田 娜，朱龍超

1.江南大學 教育技術系，江蘇 無錫 214122

2.中國船舶科學研究中心 信息技術室，江蘇 無錫 214082

求解熱傳導系數反問題的量子行為粒子群算法

田 娜1，朱龍超2

1.江南大學 教育技術系，江蘇 無錫 214122

2.中國船舶科學研究中心 信息技術室，江蘇 無錫 214082

1 引言

熱力學中的熱傳導系數，通常是通過對流或流體和固體之間的相變，來計算傳熱過程。對板表面的熱傳導系數精確地了解，在許多工程應用中都有很重要的作用，包括連鑄坯和電子芯片的冷卻[1]。

在過去的幾十年里，許多工作已經致力于對隨時間變化（時變）的熱傳導系數的研究[1]。Su和Hewitt[2]使用Alifanov迭代正則化方法來估計強對流流體在加熱管外表面上沸騰時的熱傳導系數。在文獻[3]中，三種版本的共軛梯度法用來估計平板表面的熱傳導系數，平板通過與降溫液體的對流而散熱。Chen和Wu[4]應用了一種包含拉普拉斯變換，有限差分和最小二乘法的混合策略，連同時間順序的概念，三次樣條和溫度測量值一起，用于預測邊界表面的熱傳導系數分布。Slodicka[5]采用邊界元法和Tikhonov正則化來建構隨時間變化的熱傳導系數。Chantasiriwan[6]采用順序函數估計法連同線性基函數和線性變化的未來邊界熱通量或溫度假設來估計隨時間變化的Biot數字。在本文中，采用QPSO算法和Tikhonov正則化方法[7-9]用來估計時變熱傳導系數。QPSO算法是由Sun[10-12]在PSO的基礎上提出的。PSO算法最初是由Kennedy和Eberhart提出的，是模擬魚群和鳥群的社會行為的過程。與GA比較，PSO和QPSO的優(yōu)點在于：有更少的參數需要控制，運行起來更簡單，并且，算法只需要簡單的算術運算符，而不需要像GA中選擇，交叉，變異之類的操作。最后，結果與CGM估計得到的結果進行了比較。

2 問題描述

液體在平板的上面以一個恒定的溫度流動[1]，如圖1所示。

圖1 電加熱平板

如果平板突然被一個電加熱器加熱，板的溫度會上升。假設平板的材料沿y軸均勻，對流邊界條件在x=0和x=L是指定的。數學模型為：

其中T(x，t)是在位置x和時間t的溫度分布，g(t)是熱源在x=xs的強度，T∞是周圍環(huán)境的溫度，T0是初始溫度分布。為了描述簡單，物理屬性被設為K=ρC=L=1，這與采用無量綱的數據是一樣的。在這里，h(t)是未知的待確定的熱傳導系數。對方程（1）采用隱式有限差分法：

在邊界x=L，對流邊界條件用二階離散得到：

平均誤差herror，用來評估估計得到的熱傳導系數，可以定義為：

其中Nt是時間步數，hj是估計得到的熱傳導系數，h~j是準確的熱傳導系數。

最小二乘模型用來求解此類反問題：

這種方法求解反問題的過程是不適定性的，不可避免的測量和計算誤差常常導致不穩(wěn)定和不精確的結果。所以，采用正則化技術來得到穩(wěn)定解[7]，它可以將目標函數式（8）改寫成如下適定形式：

其中λ是正則參數，公式（9）右邊第一項是差異項，第二項是正則項。正則項通?？梢员硎緸槿缦滦问剑?/p>

其中n是正則階數。常用的有零階和一階正則項。當n=0時，為零階正則項：

3 量子行為粒子群優(yōu)化算法

3.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是基于群體智能的優(yōu)化技術，最初由Kennedy和Eberhart在1995提出的[13]。該算法的概念來源于鳥群或魚群的社會行為。該系統(tǒng)有一個粒子群體，其中每個粒子代表一個優(yōu)化問題可能的解。已經證明PSO算法與遺傳算法（GA）有相當的性能[14]。

在有M個粒子，D維空間的原始PSO算法中，第i個粒子在第k次迭代步的位置向量和速度向量表示為：Xi(k)=(Xi1(k)，Xi2(k)，…，XiD(k))，Vi(k)=(Vi1(k)，Vi2(k)，…，ViD(k))。粒子根據以下迭代公式更新速度和位置：

其中i=1，2，…，M ，j=1，2，…，D，c1和c2是加速系數。r1和r2是均勻分布在（0，1）中的隨機數。向量Pi= (Pi1，Pi2，…，PiD)是第i個粒子的歷史最佳位置。向量Pg=(Pg1，Pg2，…，PgD)是整個粒子群的歷史最佳位置。

3.2 量子行為粒子群優(yōu)化算法

原始PSO算法的缺點是不能確保收斂到全局最優(yōu)解[15]，為了克服這個缺點，Sun在2004年提出了量子行為粒子群優(yōu)化算法的概念，文獻[10-11]中的軌跡分析說明，當每個粒子收斂到 pi=(pi1，pi2，…，piD)時，PSO算法實現(xiàn)收斂：

其中φ∈(0，1)。

在量子世界中，粒子的速度是沒有意義的。所以在QPSO中，位置是唯一描述粒子狀態(tài)的變量，更新公式如：

其中mbest(k)稱作平均最優(yōu)位置，定義為所有粒子歷史最優(yōu)位置的平均值：

其中M是粒子的個數。公式（16）中的參數α是收縮系數，通過調整可以控制收斂速度。與PSO不同的是，QPSO算法不需要算法向量，并且只有一個參數需要控制，使得算法更容易執(zhí)行。標準測試函數證明，QPSO算法的性能要優(yōu)于PSO算法[10-12]。

在本文中，QPSO算法用來估計隨時間變化的熱傳導系數h(t)，其中，每個粒子Xi(k)作為h(t)的一個候選解：

其中D=Nt。

QPSO與Tikhonov正則化方法估計h(t)的過程可以描述為：

選擇N個正則參數值{λ1，λ2，…，λN-1，λN}以及與之對應的兩個向量Residual和Norm；對于每一個正則參數 λj(j=1，2，…，N)

Step1初始化：粒子位置

X(0)={X1(0)，X2(0)，…，Xi(0)，…，XM(0)}

粒子歷史最優(yōu)位置

P(0)={P1(0)，P2(0)，…，Pi(0)，…，PM(0)}

全局最優(yōu)位置Pg，縮放系數α=1.0，k=0。

Step2 while(k＜kmax)

根據公式（17）計算mbest；根據公式（15）計算 p；根據公式（16）更新每個粒子的位置；根據公式（12）評估每個粒子在λj下的適應值；更新P和Pg；更新α；

Step3將向量Residual和Norm的點畫在坐標系中，以獲得最優(yōu)正則系數λopt。Go to Step1。

Step4輸出估計得到的最優(yōu)熱傳導系數hopt。

4 數值測試

在隨后的數值實驗中，采用方波函數[2]：

這是最難估計的一種情況。問題的設置為：

為了探討傳感器的數量和位置對結果的影響，表1列出了一系列不同的案例。圖2顯示了分別采用1，3，5個傳感器的結果。從中可以注意到，用3個和5個傳感器估計的結果并不優(yōu)于只用一個傳感器得到的結果。因此，這表明，一個傳感器足以獲得令人滿意的估計問題。

表1 傳感器的數量和位置對結果的影響

圖2 QPSO用不同數量的傳感器估計的h(t)

因此，在隨后的測試中只用一個傳感器來進行溫度測量。圖3所示顯示了傳感器的位置對熱傳導系數的影響。表2列出了四種傳感器的位置和其相應的平均誤差和目標函數值。從中可以注意到，傳感器越接近對流邊界，結果越好，如圖3所示。

圖3 QPSO采用不同位置的傳感器估計的h(t)

表2 傳感器位置對結果的影響

用模擬實驗溫度來研究不同噪音水平對結果的影響。測試中采用了三個不同的噪聲水平。表3列出了QPSO和CGM算法的平均誤差和目標函數值。圖4比較了二者的結果。從中注意到，由QPSO估計得到的出色結果，特別是對t=tf附近值的估計。圖5顯示了QPSO和CGM在估計熱傳導系數時的收斂曲線。注意到，CGM收斂速度很快，但是在一些迭代步之后，收斂就出現(xiàn)了停滯。雖然隨機初始化的QPSO算法的收斂速度相對緩慢，但是全局最優(yōu)解得到了保障。

表3 在不同噪聲下QPSO和CGM的比較

圖4 QPSO和CGM用不同水平的噪聲估計的h(t)

圖5 CGM和QPSO估計的h(t)收斂曲線(ε=0)

為了測試QPSO算法的魯棒性，再對兩個函數進行測試，一個是持續(xù)很短時間的方波函數：

由QPSO和CGM估計的結果如圖6和圖7所示?？梢钥闯?，由QPSO估計的時變熱傳導系數與準確的熱傳導系數非常逼近。

圖6 QPSO和CGM估計較小波函數的h(t)

圖7 QPSO和CGM估計波形h(t)(ε=0)

5 結論

在本文中，QPSO算法用來對平板表面的時變熱傳導系數進行估計。采用模擬測量溫度值得到的結果證明了QPSO算法的可行性和穩(wěn)定性。分析研究了傳感器的數量和位置對結果精確度的影響。通過對QPSO和CGM的比較，說明了QPSO的優(yōu)越性。

[1]Beck J V，Blackwell B，St-Clair C R.Inverse heat conduction：ill-posed problems[M].New York：Wiley-InterScience，1985.

[2]Su J，Hewitt G.Inverse heat conduction problem of estimating time-varying heat transfer coefficient[J].Numerical Heat Transfer Part A：Applications，2004，45（8）：777-789.

[3]Colaco M J，Orlande H R B.Comparison of different versions of the conjugate gradient method of function estimation[J].Numerical Heat Transfer Part A：Applications，1999，36（2）：229-249.

[4]Chen H T，Wu X Y.Investigation of heat transfer coefficient in two-dimensional transient inverse heat conduction problems using the hybrid inverse scheme[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，2008，73（1）：107-122.

[5]Slodicka M，Lesnic D，Onyango T T M.Determination of a time-dependent heat transfer coefficient in a nonlinear inverse heat conduction problem[J].Inverse Problems in Science and Engineering，2010，18（1）：65-81.

[6]Chantasiriwan S.Inverse heat conduction problem of determining time-dependent heat transfer coefficient[J].International Journal of Heat Mass Transfer，2000，42（23）：4275-4285.

[7]Tikhonov A N，Arsenin V Y.Solution of ill-posed problems[M].Winston：Washington DC，1977.

[8]Morozov V A.Methods for incorrectly posed problems[M]. [S.l.]：Springer，1984.

[9]Hansen P C.The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems[M]//Computational Inverse Problem in Electrocardiography，Advances in Computational Bioengineering.Holland：WIT Press，2001.

[10]Sun J，F(xiàn)eng B，Xu W B.Particle swarm optimization with particles having quantum behaviour[C]//IEEE Congress on Evolutionary Computation，Portland，USA，2004.

[11]Sun J，Xu W B，Liu J.Parameter selection of quantumbehaved particle swarm optimization[C]//Lecture Notes in Computer Science，2005，3612.

[12]Sun J，Xu W B，F(xiàn)eng B.A global search strategy of quantum-behaved particle swarm optimization[C]//IEEE Conf on Cybernetics and Intelligent Systems，Singapore，2004.

[13]Kennedy J，Eberhart R C.Particle swarm optimization[C]// IEEE Int Conf on Neural Networks，Perth，Australia，1995.

[14]Eberhart R C，Shi Y.Comparison between genetic algorithm and particle swarm optimization[C]//Lecture Notes in Computer Science：Evolutionary Programming VII. Berlin，Heidelberg：Springer，1998，1447：611-616.

[15]van den Bergh F.An analysis of particle swarm optimizers[D].South Africa：University of Pretoria，2001.

[16]Clerc M，Kennedy J.The particle swarm：explosion，stability，and convergence in a multi-dimensional complex space[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computing，2002，6（1）：58-73.

TIAN Na1,ZHU Longchao2

1.Department of Educational Technology,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Department of Information Technology,China Ship Science Research Centre,Wuxi,Jiangsu 214082,China

In this paper,the Quantum-behaved Particle Swarm Optimization（QPSO）with Tikhonov regularization is used to solve the inverse heat conduction problem of estimating the time dependent heat transfer coefficient of a flat plate.The prior information about the functional form of the unknown is unavailable.The estimation is based on transient temperature measurements taken by the sensors imbedded in the plate,which are used in the least square model,minimized by QPSO. The detail of choosing the best regularization parameter by L-curve method is presented.Numerical experiments are performed to test the proposed method.Effects of the location and number of sensors are also investigated.Comparison with conjugate gradient method is given as well.

heat transfer coefficient;Quantum-behaved Particle Swarm Optimization（QPSO）;Tikhonov regularization; conjugate gradient method;L-curve

量子行為粒子群優(yōu)化算法（QPSO）和Tikhonov正則化方法用來求解熱傳導反問題，近似估計平板隨時間變化的熱傳導系數。由于熱傳導系數的函數形式是未知的，所以問題可以歸結為函數估計問題。求解過程是基于最小二乘模型的，采用的是嵌在平板中的傳感器所測量得到的溫度，優(yōu)化過程由QPSO算法來求解。給出了由L曲線方法選擇正則參數的詳細過程。提出算法的有效性經過了數值實驗的驗證。傳感器的位置和數量對結果的影響也做了研究。給出了與共軛梯度法的比較。

熱傳導系數；量子行為粒子群優(yōu)化算法；Tikhonov正則化；共軛梯度法；L曲線

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0033

TIAN Na,ZHU Longchao.Estimation of heat transfer coefficient using Quantum-behaved Particle Swarm Optimization.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：266-270.

江南大學自主科研項目基金（No.1245210382130120，No.1242050205142810）。

田娜（1983—），女，博士，副教授，主要研究方向為智能計算，模式識別，偏微分方程反問題。

2013-05-08

2013-09-11

1002-8331（2014）24-0266-05

CNKI網絡優(yōu)先出版：2014-05-05，http∶//www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0033.html