胡冠中，周志剛

天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072

廣義猶豫模糊信息集成及其多屬性群決策

胡冠中，周志剛

天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072

1 引言

多屬性群決策[1]是管理科學(xué)與決策科學(xué)相交叉的研究方向，其基本理論和決策方法已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、模式識(shí)別、醫(yī)療診斷、投資風(fēng)險(xiǎn)等領(lǐng)域，因此，對(duì)多屬性群決策問題的研究有著重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。由于客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，采用確定的信息來刻畫復(fù)雜問題在很多情況下并不現(xiàn)實(shí)，也不符合實(shí)際，因此Zadeh首先提出了模糊集（FS）[2]的概念，自此之后，模糊集理論就廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。之后，人們提出了模糊集的幾種廣義形式，包括：區(qū)間模糊集[3]、直覺模糊集[4]、區(qū)間直覺模糊集[5]以及猶豫模糊集[6]等等。

算子理論是模糊理論中的一個(gè)重要組成部分?；谒阈g(shù)集成方法[7-10]，徐澤水和Yager提出了幾種新的直覺模糊算數(shù)集成算子和直覺模糊幾何集成算子[11-13]。文獻(xiàn)[14]提出了區(qū)間直覺模糊算數(shù)平均算子，并且將其應(yīng)用于區(qū)間直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策過程中?；讵q豫模糊集和直覺模糊集間的關(guān)系，夏梅梅和徐澤水[15]提出了猶豫模糊信息集成算子。Wang和Liu[16]基于Einstein運(yùn)算，提出了（區(qū)間）直覺模糊Einstein加權(quán)平均算子、（區(qū)間）直覺模糊Einstein加權(quán)幾何算子、（區(qū)間）直覺模糊Einstein有序加權(quán)平均算子、（區(qū)間）直覺模糊Einstein有序加權(quán)幾何算子等，同時(shí)研究了這些算子間的關(guān)系與各種性質(zhì)。

上述的模糊信息集成算子都是基于阿基米德T-范數(shù)和S-范數(shù)[17]的某種特殊運(yùn)算提出的?；诖?，本文將阿基米德T-范數(shù)和S-范數(shù)理論運(yùn)用到猶豫模糊多屬性群決策問題中，提出了廣義的猶豫模糊有序加權(quán)平均算子，并詳細(xì)討論了它的性質(zhì)，同時(shí)研究了這類算子的幾類特殊形式，最后基于提出的廣義信息集成算子構(gòu)建了一種新的猶豫模糊多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展研究過程中。

2 相關(guān)概念

定義2.1[6]令X={x1,x2,…,xn}為一個(gè)給定的集合。形如

的二元組稱為X上的猶豫模糊集（HFS）。其中(xj)是由區(qū)間[0,1]上若干個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成的集合，表示集合X中元素xj屬于集合A的若干種可能隸屬度。

定義2.5[17]如果一個(gè)T-范數(shù)T(x,y)在定義域內(nèi)連續(xù)，且滿足對(duì)?x∈(0,1)，有T(x,x)＜x，則稱T(x,y)是一個(gè)阿基米德T-范數(shù)。如果一個(gè)S-范數(shù)S(x,y)在定義域內(nèi)連續(xù)，且滿足對(duì)?x∈(0,1)，有S(x,x)＞x，則稱S(x,y)是一個(gè)阿基米德S-范數(shù)。

由文獻(xiàn)[17]可知，阿基米德T-范數(shù)T(x,y)可用加性算子g(x)表示為如下形式：

類似的，阿基米德S-范數(shù)S(x,y)可以表示為：

這里h(t)=g(1-t)。由于加性算子g(x)是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足g(1)=0[17]，則h(x)是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，且h(0)=0,h(1)=1。

基于上述的阿基米德S-范和T-范數(shù)，定義如下的廣義猶豫模糊運(yùn)算法則。

3 廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子及其性質(zhì)

本章將基于上文中定義的猶豫模糊運(yùn)算法則，提出廣義猶豫模糊信息集成算子，并研究其優(yōu)良性質(zhì)。

為了得到廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子的具體表達(dá)形式，并且證明其集成結(jié)果仍是一個(gè)猶豫模糊元，則有以下定理。

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式（5）成立。因此，對(duì)于所有的n，等式（5）成立。

（2）接下來，將證明通過廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子得到的集成結(jié)果仍是一個(gè)猶豫模糊元。

即通過廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子得到的集成結(jié)果仍是一個(gè)猶豫模糊元。

綜上，定理得證。

G-HFOWA算子具有單調(diào)性、冪等性、有界性以及置換不變性等性質(zhì)。

4 廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子的幾類特殊形式

如果對(duì)加性算子g賦予某些特定形式的函數(shù)，則可以得到一些常用的T-范數(shù)和S-范數(shù)，進(jìn)而可以得到幾類常見的猶豫模糊信息集成算子。

特別地，當(dāng)λ→1時(shí)，HFFOWA算子就轉(zhuǎn)化為HFOWA算子。

5 基于廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子的多屬性群決策方法及其在區(qū)域經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展研究中的應(yīng)用

步驟5基于綜合屬性值(i=1,2,…,m)的序關(guān)系選擇最優(yōu)備選方案。越大，對(duì)應(yīng)的備選方案Yi越優(yōu)。

例：區(qū)域經(jīng)濟(jì)是在一定區(qū)域內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的內(nèi)部因素與外部條件相互作用而產(chǎn)生的生產(chǎn)綜合體，每一個(gè)區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展都受到地方教育資源C1、社會(huì)經(jīng)濟(jì)條件C2、技術(shù)條件C3及人文環(huán)境C4等因素的制約。某一區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和改革委員會(huì)欲研究本地區(qū)所屬的五個(gè)轄區(qū)Yi(i=1,2,3,4,5)在上述屬性指標(biāo)集C={C1,C2,C3,C4}下的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r。已知屬性指標(biāo)集中各個(gè)因素指標(biāo)的權(quán)重向量為w=(0.3,0.2,0.4,0.2)T。該區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和改革委員會(huì)聘請(qǐng)若干專家對(duì)所屬的五個(gè)轄區(qū)Yi(i=1,2,3,4,5)分別在上述四種屬性因素下的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并給出了表1中的猶豫模糊決策矩陣=(j)5×4，其中(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4)為猶豫模糊元。為了選出所屬的五個(gè)轄區(qū)中經(jīng)濟(jì)能力最強(qiáng)勁、表現(xiàn)最優(yōu)的轄區(qū)，將運(yùn)用本文提出的多屬性群決策方法，具體步驟如下：

步驟1由于所有的屬性因素Cj(j=1,2,3,4)都為效益型，則決策矩陣不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟2基于表1中的猶豫模糊決策矩陣～=()5×4，為了簡(jiǎn)化起見，運(yùn)用HFHOWA算子（即公式（23）（不失一般性，令λ=1）將五個(gè)轄區(qū)Yi(i=1,2,3,4,5)的所有屬性值j(j=1,2,3,4)集結(jié)為綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)，集成結(jié)果如表2所示。

表1 猶豫模糊決策矩陣D＝5×4

表1 猶豫模糊決策矩陣D＝5×4

C1C2C3C4 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 {0.5} {0.3，0.8} {0.4，0.7} {0.4，0.5，0.6} {0.6，0.9} {0.3，0.5} {0.4，0.7} {0.5} {0.7} {0.6} {0.6，0.8} {0.8} {0.8，0.9} {0.5，0.8} {0.7，0.9} {0.5} {0.4，0.6} {0.7} {0.9} {0.8}

表2 利用HFHOWA算子集結(jié)得到的各轄區(qū)綜合屬性值

步驟3計(jì)算五個(gè)轄區(qū)綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)的得分函數(shù)s()(i=1,2,3,4,5)，結(jié)果見表3。

表3 各所屬轄區(qū)綜合屬性值的得分函數(shù)

步驟4依據(jù)定義2.2，將綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)進(jìn)行大小排序，如表4所示。

表4 各綜合屬性值的排序結(jié)果

步驟5根據(jù)綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)的序關(guān)系對(duì)所屬五個(gè)轄區(qū)Yi(i=1,2,3,4,5)進(jìn)行優(yōu)劣排序，見表5。從表5可知，利用HFHOWA算子集成得到的經(jīng)濟(jì)能力最強(qiáng)勁、表現(xiàn)最優(yōu)的轄區(qū)為Y5，其結(jié)果與應(yīng)用文獻(xiàn)[15]中的決策方法所得到的結(jié)果一致。

表5 備選方案的排序結(jié)果

6 結(jié)論

目前，猶豫模糊環(huán)境下的信息集成算子已出現(xiàn)在很多文獻(xiàn)中，但是都沒有將這些算子進(jìn)行推廣統(tǒng)一。本文基于阿基米德T-范數(shù)和S-范數(shù)，首先定義了廣義猶豫模糊運(yùn)算法則，接著提出了廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子，并研究了其性質(zhì)，包括：?jiǎn)握{(diào)性、冪等性、有界性以及置換不變性；接著探討了廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子的幾類常見的形式，如：猶豫模糊有序加權(quán)平均算子、猶豫模糊Einstein有序加權(quán)平均算子等等；在猶豫模糊環(huán)境下，基于廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子構(gòu)建了一種新的多屬性群決策方法，并將其運(yùn)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展研究過程中。

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HU Guanzhong,ZHOU Zhigang

College of Management and Economics,Tianjin University,Tianjin 300072,China

Based on the Archimedean t-norm and s-norm,the generalized hesitant fuzzy information aggregation operator is proposed under hesitant fuzzy environment,and a new method for multi-attribute group decision making is developed. The generalized hesitant fuzzy operational laws are defined,which is based on the Archimedean t-norm and s-norm.The generalized hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator is proposed,and then discusses some of its desirable properties in detail.Discuss in some special circumstances,the generalized hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator will be convert into some common hesitant fuzzy information aggregation operators,such as hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator,hesitant fuzzy Einstein ordered weighted averaging operator,hesitant fuzzy Hamacher ordered weighted averaging operator and hesitant fuzzy Frank ordered weighted averaging operator.A new approach to hesitant fuzzy multi-attribute group decision making is presented based on the proposed operator,and then apply the developed approach to research on the coordinated development of regional economy,and illustrate the behavior of the proposed approach.

hesitant fuzzy set;multi-attribute group decision making;Archimedean t-norm and s-norm;aggregation operator

在猶豫模糊環(huán)境下，主要研究了基于阿基米德范數(shù)的廣義信息集成算法，并提出了一種新的多屬性群決策方法。基于阿基米德T-范數(shù)和S-范數(shù)，定義了廣義猶豫模糊運(yùn)算法則；運(yùn)用新定義的廣義猶豫模糊運(yùn)算法則，提出了廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均（G-HFOWA）算子，研究了其優(yōu)良性質(zhì)；探討了在某些特殊情況下，廣義猶豫模糊有序加權(quán)平均算子將轉(zhuǎn)化為一些常見的猶豫模糊信息集成算子，包括猶豫模糊有序加權(quán)平均算子、猶豫模糊Einstein有序加權(quán)平均算子、猶豫模糊Hamacher有序加權(quán)平均算子以及猶豫模糊Frank有序加權(quán)平均算子；基于廣義信息集成算子，構(gòu)建了一種新的猶豫模糊多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展研究過程中，以驗(yàn)證提出的決策方法是可行的與有效的。

猶豫模糊集；多屬性群決策；阿基米德T-范數(shù)和S-范數(shù)；集成算子

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0370

HU Guanzhong,ZHOU Zhigang.Generalized hesitant fuzzy information aggregation and applications to multi-attribute group decision making.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：38-42.

教育部科學(xué)研究重大課題攻關(guān)項(xiàng)目（No.11JZD038）。

胡冠中（1985—），男，博士研究生，研究方向：管理科學(xué)，區(qū)域經(jīng)濟(jì)；周志剛（1950—），男，博士，博士生導(dǎo)師，教授，研究方向：管理科學(xué)，人力資源開發(fā)與管理。E-mail：shexian19880129@163.com

2014-07-23

2014-09-09

1002-8331（2014）22-0038-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-10-21,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0370.html

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計(jì)◎