屈百達，陳龍，徐保國

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫 214122

改進的時延丟包網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的分析和控制

屈百達，陳龍，徐保國

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫 214122

1 引言

在傳統(tǒng)點對點控制模式下，成本較高、布線復雜、信息封閉等一系列缺點日益突出。網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（Networked Control Systems，NCSs）的出現(xiàn)，適應了控制系統(tǒng)逐漸向網(wǎng)絡化、分布化和智能化方向發(fā)展的趨勢[1-2]。NCSs具有總體成本較低、故障診斷容易、高效率、高可靠性等優(yōu)點。但是各節(jié)點在通過網(wǎng)絡進行數(shù)據(jù)交換時，不可避免地出現(xiàn)網(wǎng)絡誘導時延、數(shù)據(jù)丟包等非理想網(wǎng)絡狀況。網(wǎng)絡誘導時延可能是定常、時變或是隨機的。同時，網(wǎng)絡時延也會因為不同的調(diào)度策略和網(wǎng)絡故障等因素而發(fā)生變化。另一方面，數(shù)據(jù)包在傳輸過程中，如果存在連接中斷或是網(wǎng)絡阻塞，有可能導致數(shù)據(jù)包的丟失。網(wǎng)絡時延和數(shù)據(jù)丟包的存在會降低整個NCSs的性能，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定[3-6]。因此，設計一個合理的控制器來保證NCSs在時延和丟包問題下的穩(wěn)定性是很有必要的。這是NCSs的重要研究內(nèi)容之一。

近年來，利用時滯系統(tǒng)理論的時滯相關條件對NCSs進行分析和設計得到學者廣泛的關注[7-11]。文獻[7]采用了模型變換方法，研究了時滯NCSs的穩(wěn)定性。然而，模型變換方法需要對交叉項進行界定，具有一定的局限性。文獻[8]將網(wǎng)絡時延和丟包問題表述為具有時延界的NCSs綜合模型，通過引入松弛變量，研究了NCSs的無記憶反饋控制器設計，但是證明中忽略了一些有用項，不可避免地帶來了保守性。文獻[9]采用積分不等式方法，提出了一種新的NCSs的H∞穩(wěn)定準則，降低了模型變換和松弛變量帶來的保守性，然而，中間的一些有效項仍然被丟棄。文獻[10]運用自由權矩陣和函數(shù)的凸性，研究了具有時變或隨機時延的NCSs的H∞反饋控制器設計問題，但由于引入了太多自由變量，大大地增加了計算量。

針對以上文獻的不足，本文參考了文獻[8]的模型，引入了具有邏輯判斷功能的零階保持器，對NCSs建立網(wǎng)絡閉環(huán)時滯系統(tǒng)模型，充分考慮網(wǎng)絡時延和數(shù)據(jù)丟包的問題。為了分析NCSs穩(wěn)定性，將時滯區(qū)間分成兩個不同的子區(qū)間，采用了包含網(wǎng)絡時延上下界的分段Lyapunov-Krasovskii泛函，基于一個更緊的有限和不等式，得到了具有較少變量的穩(wěn)定性條件。此外，本文通過采用改進的錐補線性化迭代方法，給出了一種保守性更小的狀態(tài)反饋控制器的求解算法。

2 問題描述

考慮如下的線性系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rm分別為狀態(tài)向量和控制輸入向量，A，B為具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

為了便于系統(tǒng)的描述，給出如下合理的假設：

假設1 NCSs的傳感器是時間驅(qū)動的，控制器和執(zhí)行器是事件驅(qū)動的，數(shù)據(jù)采用單包傳輸。

假設2網(wǎng)絡的實際輸入u(t)是一個分段連續(xù)函數(shù)，可通過具有邏輯判斷功能零階保持器來實現(xiàn)。

假設3控制器和執(zhí)行器總是選擇最新到達的控制數(shù)據(jù)包而丟棄舊的數(shù)據(jù)包，當一個舊的數(shù)據(jù)包到達時，會被當作一個丟失的數(shù)據(jù)包來處理。

基于以上的假設，并考慮網(wǎng)絡延遲、數(shù)據(jù)包丟失等不確定網(wǎng)絡狀況影響，采用文獻[8]的建模方法，則控制系統(tǒng)可以描述為：

其中h為采樣周期ik+1h+τk+1之間變化的時刻，即相應控制信號作用在系統(tǒng)（1）上的時刻；ik(k=1,2,…)是一些整數(shù)且{ik,k=1,2,…}?{0,1,…}；τk為網(wǎng)絡誘導時延。

假設全部狀態(tài)變量都是可測量的，因此式（2）可以改寫為如下閉環(huán)采樣系統(tǒng)：

注2由于采用零階保持器，實現(xiàn)了執(zhí)行器選擇新到達的數(shù)據(jù)包而丟棄舊數(shù)據(jù)包的策略。所以假設ik+1＞ik總是成立，當ik+1=ik+1，表示傳輸中沒有數(shù)據(jù)丟包，當α=ik+1-ik＞1，表示傳輸中有數(shù)據(jù)丟包，且丟包數(shù)為α-1。

借助文獻[12]的思想將采樣控制輸入轉(zhuǎn)化為輸入時滯，式（3）可轉(zhuǎn)化為閉環(huán)時滯系統(tǒng)。

基于式（4）～（6）的定義，則式（3）可改寫為：

式（7）中，?(t)為系統(tǒng)的初始函數(shù)。

文中定理證明將用到如下引理：

更進一步，下面式（10）成立的充分條件是式（11）成立：

可以得到式（10），證畢。

注3引理2可以看作文獻[14]中引理1的連續(xù)形式，它在證明推導中起到了重要的作用。

注4式（9）的有限和不等式未運用任何自由矩陣，變量個數(shù)較少，具有較低的保守性和較高的求解效率，雖然式（10）中的ε1和ε2是時變的，不能直接利用MATLAB中的LMI工具箱求解，但是式（11）解決了這一問題，它可以直接利用LMI求解。

3 主要結(jié)論

本章考慮系統(tǒng)（7），并定義τa=(τ1+τ2)/2，給出系統(tǒng)（7）漸進穩(wěn)定的充分條件并設計相應的狀態(tài)反饋控制器。

3.1 NCSs穩(wěn)定性分析

定理1對于給定標量τ2≥τ1≥0，矩陣K，假如存在具有適當維數(shù)的對稱正定矩陣P＞0，Qi＞0(i=1,2,3)，Zi＞0(i=1,2,3)，滿足以下LMI：

那么系統(tǒng)（7）是漸近穩(wěn)定的。

注5*是由矩陣對稱性得到的矩陣塊。

證明：構造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函

對V(xt)沿著系統(tǒng)（7）的軌線求導，可得：

情形2當τa≤τ(t)≤τ2，構造式（16）的Lyapunov-Krasovskii泛函并對V(xt)求導得到式（17），繼續(xù)利用引理1和引理2來處理式（18）～（20）代入式（17），可得

情形2的證明過程與情形1的類似，式（15）也保證了式（23）的(xt)＜0。因此式（14）和式（15）保證了τ1≤τ(t)≤τ2的時候，(xt)＜0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)式（7）是漸近穩(wěn)定的。

注6在Lyapunov-Krasovskii泛函設計中，充分考慮了時延上下界的關系，在證明過程中，既沒有運用模型變換也沒有引入自由矩陣，只是有效地利用了有限和不等式進行處理。另外，證明中沒有忽略任何有用項且具有較少的變量。相比較于文獻[9，11]，定理1具有較小的保守性和計算量。在隨后的實例中將加以說明。

3.2 NCSs控制器設計

那么系統(tǒng)（7）是漸近穩(wěn)定的且控制器增益為K=YX-1。

步驟4對于步驟3所得的K=YX-1，如果不等式（24）和（25）有可行解，則令τmax=τ2，適當?shù)脑黾应?并返回步驟2；如果步驟3所得的K=YX-1使得不等式（24）和（25）沒有可行解，且k大于最大的迭代次數(shù)，則退出程序。否則，令k=k+1，返回步驟3。

4 仿真實例

例1考慮具有如下參數(shù)的系統(tǒng)

若給定控制器K=[-3.75-11.5]，利用定理1和LMI工具箱可以求得在不同下界τ1時的最大允許網(wǎng)絡時延τ2，如表1所示，本文與相關文獻比較結(jié)果具有較少的保守性和矩陣變量。

表1 不同下界τ1下最大允許網(wǎng)絡時延的比較

對給定初始狀態(tài)x0=[2,-1.5]T，控制器K=[-3.75-11.5]和求得的τ2=1.062 2，得到系統(tǒng)狀態(tài)響應如圖1所示，可看出系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

圖1 τ2=1.062 2的系統(tǒng)狀態(tài)響應

例2考慮具有如下參數(shù)的系統(tǒng)[8]

給定下界τ1=0，利用文獻[8]的算法得到網(wǎng)絡時延上界τ2=0.97。利用文獻[15]的算法得到網(wǎng)絡時延上界τ2=0.996，其中文獻[15]經(jīng)313次迭代得到控制器K=[-1.005 0-1.004 9]，而應用本文改進的錐補線性化迭代算法，在τ2=0.998時，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，經(jīng)98次迭代得到控制器K=[-1.041???9-1.041 4]。

本文改進的錐補線性化迭代算法相比于文獻[15]的算法區(qū)別在于：文獻[15]算法的終止條件是相當嚴格的，需要同時滿足多個LMI的成立，造成迭代時間很長，而本文算法的終止條件只需滿足式（24）～（25），所以終止條件更加寬松，與文獻[15]的算法相比減少了迭代次數(shù)，減少了大量的計算時間。

假設初始狀態(tài)x0=[2,-1.5]T，h=0.02 s，存在連續(xù)丟包數(shù)α-1∈[0,40]，在本節(jié)所獲得的控制器K和最大允許時延上界τ2下，所考慮的系統(tǒng)狀態(tài)響應如圖2所示。由圖可見，閉環(huán)NCSs是漸進穩(wěn)定的。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)響應

5 結(jié)束語

本文研究了一種同時包含有界時延和數(shù)據(jù)丟包問題的時變時滯網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，為了得到穩(wěn)定性判據(jù)，一個分段Lyapunov-Krasovskii泛函和改進的有限和不等式方法被利用，有效地減少了結(jié)果的保守性和計算量，提高了求解效率，仿真結(jié)果表明，在閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的條件下得到了最大允許時延上界，并在此基礎上提出了一種改進的錐補線性化迭代算法求解反饋控制器，算例仿真表明了該算法的有效性和先進性。值得注意的是，目前大多數(shù)的研究主要針對線性的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，下一步主要工作是研究非線性的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的建模與控制問題。

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QU Baida,CHEN Long,XU Baoguo

Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry Ministry of Education,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

This paper is concerned with the problem of the stability analysis and controller design for networked control systems（NCSs）with bounded,time-varying network delays and data dropout by modeling the time-varying delay systems. Construct a new Lyapunov-Krasovskii functional and make full use of the information on the upper and lower bounds of the delay.A tighter finite sum inequality is presented to deal with delay interval.A less conservative stability criteria is derived.The state feedback controller design is obtained with an improved cone complementarity linearization algorithm. Since neither model transformation nor free-weighting matrices is employed in the derivation of these results,the proposed approach will reduce calculation.Numerical examples are given to illustract the effectiveness of the proposed method.

Networked Control Systems（NCSs）;finite sum inequality;Linear Matrix Inequality（LMI）;cone complementarity linearization algorithm

將網(wǎng)絡控制系統(tǒng)建模為時變時滯系統(tǒng)模型，考慮有界、時變時延和丟包的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設計問題。首先構造一個新的分段Lyapunov-Krasovskii泛函，充分利用時延上下界信息，然后結(jié)合更緊的有限和不等式處理時滯區(qū)間，得到具有較小保守性的穩(wěn)定性準則，基于一種改進的錐補線性化迭代算法給出狀態(tài)反饋器設計方法，證明中沒有引進模型變換和自由矩陣，減少了計算上的復雜性。通過實例表明上述方法的有效性。

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)；有限和不等式；線性矩陣不等式；錐補線性化迭代算法

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0325

QU Baida,CHEN Long,XU Baoguo.Improved analysis and control for networked control systems with network-induced delay and data dropout.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：130-135.

國家自然科學基金（No.30971689）；高等學校學科創(chuàng)新引智計劃資助（No.B12018）；江蘇省產(chǎn)學研聯(lián)合創(chuàng)新資金項目（No.120767）。

屈百達（1956—），男，教授，博導，主要研究方向：時滯系統(tǒng)，魯棒控制，模式識別與數(shù)據(jù)處理；陳龍（1988—），男，碩士研究生，主要研究方向：網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，魯棒控制；徐保國（1950—），男，教授，博導，主要研究方向：過程控制與優(yōu)化，無線傳感網(wǎng)絡。E-mail：chenlongc428@163.com

2012-12-27

2013-04-07

1002-8331（2014）22-0130-06

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2013-04-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130418.1618.020.html