朱潔麗 湯 俊

(清華大學電子工程系 北京 100084)

基于改進的ZMNL和SIRP的K分布雜波模擬方法

朱潔麗*湯 俊

(清華大學電子工程系 北京 100084)

零記憶非線性變換(ZMNL)法和球不變隨機過程(SIRP)法是模擬 K分布雜波的兩種常用方法。針對傳統(tǒng)ZMNL方法中形狀參數(shù)(半)整數(shù)化所導致的雜波模擬偏差問題，該文提出采用增加Gamma分布生成支路的方法進行改進，改進后的方法能夠模擬任意形狀參數(shù)的K分布雜波；針對傳統(tǒng)SIRP方法運算量較大的問題，給出了一種改進的調(diào)制變量產(chǎn)生方法，該方法能夠避免求解非線性方程，極大地降低了運算量，提高了仿真速度。仿真結(jié)果驗證了改進方法的有效性。

K分布；雷達雜波；相關；相干

1 引言

雜波是制約雷達目標檢測和跟蹤性能的主要因素之一，因此對于雜波特性的研究及雜波模擬也始終是雷達領域的研究熱點。目前常用的雜波幅度分布模型有瑞利分布、對數(shù)正態(tài)分布、韋布爾分布和K分布等。由于K分布能較好地描述多種高分辨、低擦地角的地、海雜波，因此已成為重要的雜波建模與仿真的統(tǒng)計模型[1,2]。與瑞利分布等簡單模型相比，K分布雜波的建模和仿真較為復雜，而且根據(jù)模擬的雜波信號的正交分量和同相分量是否相關，需要分別開展相干和非相干雜波的仿真工作。

為了精確模擬 K分布雜波，國內(nèi)外諸多學者針對相干和非相干雜波模型進行了一系列深入的研究[3－17]。文獻[3]提出了基于球不變隨機過程(SIRP)法的相關相干K分布雜波的生成方法。該方法可以模擬復雜波數(shù)據(jù)，能獨立控制雜波的功率譜和幅度分布，但需要求解非線性方程，計算量較大。文獻[4]提出了基于零記憶非線性變換(ZMNL)法的相關 K分布雜波的模擬方法。該方法適用于非相干雜波模型，原理簡單，主要的缺陷是要求形狀參數(shù)設置為(半)整數(shù)，形狀參數(shù)(半)整數(shù)化會帶來雜波模擬偏差，不能獨立控制功率譜和幅度分布，為滿足功率譜特性需求，相關系數(shù)的計算較為復雜。文獻[5]證明了 K分布序列的同相正交分量可由兩列相互獨立的Gaussian矢量加權(quán)乘積和構(gòu)成。基于這一原理，文獻[6]和文獻[7]提出了新的相關相干K分布雜波建模與仿真方法，與傳統(tǒng)SIRP與ZMNL方法相比，新方法可以使生成的雜波具有任意指定的功率譜，而且運算相對簡單，易于軟件和硬件實現(xiàn)，但對形狀參數(shù)為非(半)整數(shù)的情況僅進行了近似計算處理。文獻[10]基于ZMNL方法和線性變換理論提出了一種時空相關相干 K分布雜波的建模方法，減少了雜波模擬的運算復雜度。為了更好地估計雜波背景下雷達恒虛警率檢測性能，文獻[11]對時間相關相干K分布雜波進行了建模仿真。

本文針對傳統(tǒng)ZMNL方法和SIRP方法中存在的部分問題提出改進，主要貢獻包括：

(1) 針對傳統(tǒng)的非相干模型ZMNL方法中形狀參數(shù)(半)整數(shù)化導致的雜波模擬偏差問題，提出一種增加形狀參數(shù)非(半)整數(shù)部分對應的Gamma分布變量生成支路的改進方法，該方法利用了Gamma分布的第2參數(shù)可加性，將雜波的形狀參數(shù)從(半)整數(shù)推廣到一般實數(shù)，改善了雜波幅度特性模擬性能；

(2) 針對傳統(tǒng)的相干模型 SIRP方法中雜波模擬運算量大的問題，給出一種直接產(chǎn)生服從雜波特征分布的調(diào)制變量的方法，該方法不需要求解非線性方程，因此極大地提高了雜波模擬效率。

最后，仿真結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

2 傳統(tǒng)K分布雜波模擬方法

2.1 K分布雜波模型

K分布的概率密度函數(shù)(PDF)為[4]：

其中，a是尺度參數(shù)， v是形狀參數(shù)，Γ(?)是Gamma函數(shù)，Kv(?)是第2類修正Bessel函數(shù)。

雜波平均功率δ2,v和a之間的關系可表示為[18]：

雜波的功率譜特性可以用其功率譜密度或自相關函數(shù)來表示。常見雜波如地、云雨和箔條雜波的功率譜一般認為服從Gaussian分布，其歸一化功率譜表達式為[18]：

其中，fd是多普勒頻率，f3dB是兩個半功率點間的帶寬。為滿足限制條件W(f3dB2)=0.5,a 取值為1.665。

2.2 ZMNL方法

令隨機變量 xs～G(xs;2; 1), y ～G(y;2a2;v)，二者相互獨立，則z=y xs～K(z ;a; v)[4,19]，其中xs被稱為散斑分量，y被稱為紋理分量，G(?)代表Gamma分布概率密度函數(shù)：G(xs;2;1)即為指數(shù)分布。

根據(jù)前述的通過紋理分量y乘以散斑分量xs獲得K分布變量z的思想，傳統(tǒng)的基于ZMNL的相關K分布雜波的產(chǎn)生流程如圖1所示[4]?？驁D1中包含兩條支路，其中一路利用2v個獨立 Gaussian變量的平方和來生成Gamma分布變量，另外一路利用兩個獨立 Gaussian變量的平方和來產(chǎn)生指數(shù)分布變量，兩條支路輸出的隨機變量相乘取平方根得到 K 分布雜波變量。其中，輸出序列{zi} (i=1,2,…) 為所需 K分布雜波序列，中間變量{w1,i}, … ,{ w2v+2,i}(i =1,2,…) 均為相關Gaussian隨機序列，但是兩兩之間相互獨立。

為了使模擬的雜波不僅在幅度上滿足K分布，在功率譜上也滿足所需的Gaussian譜特性，通過調(diào)整濾波器H1和H2來控制和改變非線性變換后K分布雜波序列的相關系數(shù)Sij[4]：

圖1 傳統(tǒng)相關K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 1 Block diagram for conventional generation of correlated K distributed clutter

其中2F1(α , β; γ; η)為Gaussian超幾何分布函數(shù)，且Λ=Γ(v+3/2) Γ( 3/2)/Γ(v+1)。rij是 wk(k=1,2,…2v)的相關系數(shù)，qij是 wk(k=2v+1,2v+2)的相關系數(shù)。該公式具有無限種組合解。實際仿真過程中，可采用傅里葉級數(shù)展開法推導出相關系數(shù)Sij，再將rij和qij的組合代入式(5)中求解rij和qij，從而計算得到濾波器H1和H2的系數(shù)[4,20]。

該方法適用于產(chǎn)生形狀參數(shù)v為(半)整數(shù)的 K分布雜波。若v為非(半)整數(shù)，一般可通過向下或向上取(半)整數(shù)的方法得到(半)整數(shù)v'，此時模擬的雜波滿足分布 K(z ; a; v')，它與實際所需分布K(z; a;v)存在一定的偏差。為改善相關K分布雜波幅度特性模擬性能，需要尋求更精確的模擬方法。

2.3 SIRP方法

調(diào)制變量序列{si}的平均功率為 1，其平方服從Gamma分布，即～G。最后用{s}調(diào)i制復Gaussian變量{yi}即得到相關相干K分布雜波序列{zi}[3,15]。

圖 2中，低通濾波器 H1的作用是使{yi}具有{zi}的功率譜形狀。低通濾波器H2的作用是使非線性變換后的隨機序列的功率譜足夠窄，可以采用多階Butterworth濾波器實現(xiàn)[20]。非線性變換使得{xi}和{si}滿足關系[3]：

其中γ(a, b)為低階不完全Gamma函數(shù)，Q(?)為標準Gaussian隨機變量的尾部面積?；喪?7)到非線性方程：

其中erf(?)是誤差函數(shù)。通過數(shù)值方法計算即可根據(jù)輸入變量序列{xi}得到輸出變量序列{si}。

圖2 傳統(tǒng)相關相干K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 2 Block diagram for conventional generation of correlated coherent K distributed clutter

SIRP方法用符合所要求的單點概率密度函數(shù)的隨機序列調(diào)制相關Gaussian隨機過程，能獨立控制雜波的功率譜和幅度分布，能夠較好地實現(xiàn)對相關相干K分布雜波的模擬。但該法易受序列階數(shù)和自相關函數(shù)的限制，而且需要求解非線性方程，計算量較大[17]。

3 改進的K分布雜波模擬方法

3.1 改進的ZMNL方法

那么 y2=2a2ηβ～ G(y2;2a2; v2)[21]。

基于Gamma分布的第2參數(shù)可加性，通過在傳統(tǒng)產(chǎn)生框圖1中添加形狀參數(shù)的非(半)整數(shù)部分對應的Gamma分布變量生成支路，得到改進的相關K分布雜波產(chǎn)生流程如圖3所示，其中添加的支路由虛線框出。先將形狀參數(shù)v分解為(半)整數(shù)部分v1和非(半)整數(shù)部分 v2。若 v2=0，則按照傳統(tǒng)ZMNL方法生成K分布雜波；若v2＞0，則在利用2v1個獨立 Gaussian變量經(jīng)濾波后求平方和得到Gamma分布變量 y1的同時，利用指數(shù)分布變量η和 Beta分布變量β生成非(半)整數(shù)部分對應的Gamma分布變量y2，從而得到服從分布 G(y;2 a2; v)的變量y。另一支路利用兩個獨立Gaussian變量經(jīng)濾波后的平方和生成服從指數(shù)分布的變量xs。兩路輸出的隨機變量序列{yi}和{xs,i}相乘后開平方即得到K分布雜波序列{zi}。為使得{y2,i}對輸出序列功率譜的影響盡量可以忽略，仍采用式(5)計算推導中間相關系數(shù)，本文采用常用組合之一：qij=rij，即令 Gamma分布變量序列{y1,i}和指數(shù)分布變量序列{xs,i}的相關系數(shù)的權(quán)重相等。實際仿真過程中，根據(jù)雜波的 Gaussian譜形狀推導出相關系數(shù)Sij，再將 qij=rij代入式(5)中求解qij和rij，從而計算得到圖3中濾波器H1和H2的系數(shù)[4,20]。具體實現(xiàn)方法可以采用遞推查詢法和二分法等，相對而言，二分法算法復雜度較低。

3.2 改進的SIRP方法

對于傳統(tǒng)SIRP方法，若能不通過數(shù)值方法求解非線性方程而直接產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的實非負調(diào)制變量s，仿真速度將大大提高。本文在3.1節(jié)提出了β為任意正實數(shù)時分布G(x; α; β)的生成方法，其運算效率高，而傳統(tǒng)SIRP模型中調(diào)制變量s的平方服從Gamma分布，所以可以采用圖3中生成Gamma分布變量的方法替代傳統(tǒng)SIRP方法中求解非線性方程的方法來獲得調(diào)制變量s，得到改進的相關相干K分布雜波產(chǎn)生流程如圖4所示，其中改進的支路由虛線框出。

圖4中，標準Gaussian變量序列{w1,i}和{w2,i}所在支路是為了產(chǎn)生復Gaussian變量序列{yi}，其中低通濾波器 H1的作用是使{yi}具有{xi}的功率譜形狀。另一支路是為了產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的調(diào)制變量序列{si}，先利用Gamma分布的第2參數(shù)可加性產(chǎn)生服從 Gamma分布的變量序列{pi}，具體實現(xiàn)過程與圖3類似，然后開平方得到實非負調(diào)制變量序列{si}。特別需要注意的是，圖4中低通濾波器H2的作用與圖3中H1的作用不同，這里是使調(diào)制變量序列{si}的功率譜足夠窄，以實現(xiàn)功率譜和幅度分布的獨立控制，可以采用多階Butterworth濾波器實現(xiàn)[20]。

該方法與傳統(tǒng) SIRP 方法相比，產(chǎn)生復Gaussian變量序列的支路相同，而產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路不同，該支路不需要通過求解非線性方程來產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的實非負調(diào)制變量序列{si}，只需要簡單的加法、乘法和開平方運算。假設需要產(chǎn)生的K分布序列長度為L，圖2和圖4中低通濾波器H2的點數(shù)均為M。對于傳統(tǒng)SIRP方法，產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路首先需要進行低通濾波，運算量為O(ML)，然后還需要求解L次非線性方程。若采用二分法求解非線性方程，設定查詢區(qū)間為 [sl, sh]，誤差精度為ε，則每次求解方程需要進行l(wèi)og2((sh-s1)/ε)次積分計算。對于圖4所示的改進方法，產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路不需要進行積分計算，運算量為 O(v1ML)。文獻[22]指出，形狀參數(shù)v在實際中的取值上限為20，而積分計算的運算量要遠大于加法或乘法的運算量，因此當仿真序列長度L較大時，與傳統(tǒng) SIRP方法相比，改進的 SIRP方法能夠極大地提升運算速度，提高雜波模擬效率。

圖3 改進的相關K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 3 Block diagram for improved generation of correlated K distributed clutter

圖4 改進的相關相干K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 4 Block diagram for improved generation of correlated coherent K distributed clutter

4 仿真結(jié)果

本文基于 McMaster大學的 IPIX型雷達于1993年在Dartmouth采集的一組典型的高海況下的海雜波數(shù)據(jù)[23]，利用2階/4階矩估計法對數(shù)據(jù)進行 K分布擬合[24,25]，計算得到形狀參數(shù)v=2.74，尺度參數(shù)a=0.4，根據(jù)此組形狀參數(shù)和尺度參數(shù)開展K分布雜波仿真。設定采樣頻率為 FS=1000 H z ，取采樣點數(shù)為 N= 5 × 104,K分布雜波功率譜采用Gaussian譜，兩個半功率點間的帶寬為f3dB= 100 Hz，仿真次數(shù)為M=500。

根據(jù)圖1-圖4所示框圖進行仿真，圖1中形狀參數(shù)向下取(半)整數(shù)即v'=2.5，圖2中采用二分法求解非線性方程，設定s1=0,sh=8,ε=10-4，采用 Burg法估計雜波功率譜密度，得到的某次典型仿真結(jié)果如圖5-圖8所示。圖5(a)-圖8(a)中橫坐標為雜波幅度，縱坐標為幅度概率密度，虛線表示K分布雜波的理論幅度概率密度曲線，實線表示仿真得到的雜波序列的幅度概率密度曲線。圖 5(b)-圖8(b)中橫坐標為采樣頻率，縱坐標為功率譜密度，虛線表示K分布雜波的理論功率譜密度曲線，實線表示仿真得到的雜波序列的功率譜密度曲線。表 1給出了4種方法幅度分布的平均檢驗統(tǒng)計量和相對運算時間，通過KS檢驗和 χ2檢驗來定量比較各種方法的雜波幅度特性模擬性能[26]，通過計算相對運算時間來定量比較各種方法的仿真效率。

圖5 傳統(tǒng)ZMNL方法Fig. 5 Conventional ZMNL method

圖6 傳統(tǒng)SIRP方法Fig. 6 Conventional SIRP method

圖7 改進的ZMNL方法Fig. 7 Improved ZMNL method

圖8 改進的SIRP方法Fig. 8 Improved SIRP method

表1 檢驗統(tǒng)計量和相對運算時間Tab. 1 Test statistics and relative operation time

觀察圖5(a)和圖7(a)，傳統(tǒng)ZMNL方法模擬的雜波的幅度概率密度曲線與理論值有一定的偏差，相比而言，改進的ZMNL方法對相關K分布雜波的模擬效果有明顯的改善，這與表 1中改進的ZMNL方法的檢驗統(tǒng)計量小于傳統(tǒng)方法的相符。比較圖5(b)和圖7(b)發(fā)現(xiàn)，忽略圖3中變量序列{y2,i}對功率譜的影響，對K分布雜波的功率譜密度帶來的影響可以忽略不計。改進的 ZMNL方法與傳統(tǒng)ZMNL方法仿真運算所需的時間比為25:26，由此可見，圖3所示的改進方法在不增加仿真時間的前提下，改善了K分布雜波的模擬性能。

比較圖6(a)和圖8(a)，發(fā)現(xiàn)改進的SIRP方法對相關相干K分布雜波的模擬效果與傳統(tǒng)SIRP方法的效果相當，表1給出的這兩種方法的檢驗統(tǒng)計量也近似相等。比較圖6(b)和圖8(b)，可知與傳統(tǒng)SIRP方法相比，改進的SIRP方法也能獲得較理想的功率譜。傳統(tǒng)SIRP方法與改進的SIRP方法仿真運算所需的時間比為 112:1。由此可見，圖 4所示的改進方法在不影響雜波幅度特性和功率譜特性的基礎上，極大地提高了仿真速度。

5 結(jié)論

本文對幅度分布特性為K分布、功率譜特性為Gaussian譜的雷達雜波模擬方法進行了研究。針對傳統(tǒng)相關K分布雜波模擬方法中形狀參數(shù)為(半)整數(shù)的問題，通過增加Gamma分布生成支路，得到改進的相關K分布雜波的生成方法，將K分布雜波的形狀參數(shù)從(半)整數(shù)推廣到一般正實數(shù)。針對傳統(tǒng)相關相干 K分布雜波模擬方法計算量大的問題，本文給出不通過求解非線性方程直接產(chǎn)生調(diào)制變量的改進的相關相干K分布雜波生成方法，運算量大大減小。仿真結(jié)果表明，改進的ZMNL方法在不影響仿真時間的基礎上，改善了雜波幅度特性模擬的性能；改進的SIRP方法在不影響幅度概率密度分布仿真結(jié)果的前提下，有效地提高了仿真速度，節(jié)約了仿真時間。

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朱潔麗(1989-)，女，安徽安慶人，清華大學碩士研究生，研究方向為雷達信號處理。

E-mail: smile_zjl@163.com

湯 俊(1973-)，男，江蘇南京人，清華大學副教授，博士生導師，主要研究方向為MIMO雷達、信息論、陣列信號處理、通用高速實時信號處理系統(tǒng)。

K-distribution Clutter Simulation Methods Based on Improved ZMNL and SIRP

Zhu Jie-li Tang Jun
(Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Zero Memory NonLinearity (ZMNL) and Spherically Invariant Random Process (SIRP) are two commonly used methods in K-distribution clutter simulations. An improved simulation method, which adds abranch of Gamma-distributed variable and extends the shape parameter to arbitrary positive real, is proposed to address the clutter simulation error in the conventional ZMNL method. To reduce the computation required for the conventional SIRP method, an improved method of modulation variable generation is also proposed, what avoids large computations for solving nonlinear equations and improves the simulation speed. The simulation results verify the effectiveness of the improved methods.

K distribution; Radar clutter; Correlation; Coherent

TN957

A

2095-283X(2014)05-0533-08

10.3724/SP.J.1300.2014.13124

2013-12-12收到，2014-03-20改回；2014-05-26網(wǎng)絡優(yōu)先出版

61171120)，清華大學自主科研基金 (20131089362)，國家部委重點基金(9140A07020212JW0101)資助課題

*通信作者： 朱潔麗 zhu-jl10@mails.tsinghua.edu.cn