葉 琳, 仇秋生

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

向量均衡問題包含向量優(yōu)化、向量變分不等式等問題,一直受到廣泛研究.Giannessi[1]首先在有限維空間中研究了向量變分不等式問題;文獻[2]給出了無限維空間中的向量變分不等式并且把它應(yīng)用于向量優(yōu)化問題.隨后越來越多的人開始把向量均衡問題擴展到抽象的空間,研究了不同情況下向量均衡問題的解的存在性[1]、靈敏性分析[3]、連續(xù)性[4]、連通性[5].最近,一些學者開始研究向量均衡問題的解的最優(yōu)性條件.Giannessi等[6]把帶約束的向量變分不等式問題轉(zhuǎn)化成無約束的向量不等式問題,并給出了有限維空間中向量變分不等式的弱有效解的充分性和必要性條件;文獻[7]在Banach空間中研究了向量變分不等式問題的近似解的最優(yōu)性條件;文獻[8]給出了錐凸條件下帶約束的向量均衡問題的弱有效解、Henig有效解和超有效解的充分性和必要性條件;文獻[9]在廣義凸條件下得到了向量均衡問題的弱有效解的充分必要性條件;文獻[10]在更弱的凸性下研究了Henig有效解的最優(yōu)性條件.

線性空間是比拓撲空間更廣的空間,但是很少有人研究線性空間中向量均衡問題的解的最優(yōu)性條件,特別是對向量均衡問題的有效解的最優(yōu)性條件的研究更少.本文首先給出線性空間中弱有效解的最優(yōu)性條件;其次進一步研究了有效解的最優(yōu)性條件;最后,以弱有效解為例給出了帶約束的向量變分不等式的解的最優(yōu)性條件.

1 定義和引理

本文假設(shè)X,Y,Z是實線性空間,C?Y和K?Z是點凸錐,Y*和Z*分別是Y和Z的代數(shù)對偶空間.因此,C的代數(shù)對偶錐和C的嚴格代數(shù)對偶錐分別為C*={y*∈Y*| 〈y*,y〉≥0,?y∈C}和C+={y*∈Y*| 〈y*,y〉>0,?y∈C{0}}.設(shè)M是Y中的非空子集，則M的錐包定義為coneM:=∪{tm:t≥0,m∈M}.

定義1[11]設(shè)N是Y中的非空子集,則N的代數(shù)內(nèi)部、相對代數(shù)內(nèi)部和代數(shù)閉集分別定義為:

corN={n∈N:?v∈Y,?t>0,?α∈[0,t],n+αv∈N};

icrN={n∈N:?v∈affN-n,?t>0,?α∈[0,t],n+αv∈N};

vclN={n∈N:?v∈Y,?λ′>0,?λ∈(0,λ′],n+λv∈N}.

引理1[12]設(shè)C是Y中非平凡的點凸錐且corC≠?.若y∈corC,y*∈C*{0},則〈y*,y〉>0.

定義4[11,13]設(shè)D?X是非空子集,

1)若?x1,x2∈D,?λ∈(0,1),有λf(x1)+(1-λ)f(x2)∈f(D)+C,則稱映射f:D→Y是C-似凸的.

2)若存在c∈corC,使得?x1,x2∈D,?λ∈(0,1),?ε>0,有εc+λf(x1)+(1-λ)f(x2)∈F(D)+C,則稱映射f:D→Y是C-次似凸的.

3)若存在c∈corC,使得?x1,x2∈D,?λ∈(0,1),?ε>0,有εc+λf(x1)+(1-λ)f(x2)∈coneF(D)+C,則稱映射f:D→Y是廣義C-次似凸的.

定義5[11]設(shè)D?X是非空子集,若vcl(cone(f(D)+C))是Y中的凸集,則稱映射f:D→Y在D上是近似C-次似凸的.

定義6[14]設(shè)D?X是非空子集,若1)cor(cone(f(D)+C))是Y中的凸集;2)cone(f(D)+C)?vcl(cor(cone(F(A)+C))),則稱映射f:D→Y在D上是內(nèi)部C-似凸的.

這幾類廣義凸性之間有以下關(guān)系：C-似凸?C-次似凸?廣義C-次似凸,但反之不成立[13].

引理2[11]設(shè)D?X是非空子集,f:D→Y是映射,并設(shè)corC≠?.若f在D上是廣義C-次似凸的,則f是近似C-次似凸的.

引理3[14]設(shè)D?X是非空子集,f:D→Y是映射.若corC≠?,則f在D上是內(nèi)部C-似凸的當且僅當f是近似C-次似凸的.

引理4[15]設(shè)Y是線性空間,M,N?Y是2個凸集且M≠?,corN≠?.若M∩corN=?,則可用超平面將M與N分離.

引理5[15]設(shè)Y是線性空間,M?Y是凸集.若icrM≠?且0?icrM,則可用超平面將0與M分離.

引理6[16]設(shè)Y是局部凸空間,C?Y是凸錐,c∈C,則c∈qiC當且僅當y*(c)>0,?y*∈C*{0}.其中,qiC:={y∈C| cl(cone(C-y))=Y}.

2 最優(yōu)性條件

?.

(h(D)+C×K)∩(-corC)×(-corK)=?.

(1)

若不然,則存在d∈D,c∈C和k∈K,使得

(2)

g(d)+k∈-corK.

由式(1)及C,K是點凸錐和corC,corK是代數(shù)開集得

vcl(cone(h(D)+C×K))∩(-corC)×(-corK)=?.

因h(y)在D上是近似C×K-次似凸的,所以vcl(cone(h(D)+C×K))是凸的.由引理4知,存在(φ,ψ)∈Y*×Z*{(0,0)}和β∈R,使得

〈(φ,ψ),vcl(cone(h(D)+C×K))〉≥β≥〈φ,-C〉+〈ψ,-K〉.

(3)

〈(φ,ψ),vcl(cone(h(D)+C×K))〉≥0.

(4)

而h(D)+C×K?vcl(cone(h(D)+C×K))且(0,0)∈C×K,故由式(4)有〈(φ,ψ),h(D)〉≥0,即

另外,(0,0) ∈vcl(cone(h(D)+C×K)),由式(3) 得

由C 是錐,?c∈C,?λ>0，得λc∈C,根據(jù)式(6) 有

〈φ,c〉≥1λ〈ψ,-k〉, ?c∈C, ?k∈K.

對固定的k,令λ→∞,有〈φ,c〉≥0,?c∈C.因此，φ∈C*.同理可證ψ∈K*.

下證φ≠0.若φ=0,則ψ∈K*{0}.由式(5)得〈ψ,g(y)〉≥0,?y∈D.由條件1),再根據(jù)引理1,有〈ψ,g(x0)〉<0.得出矛盾.故φ∈C*{0}.

(7)

與式(7)矛盾.定理1證畢.

注1定理1是文獻[9]中定理3.1在線性空間中的推廣.

弱有效解僅在corC≠?時有意義,當corC=?時不能研究弱有效解.下面討論有效解的最優(yōu)性條件.

〈(φ,ψ),cor(cone(h(D)+C×K))〉≥0.

(8)

由此可得

〈(φ,ψ),vcl(cor(cone(h(D)+C×K)))〉≥0.

(9)

(10)

由式(8)得

(11)

當λ′充分小時,由式(10)得

與式(11)矛盾.

由h(y)在D上是內(nèi)部C×K-似凸的,有

h(D)+C×K?cone(h(D)+C×K)?vcl(cor(cone(h(D)+C×K))).

根據(jù)式(9)有

〈(φ,ψ),h(D)+C×K〉≥0.

(12)

再由(0,0)∈C×K及式(12)有〈(φ,ψ),h(D)〉≥0,即

且

若不然,存在(c,k)∈C×K，使得〈(φ，ψ),(c，k)〉<0.由C×K為錐知,對λ>0,有λ(c,k)∈C×K.因此,對給定的y∈D,當λ充分大時有〈(φ,ψ),h(y)+λ(c,k)〉< 0.與式( 12) 矛盾,因此，式( 14) 成立.再由C是錐知，對任意λ>0,有

〈φ,c〉≥-1λ〈ψ,k〉, ?c∈C, ?k∈K.

對固定的k,令λ→∞,則

〈φ,c〉≥0, ?c∈C.

因此,φ∈C*,同理可證ψ∈K*.

注2當Y和Z是有限維空間時,由于cor(cone(h(D)+C×K))是非空凸集,顯然有icr(cor(cone(h(D)+C×K)))≠?.當Y和Z是局部凸空間時,由于錐包內(nèi)部非空,由開凸集分離定理即可得到結(jié)論.因此,當Y和Z是有限維空間或局部凸空間時，條件icr(cor(cone(h(D)+C×K)))≠?可以去掉.

注3定理2中corC可為空集,icr(cor(cone(h(D)+C×K)))≠?比corC≠?條件更弱.因為當corC≠?時,由corK≠?可知cor(C×K)≠?,則cor(cor(cone(h(D)+C×K)))=cor(cone(h(D))+cor(C×K))=cone(h(D))+cor(C×K)≠?,所以icr(cor(cone(h(D)+C×K)))≠?.

設(shè)Y和Z是局部凸空間,則可得到下面的定義:

定義7[17]設(shè)D?X是非空子集,映射f:D→Y.若1)int(cone(f(D)+C))是Y中的凸集;2)f(D)+C?cl(int(cone(F(A)+C))),則稱映射f:D→Y在D上是內(nèi)部C-似凸的.

由h(y)在D上是內(nèi)部C×K-似凸的知,int(cone(h(D)+C×K))是凸的,由凸集分離定理知,存在(φ,ψ)∈Y*×Z*{(0,0)},使得〈(φ,ψ),int(cone(h(D)+C×K))〉>0,由此可得

〈(φ,ψ),cl(int(cone(h(D)+C×K)))〉≥0.

類似于定理2的證明,可得

〈ψ,g()〉=0,

(16)

及φ∈C*和ψ∈K*.

注41)在定理3中,intC,intK可為空集.例如,K為lp或Lp(1

2)若K為內(nèi)部非空的凸錐,則intK=qiK.

(17)

與式(17)矛盾.定理4證畢.

3 應(yīng) 用

下面將給出定理1在向量變分不等式問題中的應(yīng)用.

(Tx,y-x)?-C{0}, ?y∈A.

其中,T:D→L(X,Y)是向量值映射.顯然,(VVIC)就是(VEPC)當F(x,y)=(Tx,y-x),x,y∈D時的特殊情況.

注5用類似的方法可以得到向量變分不等式問題的有效解的最優(yōu)性條件.

注6若F(x,y)=f(y)-f(x),x,y∈D,則可以獲得向量優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件.

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