孫仁斌

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

本文討論如下具有奇性反應(yīng)函數(shù)的半線性拋物型方程的初邊值問(wèn)題：

(1)

(2)

1 解在有限時(shí)刻猝滅

為了得到問(wèn)題(1)的解在有限時(shí)刻猝滅的結(jié)果，需要函數(shù)f(w)、g(t)滿足一些基本條件，設(shè)：

f′(w)>0,f″(w)>0,1

(3)

存在正常數(shù)c0，使g(t)≥c0,t>0.

(4)

定理1 設(shè)f(s),g(t)滿足(3)，(4)式，m>0，則當(dāng)區(qū)域Ω充分大，使得特征值問(wèn)題(2)的第一特征值λ1

(5)

則問(wèn)題(1)的解會(huì)在有限時(shí)刻發(fā)生猝滅，且猝滅時(shí)刻T滿足：

(6)

(7)

由Green公式及邊界條件，有：

-λ1y(t)，因此，由(4)、(7)式可得：

如果問(wèn)題(1)的解是整體存在的，則t可以任意大，與條件(5)矛盾，因此一定存在有限時(shí)刻T，使問(wèn)題(1)的解u(x,t)關(guān)于t只存在于[0,T]上，在時(shí)刻T，解發(fā)生猝滅，令t→T-，得到T滿足(6)式，定理1證畢．

下面在定理1的條件滿足的情況下，討論在猝滅時(shí)刻ut的爆破性質(zhì)．

引理1 設(shè)初值函數(shù)u0(x)與g(t)滿足：

(8)

g′(t)>0,t>0.

(9)

則ut(x,t)>0,(x,t)∈Ω×(0,T).

證明令v(x,t)=ut(x,t)，在方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)得：

利用(8)，(9)式與極大值原理，得證．

引理2 在定理1的條件下，問(wèn)題(1)的猝滅點(diǎn)集是Ω的一個(gè)緊子集．

證明我們可以假設(shè)初值函數(shù)u0(x)滿足：

(10)

否則，只要將初始時(shí)刻增加一些即可，其中n是?Ω上的單位外法向量．

2 解的整體存在性

本段在球形區(qū)域內(nèi)討論解的整體存在性，設(shè)Ω={x∈RN,|x|

(11)

(12)

(13)

則問(wèn)題(1)的解是整體存在的．

(14)

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Kawarada H．On solutions of initial-boundary value problem forut=uxx+1/(1-u)[J]. Publ Res Inst Math Sci, 1975,10：729-736．

[2] Chang C Y, Chen C S． A numerical method for semilinear singular parabolic quenching problems[J]. Quart Appl Math, 1989,47：45-57．

[3] Deng C K, Levine H A．On the blow-up ofutat quenching[J]. Proc Amer Math Soc, 1989,106： 1045-1056．

[4] Guo J S．On the quenching behavior of the solution of a semilinear parabolic equation[J]. J Math Anal Appl, 1990,151：58-79．

[5] Dai Q Y, Gu Y G．A short note on quenching phenomena for semilinear parabolic equations[J]. J Differential Equations, 1997,137：240-250．

[6] Salin T．On quenching with logarithmic singularity[J].Nonlinear Analysis,2003,52：261-289．

[7] Zhi Y H , Mu C L, Yuan D M．The quenching phenomenon of a nonlocal semilinear heat equation with a weak singularity [J]．Appl Math Comput, 2008, 201：701-709．

[8] Zhi Y H , Mu C L．The quenching behavior of a nonlocal parabolic equation with nonlinear boundary outflux [J]．Appl Math Comput，2007，184：624-630．

[9] Zhi Y H．The boundary quenching behavior of a semilinear parabolic equation[J]．Appl Math Comput，2011，218：233-238．

[10] Zhou S M, Mu C L, Du Q L, et al．Quenching for a reaction-diffusion equation with nonlinear memory[J]．Communl Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，17：754-763．

[11] Chan W Y．Quenching for nonlinear degenerate parabolic problems[J]．J Comp Appl Math，2011，235：3831-3840．

[12] Yang Y , Yin J X, Jin C H．A quenching phenomenon for one-dimensionalp-Laplacian with singular boundary flux[J]．Appl Math Lett，2010，23：955-959．

[13] Marcelo M．Complete quenching for singular parabolic problems[J]．J Math Anal Appl，2011, 384：591-596．

[14] Chan C Y, Boonklurb R．Solution profikes beyond quenching for a radially symmetric multi-dimensional parabolic problem[J]．Nonlinear Analysis, 2013, 76：68-79．

[15] Jacques G, Paul S, Sergey S．Complete quenching for a quasilinear parabolic equation[J]．J Math Anal Appl，2014, 410：607-624．