黃傳祿 晁 坤 毛云志

(中國(guó)電波傳播研究所 青島 266107)

空間譜估計(jì)中誤差自校正方法研究

黃傳祿*晁 坤 毛云志

(中國(guó)電波傳播研究所 青島 266107)

陣列誤差一直是空間譜估計(jì)理論實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)主要瓶頸。該文提出了一種新的陣列誤差自校正方法，結(jié)合有源校正與在線自校正理論和方法，通過(guò)利用一個(gè)空間位置方位不需要精確可知的輔助信號(hào)源，利用優(yōu)化算法完成信號(hào)源角度以及陣列復(fù)增益誤差的聯(lián)合估計(jì)，然后將估計(jì)的陣列誤差參數(shù)應(yīng)用到其后的空間譜估計(jì)中。這種自校正算法具有準(zhǔn)確度高的優(yōu)點(diǎn)，并且屬于離線算法，一方面避免了傳統(tǒng)的有源校正方法對(duì)輔助源位置方位精度的嚴(yán)格要求，同時(shí)避免了在線自校正算法的大計(jì)算量，可以應(yīng)用到實(shí)際空間譜估計(jì)中。

陣列信號(hào)處理；空間譜估計(jì)；陣列誤差；誤差自校正；參數(shù)優(yōu)化算法

1 引言

空間譜估計(jì)是陣列信號(hào)處理的主要內(nèi)容之一，其主要是指空間信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)，即 DOA (Direction of Arrival)估計(jì)。空間譜估計(jì)方法是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，在電子偵察、智能天線、雷達(dá)、聲吶等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[1－6]。現(xiàn)代空間譜估計(jì)的主要算法有基于線性預(yù)測(cè)的最大熵算法(Maximum Entropy Methods, MEM)，基于子空間分解類的多重信號(hào)分類算法(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)，基于子空間擬合類的最大似然算法(Maximum Likelihood, ML)等[1,2]。通常的DOA估計(jì)算法是基于理想模型的，但在工程應(yīng)用場(chǎng)合中各種各樣的誤差不可避免。當(dāng)實(shí)際模型與假設(shè)模型不相符或者偏差較大時(shí)，許多基于理想模型的DOA算法的性能將嚴(yán)重下降，甚至失效。因此必須采取補(bǔ)償或者誤差校正措施。實(shí)際工程中誤差來(lái)源主要有3類：一是有限數(shù)據(jù)長(zhǎng)度快拍；二是不能先驗(yàn)已知或精確估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣；三是導(dǎo)向矢量或陣列流型存在誤差[1,7,8]。如何消除這些誤差的影響，使DOA算法在應(yīng)用中具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，是DOA算法實(shí)用化的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。當(dāng)前處理模型未知或者存在誤差時(shí)的DOA問(wèn)題有兩種手段：一種是有源校正方法；另一種有效的方法是進(jìn)行自校正技術(shù)，即直接利用陣列采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行信源方位估計(jì)的同時(shí)進(jìn)行陣列誤差參數(shù)的估計(jì)和校正[9－11]。

有源校正方法利用空間位置方位精確可知的輔助信號(hào)源，對(duì)陣列擾動(dòng)參數(shù)進(jìn)行離線估計(jì)，由于其無(wú)需對(duì)信號(hào)源方位進(jìn)行估計(jì)，所以運(yùn)算量較小，處理簡(jiǎn)單，在實(shí)用中應(yīng)用較多。但有源校正對(duì)輔助信號(hào)源的方位信息精度要求高，如果不滿足或者精度不夠，則容易造成較大偏差[1,2]。自校正算法不需要輔助信號(hào)源，而是通過(guò)優(yōu)化算法，實(shí)時(shí)完成信號(hào)源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)，所以其校正精度比較高。但參數(shù)聯(lián)合估計(jì)往往對(duì)應(yīng)高維、多模非線性優(yōu)化問(wèn)題，這帶來(lái)了算法復(fù)雜，運(yùn)算量大的缺點(diǎn)，限制了其實(shí)用性[1,10]。因此，研究估計(jì)準(zhǔn)確、算法簡(jiǎn)單、實(shí)用性強(qiáng)的陣列誤差校正方法是空間譜估計(jì)理論實(shí)用化中的主要問(wèn)題。

本文結(jié)合上面兩種校正方法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的誤差校正方法。利用一方位信息不需要精確可知的輔助信號(hào)源進(jìn)行誤差自校正。即首先利用一輔助信號(hào)源進(jìn)行信號(hào)角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)，將估計(jì)得到的誤差參數(shù)應(yīng)用到其后的空間譜估計(jì)中。從本質(zhì)上，這是一種誤差自校正算法，所以其對(duì)輔助信號(hào)源的空間位置信息沒(méi)有要求。另外參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)計(jì)算是在空間譜估計(jì)之前的離線計(jì)算過(guò)程，并不影響空間譜估計(jì)時(shí)的計(jì)算速度。這可以簡(jiǎn)化陣列誤差的校正過(guò)程，便于實(shí)際系統(tǒng)的使用。

2 陣列誤差自校正算法

2.1 陣列誤差模型

本文主要討論陣列流型誤差，其主要由通道特性不一致造成。陣列誤差的影響主要體現(xiàn)在對(duì)陣列流型矩陣的擾動(dòng)上，圖1是包含通道誤差的陣列接收模型，包含誤差擾動(dòng)的陣列接收信號(hào)為[1]：

其中X(t)為陣列接收數(shù)據(jù)向量；A為理想陣列流型矩陣， A=[a(θ1),a(θ2),… ,a(θN)], a(θi)為對(duì)應(yīng)于入射角的導(dǎo)向矢量；S(t)為入射信號(hào)向量；Ni(t)為空間時(shí)間平穩(wěn)的噪聲向量，滿足 N分布，為噪聲平均功率。G為陣列通道誤差擾動(dòng)矩陣，即如下的復(fù)增益擾動(dòng)矩陣，主要包含通道增益誤差和相位誤差。

圖1 陣列接收模型示意圖Fig. 1 Schematic plan of array receive mode

其中g(shù)i為增益誤差，?i為相位誤差。

陣列接收的協(xié)方差矩陣為：

為分析簡(jiǎn)便，假設(shè)Σ=I。

2.2 DOA與增益聯(lián)合估計(jì)算法

由經(jīng)典MUSIC算法，式(1)描述的陣列模型的零譜函數(shù)可以寫(xiě)成[7]

其中UN為由小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的噪聲子空間。信源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題，即角度θ與G的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題：

由式(7)-式(9)，采用迭代法逐步估計(jì)角度θ和G，一直達(dá)到J收斂，便可以聯(lián)合估計(jì)出信號(hào)角度和誤差擾動(dòng)矩陣。該自校正算法對(duì)陣列誤差中的增益估計(jì)較準(zhǔn)確，但對(duì)相位估計(jì)不夠準(zhǔn)確，尤其對(duì)均勻線陣，由于其導(dǎo)向矢量的范德蒙特性，算法的方位估計(jì)和相位估計(jì)存在模糊性[10]。

2.3 線性陣的角度和相位誤差的聯(lián)合估計(jì)

由式(3)可以看出，陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素只包含信號(hào)和噪聲的功率信號(hào)，而相位信息則包含在矩陣的非對(duì)角元素中。因此可以利用該特性，通過(guò)協(xié)方差矩陣的非對(duì)角元素來(lái)完成陣列相位誤差的估計(jì)。

這樣通過(guò)求解矩陣方程式(15)，就可以得到?的估計(jì)值。但由于F不是列滿秩，即 FHF是奇異的，導(dǎo)致方程式(15)沒(méi)有唯一解。因此加上約束條件，?在觀察期間保持不變并且其均值為0，即[2]：

其中 H=(1 /(M -1))[ 1,1,… , 1]T。利用最小二乘法，可以得到式(18)的解為：

這樣便可以求得陣列相位誤差的估計(jì)值，其估計(jì)偏差的均值為：

其中S?為相位擾動(dòng)的和。從式(20)看出，陣元數(shù)目越大，其估計(jì)偏差越小，同時(shí)還可以看出，對(duì)前面通道的相位估計(jì)要比后面通道偏差更小。

2.4 加輔助源的陣列誤差自校正方法

首先利用一輔助信號(hào)源，對(duì)其空間位置和方位并不精確要求，然后進(jìn)行信號(hào)角度和陣列誤差的聯(lián)合估計(jì)，其中增益誤差參數(shù)的估計(jì)采用2.2節(jié)介紹的算法，相位誤差參數(shù)估計(jì)則采用2.3節(jié)算法，從而得到陣列誤差參數(shù)，即擾動(dòng)矩陣G。然后就可以利用式(1)描述的模型利用MUSIC算法(式(4))進(jìn)行DOA估計(jì)。由上文敘述可以看出，提供輔助信號(hào)源只是為了提前進(jìn)行一次空間譜估計(jì)，在估計(jì)中進(jìn)行輔助源角度和誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)，得到誤差參數(shù)的估計(jì)值。這從本質(zhì)上是自校正算法，因此并不需要輔助源的精確方位信息。另一方面，在信源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)中，多維參數(shù)優(yōu)化等復(fù)雜的運(yùn)算成為離線計(jì)算過(guò)程，不影響其后的空間譜估計(jì)過(guò)程。

3 仿真驗(yàn)證

在仿真計(jì)算中，采用1維均勻等距線陣，陣元數(shù)M=6，陣元間距d=0.5λ。假設(shè)有3個(gè)信號(hào)源分別位于 -1 5°,0°,1 5°，信噪比為10 dB。圖2給出了當(dāng)陣列增益有擾動(dòng)而相位沒(méi)有擾動(dòng)時(shí)，利用2.2節(jié)方法自校正算法得到的空間譜曲線。圖2中不同曲線代表不同迭代次數(shù)時(shí)的校正結(jié)果，1代表沒(méi)有校正，即擾動(dòng)矩陣為單位矩陣，0代表理想校正。從圖2中可以看出，算法在第8次迭代時(shí)便已經(jīng)接近理想曲線，說(shuō)明算法對(duì)增益幅度校正較準(zhǔn)確。圖3為陣列誤差加入了相位擾動(dòng)時(shí)的空間譜計(jì)算曲線?？梢钥闯?，加入相位擾動(dòng)時(shí)，2.2節(jié)的自校正算法估計(jì)性能變差，收斂次數(shù)增多，而且最終收斂的空間譜和理想曲線具有角度差。這說(shuō)明了2.2節(jié)的自校正算法對(duì)線陣的相位估計(jì)具有模糊性，不夠準(zhǔn)確。比較圖2和圖3還可以看出，陣列的相位擾動(dòng)相比幅度擾動(dòng)對(duì)譜估計(jì)算法影響更大，也更難校正。

表1列出了陣列誤差幅度和相位擾動(dòng)的具體值以及估計(jì)值。從表 1中得出，2.2節(jié)的算法對(duì)增益幅度誤差估計(jì)較準(zhǔn)確，校正較好，但對(duì)相位誤差估計(jì)偏差很大，顯示了該自校正算法的局限性。

圖 4為信號(hào)入射角度為-15°,0°,15°時(shí)，利用2.3節(jié)相位誤差估計(jì)方法計(jì)算的空間譜曲線，在仿真中只考慮了增益相位擾動(dòng)，沒(méi)有考慮增益幅度擾動(dòng)，即假設(shè)增益幅度是理想的。從圖4中可以看出，經(jīng)過(guò)校正后的空間譜曲線和理想狀態(tài)下曲線基本重合，校正效果良好。圖 5是在信號(hào)入射角為-20°,-5°,1 8°，并且陣列存在增益幅度擾動(dòng)和相位擾動(dòng)時(shí)空間譜曲線。其中陣列增益幅度誤差參數(shù)由2.2節(jié)算法估計(jì)，而相位誤差參數(shù)由2.3節(jié)算法估計(jì)得到。從圖5可以看出，校正后的曲線和理想狀態(tài)曲線基本吻合，說(shuō)明了陣列增益幅度誤差和相位誤差參數(shù)估計(jì)較準(zhǔn)確，最終DOA估計(jì)準(zhǔn)確，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

從2.4節(jié)描述和仿真模擬看出，本文提出的陣列誤差自校正方法，其增益幅度誤差和相位誤差需要分別估計(jì)得到。而且相位誤差較幅度誤差影響更大。因此，在實(shí)際操作中，需要先利用2.2節(jié)的聯(lián)合估計(jì)算法幅度誤差參數(shù)，然后再利用2.3節(jié)算法得出相位誤差參數(shù)。不能顛倒次序，因?yàn)?.3節(jié)估計(jì)相位誤差參數(shù)時(shí)，是假設(shè)沒(méi)有幅度誤差或者幅度誤差參數(shù)已知，這樣才能保證誤差參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

為驗(yàn)證陣列誤差校正的性能，我們利用估計(jì)角度的方差與克拉美-羅界比較，來(lái)判斷估計(jì)的性能?？死?羅界是一切空間譜估計(jì)算法估計(jì)方差的下限，對(duì)于1維均勻等距線陣，在陣元數(shù)M和快拍數(shù)L以及信噪比SNR情況下，克拉美-羅界為[1,2]：

利用本文提出的誤差校正的方法，進(jìn)行100次仿真，然后按式(22)計(jì)算角度估計(jì)方差

式(22)中角度以rad為單位。

圖6給出了利用本文誤差校正模型進(jìn)行DOA估計(jì)的方差和空間譜估計(jì)克拉美-羅界(CRB)的曲線。如圖所示，兩者曲線基本一致，說(shuō)明本文誤差校正模型的準(zhǔn)確性。從圖6中可以看出，隨著信噪比增高，估計(jì)的方差減少，而且與CRB越接近，說(shuō)明校正效果更好。而隨著信噪比降低，估計(jì)的方差增大，偏離CRB也更大，校正效果下降。圖7為選取不同快拍數(shù)(式(10))時(shí)進(jìn)行估計(jì)的方差?？梢钥闯?，當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí)，估計(jì)方差較大，與 CRB偏離也較大。這是因?yàn)楫?dāng)選取采樣快拍數(shù)較小時(shí)，信號(hào)與噪聲相關(guān)性增大，導(dǎo)致利用式(10)來(lái)估計(jì)協(xié)方差矩陣誤差變大[1,12]。如圖 7所示，當(dāng)快拍數(shù)L＞ 100時(shí)，估計(jì)方差較小，與CRB偏差也較小，估計(jì)性能變好。

圖2 增益幅度誤差校正曲線圖Fig. 2 The curve diagram of gain amplitude error calibration

圖3 增益幅度和相位誤差校正曲線Fig. 3 The curve diagram of gain amplitude and phase error calibration

表1 增益振幅和相位誤差校正Tab. 1 The calibration of gain amplitude and phase errors

圖4 相位誤差校正曲線Fig. 4 The curve diagram of phase error calibration

圖5 增益和相位誤差聯(lián)合校正曲線Fig. 5 The curve diagram of gain amplitude and phase error jointing calibration

圖6 估計(jì)方差隨信噪比變化Fig. 6 The estimated variance vs. signal-to-noise ratio

圖7 估計(jì)方差隨快拍數(shù)變化Fig. 7 The estimated variance vs. snap number

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的空間譜估計(jì)中陣列誤差的校正方法。利用一輔助信號(hào)源進(jìn)行預(yù)估計(jì)，同時(shí)得到陣列誤差的增益幅度和相位誤差參數(shù)的估計(jì)，從而在空間譜估計(jì)中進(jìn)行陣列誤差校正。這種方法避免了在線聯(lián)合估計(jì)的龐大計(jì)算量，還避免了有源校正模型中對(duì)輔助源方位的高精度要求，可以在工程實(shí)際中應(yīng)用。隨著信噪比以及采樣快拍數(shù)降低，估計(jì)的方差增大，校正效果下降，為保證估計(jì)性能，應(yīng)選取較大的快拍數(shù)。本文方法為陣列誤差校正提供了新的思路，具有理論及應(yīng)用價(jià)值。但本文方法僅限于不依賴方位的陣列擾動(dòng)及在估計(jì)周期內(nèi)的慢不一致性。而對(duì)于陣元位置誤差等角度依賴的相位擾動(dòng)，以及估計(jì)周期內(nèi)快不一致性的陣列誤差校正[12]，尚需要進(jìn)一步研究。

[1]王永良, 陳輝, 彭應(yīng)寧, 等. 空間譜估計(jì)理論與算法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004: 2-9.

Wang Yong-liang, Chen Hui, Peng Ying-ning, et al.. The Theory and Algorithms of Spatial Spectrum Estimation[M]. Beijing: Qinghua University Press, 2004: 2-9.

[2]劉德樹(shù), 羅景青, 張劍云. 空間譜估計(jì)及其應(yīng)用[M]. 合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 1997: 141-155.

Liu De-shu, Luo Jing-qing, and Zhang Jian-yun. The Technology and Application of Spatial Spectrum Estimation[M]. Hefei: University Press of Science and Technology of China, 1997: 141-155.

[3]孫逢林, 張升偉. 基于綜合孔徑輻射計(jì)稀疏陣列非均勻采樣圖像的快速重建[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2013, 35(4): 927-932.

Sun Feng-lin and Zhang Sheng-wei. Fast image reconstruction for non-uniform sampling of thinned array of synthesis aperture radiometer[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2013, 35(4): 927-932.

[4]齊子森, 郭英, 等. 柱面共性陣列天線盲極化波達(dá)方向估計(jì)算法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 26(2): 245-252.

Qi Zi-sen, Guo Ying, et al.. Blind DOA estimation algorithm for cylindrical conformal array with respect to Polarization diversity[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2011, 26(2): 245-252.

[5]王永良, 丁前軍, 李榮峰. 自適應(yīng)陣列處理[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 275-318.

Wang Yong-liang, Ding Qian-jun, and Li Rong-feng. Adaptive Array Processing[M]. Beijing: Qinghua University Press, 2009: 275-318.

[6]顧建峰. 陣列信號(hào)處理中若干問(wèn)題研究[D]. [博士論文], 電子科技大學(xué), 2008: 56-64.

Gu Jian-feng. Some researches on array signal processing[D]. [Ph.D. dissertation], University of Electron Technology, 2008: 56-64.

[7] Friedlander B and Weiss A J. Performance of directionfinding systems with sensor gain and phase uncertainties[J]. Circuits, System and Signal Processing, 1993, 12(1): 3-33.

[8]王鼎, 吳瑛. 基于旋轉(zhuǎn)不變子空間均勻圓陣互耦自校正算法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 26(2): 253-261.

Wang Ding and Wu Ying. Mutual coupling self-calibration algorithm for uniform circular array based on ESPRIT technique[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2011, 26(2): 253-261.

[9] Friedlander B and Weiss A J. Direction finding in the presence of mutual coupling[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1991, 39(3): 273-283.

[10]Wylie M P, Roy S, and Messer H. Joint DOA estimation and phase calibration of linear equispaced (LES) arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(12): 3449-3459.

[11]Flanagan B P. Self calibration of antenna arrays with large perturbation errors[D]. [Ph.D. dissertation], George Mason University, 2000: 47-61.

[12]Stavropoulos K and Manikas A. Array calibration in the presence of unknown sensor characteristics and mutual coupling[C]. Proceedings of the European Signal Processing Conference, Tampere, Finland, 2000, 3: 1417-1420.

黃傳祿(1984-)，男，山東臨沂人，2012年于中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所獲得博士學(xué)位?，F(xiàn)在中國(guó)電波傳播研究所任工程師，主要從事微波技術(shù)、輻射探測(cè)、信號(hào)處理等工作。

E-mail: chuanlu01@163.com

晁 坤(1979-)，男，江蘇徐州人，博士后，高級(jí)工程師，2008年博士畢業(yè)于西南交通大學(xué)電磁場(chǎng)與微波技術(shù)專業(yè)，現(xiàn)在中國(guó)電波傳播研究所從事電磁理論、微波遙感、被動(dòng)探測(cè)、太赫茲技術(shù)等方面的工作。

毛云志(1978-)，男，湖北武漢人，碩士，中國(guó)電波傳播研究所工程師。目前主要研究方向?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理。

Error Self-calibration Method in Spatial Spectrum Estimation

Huang Chuan-lu Chao Kun Mao Yun-zhi
(China Research Institute of Radiowave Propagation, Qingdao 266107, China)

An important bottleneck in spatial spectrum estimation theory is array errors. A new error self-calibration method is presented on the basis of active error calibration and online self-calibration theories. An algorithm combining Direction Of Arrival (DOA) estimation and array complex gain error calibration is developed using an auxiliary source without accurate spatial location information and numerical optimization calculation; the error calibration parameters can be used in the following spatial spectrum estimation. The method has a higher veracity than the active correction algorithm and is an offline calculation procedure, having the advantage of small computation amount, similar to the online self-calibration method, and avoiding accurate spatial location information in classical active calibration method.

Array signal processing; Spatial spectrum estimation; Array error; Error self-calibration; Parameter optimization algorithm

TN911

A

2095-283X(2014)05-0518-06

10.3724/SP.J.1300.2014.13147

2013-12-25收到，2014-04-14改回；2014-07-10網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版國(guó)家部委基金資助課題

*通信作者： 黃傳祿 chuanlu01@163.com