[3] 成娟.一致凸(擬凸)風險測度的基本特征[D].南京:南京理工大學,2013.

[4] 馬明娟,鄧鍵,黃慶道，等.非精確條件下的譜共軛梯度算法[J].吉林大學學報:理學版,2009,47(2):207-210.

[5] 陳述濤,王廷輔.Orlicz空間的UR點和WUR點[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,1992,8(3):5-10.

[6] 王廷輔,任重道,張永林.Orlicz空間的UR點和WUR點[J].數(shù)學雜志,1993,13(4):443-452.

[7] LI Y H,LEE P Y,WANG T F.On the UR and WUR points of orlicz sequence spaces[J].數(shù)學研究,1994,27(1):97-103.

[8] 韓彥昌.Orlicz序列空間的UR點和WUR點判據(jù)[J].哈爾濱理工大學學報,2002,7(1):87-89.

[9] 李小彥.賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的若干性質[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學,2010.

[10] 段麗芬,崔云安.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的端點和強端點[J].華東師范大學學報:自然科學版,2009(1):53-60.