蔡建平

(浙江水利水電學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

高性能電機(jī)被廣泛應(yīng)用于高科技、高精密的現(xiàn)性系統(tǒng)自適應(yīng)控制研究.代化制造業(yè)當(dāng)中，如工業(yè)系統(tǒng)、精密加工過(guò)程等.伴隨著高性能電機(jī)的廣泛應(yīng)用電機(jī)系統(tǒng)的控制研究越來(lái)越受到科研工作者的重視.在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中，因?yàn)槲粗獢_動(dòng)、未知摩擦、未知推力波動(dòng)等不確定性[1-4]的存在使得被控系統(tǒng)的性能大受影響.特別是對(duì)電機(jī)速度控制性能的影響及由此所產(chǎn)生的機(jī)械震動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能的嚴(yán)重下降.環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)屬三相永磁同步電動(dòng)機(jī)，其特點(diǎn)是直接驅(qū)動(dòng)，并且具有大直徑長(zhǎng)度比、多極數(shù)等優(yōu)點(diǎn)[5].電動(dòng)機(jī)本身對(duì)最大電流的限制使得電機(jī)輸入呈現(xiàn)出飽和特性.環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)輸入飽和的存在使得被控系統(tǒng)的性能受到很大影響，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[6].為提高系統(tǒng)的性能和可靠性，電機(jī)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)中必須考慮未知輸入飽和.在具有輸入飽和的電機(jī)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中，常用的方法有針對(duì)精確系統(tǒng)的低-高增益混合控制器設(shè)計(jì)[7-8]、抗飽和補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)及應(yīng)用[9-10]等.由于精確系統(tǒng)常常難以獲得，系統(tǒng)建模過(guò)程中的各種不確定因素使得模型中存在各種不確定性.為了使控制器的設(shè)計(jì)更能與實(shí)際被控系統(tǒng)相契合，在控制器設(shè)計(jì)中充分考慮系統(tǒng)不確定性是合理的.

本文針對(duì)含有未知參數(shù)的環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，并考慮系統(tǒng)具有未知輸入飽和，應(yīng)用Backstepping控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，保持系統(tǒng)穩(wěn)定.同時(shí)系統(tǒng)中還考慮了未知擾動(dòng)的存在，同樣通過(guò)對(duì)未知擾動(dòng)的常數(shù)上界的自適應(yīng)估計(jì)，在控制器設(shè)計(jì)中引入基于擾動(dòng)上界的估計(jì)值的相關(guān)項(xiàng)對(duì)未知擾動(dòng)的不確定性影響進(jìn)行補(bǔ)償.與文獻(xiàn)[11]相比，本文中提出的自適應(yīng)控制器不再要求系統(tǒng)未知參數(shù)的界已知，同時(shí)充分考慮了系統(tǒng)未知外界擾動(dòng).最后仿真結(jié)果也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的Backstepping自適應(yīng)控制器的有效性.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程[11]

(1)

其中J為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω是轉(zhuǎn)子角，電磁轉(zhuǎn)矩為T(mén)e，齒槽轉(zhuǎn)矩表示為T(mén)c.B是表征負(fù)載阻尼和粘性摩擦的系數(shù),d(t)表示其他所有的有界的外界擾動(dòng).電磁轉(zhuǎn)矩可表示為

Te=KTiq

(2)

其中KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，iq表示轉(zhuǎn)動(dòng)軸電流.考慮到齒槽轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)子位置θ及基波之間的下述關(guān)系

(3)

Tc=AcSc(θ)

(4)

其中，Ti為i次諧波的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值，Nc為定子齒數(shù)與極數(shù)的公倍數(shù)，Ksk為斜槽系數(shù).Ac為未知函數(shù)，Sc(θ)是已知函數(shù)表示齒槽轉(zhuǎn)矩基波的形態(tài)函數(shù).

令狀態(tài)變量x1=θ;x2=ω,系統(tǒng)方程可重寫(xiě)為如下二階系統(tǒng)

(5)

(6)

其中常數(shù)uM為飽和界.控制器設(shè)計(jì)前需如下假設(shè)：

假設(shè)1.系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定.

假設(shè)2.參考輸出信號(hào)yr及其1,2階導(dǎo)數(shù)均有界.

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

本節(jié)將討論如何設(shè)計(jì)控制器以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并且實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤性能.為了對(duì)飽和的影響作出補(bǔ)償，類(lèi)似于[12]首先引入輔助信號(hào)

(7)

其中c1，c2為大于0的常數(shù)，Δu=u(v)-v.

系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)前先做如下坐標(biāo)變換

(8)

其中z1表示跟蹤誤差，α1表示在第一步中的虛擬控制．下面將利用backstepping方法設(shè)計(jì)控制器.

第一步：由(8)及系統(tǒng)方程(5)可得

=z2+α1+c1γ1

(9)

取

α1=-c1(z1+γ1)

(10)

其中c1>0為常數(shù),取Lyapunov函數(shù)為

(11)

對(duì)該Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可得

(12)

第二步：由(8)及系統(tǒng)方程(5)可得

(13)

取控制信號(hào)

(14)

(15)

其中ηD為正設(shè)計(jì)參數(shù).參數(shù)估計(jì)誤差表示為

對(duì)該Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可得

(16)

參數(shù)的估計(jì)率取為

(18)

則可得Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(19)

定理1：對(duì)于環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(1),系統(tǒng)飽和輸入由(6)給出.在控制輸入(14)及參數(shù)估計(jì)率(18)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定.

證明：顯見(jiàn)，由(18)可知閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)x1,x2,z1,z2有界，進(jìn)一步得虛擬控制信號(hào)有界，控制輸入信號(hào)有界.則可建得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界.

3 仿 真

仿真中采用與孫宜標(biāo)等[11]同樣的電機(jī)系統(tǒng),其各系統(tǒng)參數(shù)取值如下:Ten=232N·m，轉(zhuǎn)矩系數(shù)KT=9.4 N·m/A，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.205 kg·m2，額定電流In=42.1 A，B=0.09 N·m·rad/s.外界擾動(dòng)取為0.1sint,參考信號(hào)yr=sin(2πt).由上述電機(jī)參數(shù)計(jì)算得卡槽轉(zhuǎn)矩Tc=6sin(180x1)N·m.飽和輸入的電流限制值為40A.仿真中設(shè)計(jì)參數(shù)取為：ηD=ηB=ηA=1，c1=c2=15.仿真中所有信號(hào)的初始值均取為0.仿真圖形如下，圖1給出跟蹤誤差曲線(xiàn)圖.由該圖可以看出，輸出信號(hào)能再短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考信號(hào)的跟蹤，但由于控制輸入的飽和特性使得精確跟蹤很難實(shí)現(xiàn).圖2給出的是控制信號(hào)v的時(shí)間曲線(xiàn)圖形，該控制信號(hào)是我們?cè)O(shè)計(jì)的輸入信號(hào)，并不直接作用于被控系統(tǒng)，通過(guò)飽和非線(xiàn)性變換得到直接作用于系統(tǒng)的輸入信號(hào)u由圖3給出.通過(guò)仿真圖形可以明顯看出該控制器可以保持系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)參考信號(hào)的跟蹤.

4 結(jié) 論

針對(duì)具有輸入飽和的環(huán)形永磁力矩電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng),應(yīng)用反步方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器.該控制器在飽和輸入下能對(duì)未知外界擾動(dòng)進(jìn)行有效補(bǔ)償，保持系統(tǒng)穩(wěn)定.同時(shí)實(shí)現(xiàn)了控制輸出對(duì)指令信號(hào)的快速跟蹤,且具有很好的魯棒性.仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了控制器的有效性.

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