顧恩國,秦文釗,張梅娜

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院,武漢 430074)

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展,全球資源的壓力越來越大.資源型產(chǎn)業(yè)主要立足于自然資源,依賴自然資源的消耗來實現(xiàn)成長,要實現(xiàn)資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展,就應該對過去傳統(tǒng)的經(jīng)濟增長模式做出根本變革,因此對自然資源進行有效合理利用,以及對資源環(huán)境的治理工作,對資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展尤為重要[1].近年來有關可持續(xù)發(fā)展的問題引起許多學者的關注,文獻[2]對當前研究可持續(xù)發(fā)展的模型進行了一個總結(jié),而文獻[3]給出了評價可持續(xù)發(fā)展的決策模型,文獻[4]基于動力學模型研究了環(huán)境保護投資與經(jīng)濟增長之間的關系,文獻[5]應用動態(tài)規(guī)劃模型研究了資源與經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展之間的關系.研究表明,要實現(xiàn)資源型產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展,不能只追求產(chǎn)量的增長,而要將資源與產(chǎn)量相結(jié)合,尋求二者的協(xié)調(diào)發(fā)展.

本文在文獻[5]提出模型的基礎上,應用動力學模型研究可再生資源與產(chǎn)量的關系,主要討論資源型產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)量對資源可持續(xù)利用(表示為平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性)的影響,尋求既能夠滿足資源型產(chǎn)業(yè)的發(fā)展要求又能使資源不枯竭的產(chǎn)量的范圍,并弄清在給定產(chǎn)量下當前資源存量在什么范圍才能保持資源不枯竭.能維持資源不枯竭的當前資源存量范圍在非線性動力學中被稱為可行吸引域[6,7].

1 模型的建立

可再生資源各階段存量的變化受資源開發(fā)量、資源自然恢復量及資源投資恢復量的影響,據(jù)此,陳明義等人在文獻[5]中建立資源存量的動態(tài)方程:

S(t+1)=S(t)+G(φ·y(t))+J(S(t))-

R(y(t)).

(1)

其中S(t+1)(S(t+1)≥0，S(0)>0)和S(t)分別代表t+1和t時刻的資源存量,y(t)(y(t)>0)為總產(chǎn)量,G(φ·y(t))為資源投資恢復量,它是資源投資量的函數(shù),φ>0為資源投資量與總產(chǎn)量的比,J(S(t))是資源自然恢復量,它是資源存量的函數(shù),R(y(t))是資源開發(fā)量,它是總產(chǎn)量的函數(shù).

假設J、G、R函數(shù)如下:

(2)

(2)式中α>0為Holling type Ⅱ函數(shù)的半飽和常數(shù)[8],β>0為資源飽和投資恢復量,a,b為使得資源自然恢復量為零的資源存量,且0≤a0,表示資源此時具有自我恢復能力,若a,b較小表明資源儲量在較少時可以恢復,若a,b較大表明資源儲量較高時才能恢復.μ>0為資源開發(fā)速度.假定用于恢復資源的投資量占總產(chǎn)量的比例保持不變,綜合方程(1),(2),得到資源—總產(chǎn)量的一維離散動力學模型：

S(t+1)=-S2(t)+(a+b+1)S(t)-ab+

(3)

2 正不動點的存在性及其穩(wěn)定性分析

2.1 正不動點的存在性

離散動力系統(tǒng)(3)可以改寫為：

S(t+1)=-S2(t)+(a+b+1)S(t)-

ab+v(y),

(4)

S(t+1)=S(t),

(5)

令不動點為S,把S帶入(5)式,有：

S2-(a+b)S+ab-v(y)=0,

(6)

因此系統(tǒng)(4)的不動點是方程(6)的解.

記Δ=(a-b)2+4v(y),我們可以得到下面的定理1.

定理1

2.2 正不動點的局部穩(wěn)定性及分叉

由映射動力系統(tǒng)理論[8]知,(4)式可以寫成映射動力系統(tǒng)的形式:

S′=f(S)=-S2+(1+a+b)S-ab+v(y).

(7)

系統(tǒng)(7)在不動點S*處的局部穩(wěn)定性主要取決于|f′(S*)|,其中f′(S)=-2S+(1+a+b).

下面討論定理1中正不動點的穩(wěn)定性.

因此不動點S2是漸近穩(wěn)定的.

定理2

2.3 使資源存量S穩(wěn)定到固定值的產(chǎn)量y的閾值

本段將研究使資源存量S穩(wěn)定在固定值的產(chǎn)量y的閾值,即具體給出當a+b>2和a+b≤2時，由定理2給出的正不動點S2存在且是漸近穩(wěn)定的產(chǎn)量y的變化范圍.

(8)

求出y的范圍,其中a,b,α,β,φ,μ,y均大于零.

(9)

的解.方程(9)可化為：

Dy3+ADy2+(C-B)y+AC=0,

(10)

此三次方程有3個實根,其中必有一個正根y1,解得：

(11)

E=(4C3-12C2B+8C2A2D+12CB2+

20CBA2D+4CA4D2-4B3-B2A2D)/D.

圖1 函數(shù)h1(y)和h2(y)的草圖Fig.1 Draft of function h1(y) and h2(y)

(12)

當y≥y2時，h2(y)≤h4(y).

綜上所述,得到定理3.

定理3

(1) 假設a+b≤2且β

(2) 假設a+b>2且b-a>2,當y2≤y

E=(4C3-12C2B+8C2A2D+12CB2+

20CBA2D+4CA4D2-4B3-B2A2D)/D.

20C1BA2D+4C1A4D2-4B3-B2A2D)/D.

定理3說明,當資源較易恢復時(a+b≤2)，資源可持續(xù)利用的閾值范圍(0,y1)遠比資源較難恢復時(a+b>2)的閾值范圍(y2,y1)大,即對于資源型產(chǎn)業(yè),如果依賴的是較易恢復的資源類型,則較易實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.

2.4 系統(tǒng)(4)關于產(chǎn)量y的一維分叉圖

為了驗證定理3,不妨令初始時刻資源存量S(0)=1.5,我們得到系統(tǒng)(4)的資源存量關于產(chǎn)量的分叉圖，見圖2.

在圖2(a)中, 設系統(tǒng)參數(shù)為a=0.02,b=1.9,α=0.2,β=0.03,μ=0.1,φ=0.02,此時a+b=1.92<2且β

在圖2(b)中, 系統(tǒng)參數(shù)為a=0.25,b=2.98,α=0.2,β=0.9,μ=0.1,φ=0.02,此時a+b=3.23>2且b-a=2.73>2,由定理3得出y1=4.6349,y2=3.2959,當3.2959

圖2 資源存量S關于總產(chǎn)量y的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagram for resource stock S with respect to production y

3 系統(tǒng)(4)可行吸引域、吸引子及吸收區(qū)間

本段討論在給定資源型產(chǎn)業(yè)產(chǎn)量水平下,當前資源存量是否滿足可持續(xù)發(fā)展,即資源經(jīng)過若干年演變后是否會枯竭的問題.我們可以通過研究系統(tǒng)正平衡態(tài)的可行吸引域來確定.在此將利用文[7]中有單極值點的不可逆映射理論,研究可行吸引域結(jié)構(gòu)隨控制量y變化時所產(chǎn)生的全局分叉,通過給定不同產(chǎn)量水平y(tǒng),分別確定滿足可持續(xù)發(fā)展的當前資源存量范圍即可行吸引域,從而為管理者監(jiān)控資源提供參考.

圖3給出了吸引子的可行吸引域,交點為正不動點,x軸上的藏青色區(qū)間為系統(tǒng)的可行吸引域,在x軸上的紅色點(不動點或周期點)或線段(混沌)為系統(tǒng)的吸引子(即資源演化的最終狀態(tài)),洋紅色線段為系統(tǒng)的不可行吸引域，即資源最終枯竭的資源存量范圍.

圖3(a)、(b)中除y外其余參數(shù)均相同為a=0.25,b=2.98,α=0.2,β=0.9,μ=0.1,φ=0.02.并且圖3中以關鍵點C及其一階像C1組成的區(qū)間[C1,C]為吸收區(qū)間[7].

圖3 正不動點、吸引子、可行吸引域Fig.3 The positive fixed points, attractors, feasible domain of attraction

4 結(jié)語

本文利用非線性動力系統(tǒng)理論研究了資源型產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)量對可再生資源可持續(xù)利用的影響,建立了可再生資源的離散動力學控制模型,在此基礎上,首先應用非線性分析給出了系統(tǒng)正不動點的存在性、局部穩(wěn)定性條件,然后給出了資源存量S穩(wěn)定到固定值時產(chǎn)量y的范圍,并且利用數(shù)值模擬方法進行了驗證,最后給出了可行吸引域隨產(chǎn)量變化的全局分叉.研究表明:對依賴易恢復資源的資源型產(chǎn)業(yè)較易實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展;反之要特別注意控制企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模，即產(chǎn)量應保持在一定范圍才能保證資源的可持續(xù)利用,如果過度生產(chǎn),會造成資源的不可再生甚至枯竭.在某些情況下(如a+b>2),如果總產(chǎn)量過小,資源可能不能穩(wěn)定到某一固定值,可能會出現(xiàn)隨機波動,吸引子與吸引域的距離也變得較近(如圖3(b)),此時系統(tǒng)抗干擾能力也較差,不利于資源可持續(xù)利用.

參 考 文 獻

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