王秀利，劉 洋

中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100081

基于雙種群交流粒子群算法的離散投資組合模型

王秀利，劉 洋

中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100081

1 引言

均值-方差模型[1]尋求在一定收益水平下風(fēng)險(xiǎn)最小，或在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下收益最大。但該模型基于一系列嚴(yán)格假設(shè)，與實(shí)際證券市場(chǎng)投資環(huán)境存在很大差異，因此，考慮買(mǎi)空賣(mài)空限制、整數(shù)手?jǐn)?shù)交易、交易費(fèi)用等實(shí)際因素，提出一種符合當(dāng)前我國(guó)證券投資市場(chǎng)的更完善的投資組合模型。其求解方法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[2]、進(jìn)化算法[3]、模糊系統(tǒng)[4]等，這些算法需要交叉、變異等特殊處理操作或?qū)δ繕?biāo)函數(shù)的特征有著嚴(yán)格要求。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）無(wú)需交叉、變異，對(duì)目標(biāo)函數(shù)無(wú)特殊要求，被廣泛應(yīng)用于模糊系統(tǒng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、函數(shù)優(yōu)化、工程應(yīng)用[5-6]中，但其后期收斂速度慢，面對(duì)多極值問(wèn)題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)。其改進(jìn)算法有以下幾種：將不同的算法與PSO嵌入，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)[7-8]；采用新的學(xué)習(xí)策略更新位置和速度[9]；改變搜索環(huán)境或搜索狀態(tài)[10]等。

用改進(jìn)PSO算法求解投資組合問(wèn)題取得了很多成果，但也存在不足之處，如文獻(xiàn)[11]將捕食策略引入PSO，提高了搜索精度，但增大了時(shí)間復(fù)雜度，同時(shí)算法最終可能出現(xiàn)不可能解，投資組合模型中忽略了投資者偏好；文獻(xiàn)[12]引入遺傳算法提高了PSO算法的搜索性能，并能夠找到風(fēng)險(xiǎn)更小的投資組合，但新算法因復(fù)雜的“交叉”操作而使PSO失去了簡(jiǎn)單易行的最大優(yōu)勢(shì)，并且沒(méi)有考慮完整的交易費(fèi)用等實(shí)際因素；與本文相似，文獻(xiàn)[13]同樣在標(biāo)準(zhǔn)PSO中引入了兩個(gè)種群，但是學(xué)習(xí)過(guò)程中粒子的行動(dòng)受到速度范圍的制約，跳出局部極值的可能性很小，很可能學(xué)習(xí)失敗，且速度的變異方式無(wú)根據(jù)可循。

本文以被學(xué)習(xí)種群作為標(biāo)尺，由學(xué)習(xí)種群根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行速度變異從而向新區(qū)域探索，不改變空間復(fù)雜度，收斂速度更快，精度更高。本文把基于雙種群交流的離散PSO算法應(yīng)用于符合我國(guó)實(shí)際情況的證券投資組合模型中，實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)化求解。

2 基于雙種群交流的粒子群算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在適應(yīng)度函數(shù)存在多極值時(shí)很容易陷入局部最優(yōu)，雙種群交流的PSO算法針對(duì)這一缺陷進(jìn)行改進(jìn)。

雙種群交流PSO將粒子初始化為兩個(gè)種群，即swarm1與swarm2，二者更新時(shí)互不干擾，到目前為止找到的最優(yōu)適應(yīng)度值分別為 fpg1和 fpg2，令 fpg=max(fpg1，fpg2)，直到連續(xù)K次 fpg都不變，兩個(gè)種群開(kāi)始交流。

2.1 雙種群交流步驟

2.1.1 確定（被）學(xué)習(xí)種群

以目前 fpg為標(biāo)準(zhǔn)，按照模擬退火算法公式，對(duì)swarm1有：

若 ps＜rand()，則被學(xué)習(xí)種群為swarm1；反之被學(xué)習(xí)種群為swarm2。其中T為退火溫度。采用上述方法后，使得目前最大適應(yīng)度相對(duì)較壞的種群也有可能成為被學(xué)習(xí)對(duì)象。

2.1.2 確定學(xué)習(xí)種群的學(xué)習(xí)概率

根據(jù)學(xué)習(xí)種群中每個(gè)粒子自身到目前為止搜索到的歷史最優(yōu)適應(yīng)度值大小對(duì)粒子進(jìn)行連續(xù)編號(hào)。由于歷史最優(yōu)適應(yīng)度值越大，該粒子對(duì)其他粒子的吸引力越強(qiáng)，為防止局部最優(yōu)，就越需要向外界學(xué)習(xí)從而對(duì)其位置進(jìn)行變異，該粒子編號(hào)應(yīng)該越大。第i個(gè)粒子的學(xué)習(xí)概率為 pdi=0.5×(numberi/N)5+0.1，其中numberi是學(xué)習(xí)種群中第i個(gè)粒子的編號(hào)，N為學(xué)習(xí)種群規(guī)模。

2.1.3 更新粒子的速度與位置

被學(xué)習(xí)種群按照標(biāo)準(zhǔn)PSO更新速度與位置。學(xué)習(xí)種群中每個(gè)粒子都要根據(jù)學(xué)習(xí)得來(lái)的信息以新方式更新速度和位置。

當(dāng) pdi＞rand()時(shí)，該粒子向被學(xué)習(xí)種群靠攏，所涉及的區(qū)域相對(duì)當(dāng)前位置而言在被學(xué)習(xí)種群一側(cè)。速度更新公式如下（以swarm1向swarm2學(xué)習(xí)為例，下同）：

其中?為[0，1]之間的隨機(jī)變量。位置更新公式如下：

為了在學(xué)習(xí)中讓粒子盡可能大步邁出當(dāng)前的局部機(jī)制，突破速度范圍的限制，引入速度約束因子γ，在更新位置時(shí)，起到調(diào)節(jié)速度的作用。γ的大小設(shè)置與速度的范圍限制有關(guān)，設(shè)置原則是使該速度變異的粒子能夠跳出當(dāng)前的局部最優(yōu)區(qū)域，盡可能向更大范圍探索。如本文中速度的范圍被設(shè)置為搜索空間范圍的0.2倍，則γ設(shè)置為2.5，使得該粒子一次速度變異能夠飛行的距離約為整個(gè)搜索空間的一半。經(jīng)本文多次測(cè)試可知，當(dāng)γ過(guò)小時(shí)，粒子很可能無(wú)法跳出當(dāng)前局部極值區(qū)域，本次粒子學(xué)習(xí)失??；當(dāng)γ過(guò)大時(shí)，往往會(huì)使粒子學(xué)習(xí)后的新位置溢出搜索空間邊界，最終被重置于某一特定位置，這樣很多粒子速度變異后都集中在被特設(shè)的區(qū)域，無(wú)法盡可能分散到整個(gè)搜索空間，會(huì)削弱整個(gè)種群的搜索能力。

當(dāng) pdi＜rand()時(shí)，該粒子向被學(xué)習(xí)種群背離，所涉及的區(qū)域相對(duì)當(dāng)前位置而言在被學(xué)習(xí)種群一側(cè)的相反方向。目的是覆蓋整個(gè)搜索區(qū)域。速度更新公式如下：

位置更新同公式（2）。

對(duì)于粒子位置的離散約束和范圍約束采用懲罰函數(shù)的方法進(jìn)行處理。

2.2 雙種群交流流程圖

雙種群交流PSO算法流程圖如圖1所示。

圖1 雙種群交流PSO流程圖

3 符合我國(guó)實(shí)際情況的投資組合模型

3.1 投資組合約束函數(shù)

假設(shè)投資總額為total，投資比例向量為 x={x1，x2，…，xn}′，xi表示投資于每種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重，σ表示每種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率變化之間的協(xié)方差矩陣，即風(fēng)險(xiǎn)程度的衡量；Ri(i=1,2,…，n)表示第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率。

我國(guó)證券市場(chǎng)上存在以下幾種限制因素：

（1）買(mǎi)空賣(mài)空限制：不允許買(mǎi)空與賣(mài)空，則0≤xi≤1。

（4）交易費(fèi)用：上證交易所買(mǎi)入股票的成本有：

3.2 投資組合目標(biāo)函數(shù)

在風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)，投資者會(huì)選擇收益較大的組合；而在收益一定時(shí)投資者會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)較小的組合。其目標(biāo)函數(shù)為：

投資者可根據(jù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度選擇不同的系數(shù)ρ。

綜上可得符合我國(guó)實(shí)際情況的投資組合模型為：

4 投資組合模型求解

4.1 樣本與數(shù)據(jù)來(lái)源

由于2013年我國(guó)尚未發(fā)行一年期國(guó)債，所以使用三年期國(guó)債的年利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，為4.76%。本文所選股票全部來(lái)自上證A股，在農(nóng)林牧漁、采礦業(yè)、建筑業(yè)、信息技術(shù)業(yè)、金融業(yè)、住宿和餐飲、水電煤、房地產(chǎn)、文化和社會(huì)工作、文化體育娛樂(lè)10個(gè)行業(yè)中選取了50支股票，利用2010、2011、2012全年收益率和2013第一季度收益率作為處理股票預(yù)期收益率的依據(jù)，并據(jù)其計(jì)算每只股票之間的協(xié)方差以衡量風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)證所需要的股票價(jià)格和收益率等數(shù)據(jù)全部來(lái)自于“東北證券網(wǎng)上交易V6”平臺(tái)。50只股票的基本情況如表1所示。

表1 上證交易所50支股票部分近年收益數(shù)據(jù)

表2 最優(yōu)投資組合（期望收益率為8%時(shí)）1）

表3 最優(yōu)投資組合（期望收益率為9%時(shí)）1）

表4 最優(yōu)投資組合（期望收益率為10%時(shí)）1）

表5 最優(yōu)投資組合（期望收益率為11%時(shí)）1）

表6 最優(yōu)投資組合（期望收益率為12%時(shí)）1）

4.2 結(jié)果與分析

將50只樣本全部引入模型，由投資者預(yù)期收益率、手?jǐn)?shù)為整數(shù)、投資組合公式等作為約束條件，自由選擇股票，并給出所投資的手?jǐn)?shù)、組合的期望與標(biāo)準(zhǔn)差。初始投資額total為100萬(wàn)元。使用MATLAB編程所得最優(yōu)投資組合如表2～表6所示。

由上述結(jié)果可以看出：

（1）隨著投資者的期望收益率不斷增加，標(biāo)準(zhǔn)差也不斷增加，這符合風(fēng)險(xiǎn)收益正相關(guān)原理。

（2）在該模型中投資者可以根據(jù)自己對(duì)市場(chǎng)的預(yù)期改變其期望收益率，獲得不同的投資組合。

（3）投資組合中，影響不同行業(yè)不同股票的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不同，可能相互抵消，只需選擇若干只收益率相關(guān)系數(shù)較小的股票進(jìn)行投資即可，盡可能多地選擇股票進(jìn)行投資是沒(méi)有意義的，因此該模型能對(duì)股票數(shù)目和種類(lèi)進(jìn)行自主選擇。

（4）該模型能夠按照我國(guó)股票市場(chǎng)上整數(shù)手?jǐn)?shù)投資、買(mǎi)空賣(mài)空限制、交易費(fèi)用限制、投資總金額有限等多種實(shí)際情況，有效指導(dǎo)投資者進(jìn)行投資。

5 結(jié)束語(yǔ)

將改進(jìn)的雙種群交流離散PSO算法應(yīng)用到我國(guó)股票市場(chǎng)上，不僅能夠指導(dǎo)投資者選擇股票種類(lèi)進(jìn)行組合，更能給出投資的比例，是一種切實(shí)可行的指導(dǎo)投資者構(gòu)造資產(chǎn)組合的方法。

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WANG Xiuli,LIU Yang

School of Information,Central University of Finance and Economics,Beijing 100081,China

Considering that standard Particle Swarm Optimization（PSO）has the severe problem of being stuck in local optimums,this paper puts forward an improved particle swarm optimization with two particle swarms communicating with each other on the basis of velocity mutation,leading to the problem above to be resolved.In addition,taking into account the existence of transaction cost and the restraints of long sale,short sale,integral number of transactions and so on in China, this paper builds a portfolio selection model which totally reflects current status in our country.It applies the improved PSO above to deal with the model.The result comes out that the model is integrated and effective in our country,and also the PSO with two particle swarms communicating with each other is proper and efficient.

two particle swarms communicating with each other;Particle Swarm Optimization（PSO）;portfolio selection model

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的缺陷，提出一種雙種群交流的新型粒子群算法，利用速度變異成功地解決了上述問(wèn)題；綜合考慮了我國(guó)股票市場(chǎng)上的交易費(fèi)用、整數(shù)手?jǐn)?shù)投資、不允許買(mǎi)空賣(mài)空等問(wèn)題，建立了符合我國(guó)股票市場(chǎng)的投資組合模型，并將雙種群交流的離散粒子群算法應(yīng)用于其求解過(guò)程中，給出最優(yōu)投資組合。

雙種群交流；粒子群優(yōu)化；投資組合模型

A

TP399；F830.59

10.3778/j.issn.1002-8331.1308-0207

WANG Xiuli,LIU Yang.Discrete portfolio selection model based on particle swarm optimization algorithm with two particle swarms communicating with each other.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：227-230.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61272398）；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（No.13AXW010）；中央財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)科建設(shè)基金項(xiàng)目。

王秀利（1977—），男，博士，副教授，CCF高級(jí)會(huì)員，研究領(lǐng)域?yàn)樾畔⒔?jīng)濟(jì)、優(yōu)化理論及應(yīng)用。E-mail：xlwang.cufe@gmail.com

2013-08-15

2013-09-30

1002-8331（2014）24-0227-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-07-11，http∶//www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1308-0207.html