劉春輝

1.赤峰學院 教務處，內蒙古 赤峰 024001

2.赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古 赤峰 024001

FI代數(shù)的模糊素MP濾子與模糊超MP濾子

劉春輝

1.赤峰學院 教務處，內蒙古 赤峰 024001

2.赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古 赤峰 024001

1 引言

Fuzzy蘊涵代數(shù)（簡稱：FI代數(shù)）是由我國學者吳望名于1990年提出的，作為對非經典邏輯代數(shù)中“蘊涵”連接詞的代數(shù)化，它揭示了各種邏輯蘊涵算子的共同本質[1]。眾多的邏輯代數(shù)系統(tǒng)，如MV代數(shù)（格蘊涵代數(shù)）、BL代數(shù)、R0代數(shù)（NM代數(shù)）、有界BCK代數(shù)以及剩余格等都可以看成是FI代數(shù)的特例，因此對FI代數(shù)結構的研究具有廣泛而基本的重要意義。迄今為止，有關這方面的研究工作已經獲得了很多有價值的研究成果[2-7]。

自從20世紀60年代美國著名的控制論專家Zadeh首次提出模糊集[8]的概念以來，模糊集的思想和方法已經被有效地應用于各個學科領域。近年來，國內外學者將這一思想和運算方法引入到邏輯代數(shù)的理想和濾子概念的研究，提出了多種形式的模糊理想和模糊濾子概念，并針對它們的特性和相互關系做了許多重要的研究工作，提出了大量有意義的研究課題并獲得了一批優(yōu)秀的研究成果[9-14]。為了進一步揭示FI代數(shù)的結構特征，文獻[15]在FI代數(shù)中引入了多種模糊MP濾子概念，并對它們的性質和相互關系進行了細致的探討，以此為基礎，本文繼續(xù)對FI代數(shù)的模糊MP濾子概念作深入研究，引入模糊素MP濾子和模糊超MP濾子概念并考察其特性，獲得了一些有意義的結果。

2 預備知識

定義1[1]（Fuzzy蘊涵代數(shù)）（2，0）型代數(shù)(X，→，0)稱為Fuzzy蘊涵代數(shù)，簡稱FI代數(shù)，若 x，y，z∈X

FI-1：x→(y→z)=y→(x→z)；

FI-2：(x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

為了敘述簡潔，以下如無特別說明，X均表示FI代數(shù)。文獻[1]在 X上定義了一個偏序關系≤使得x≤y?x→y=1，?x，y∈X 。同時，定義一元運算 c:X→X 使得c(x)=x→0。

引理1[1]任意 x，y，z∈X，下列結論成立：

FI-（2）如果x≤y，則z→x≤z→y且y→z≤x→z。

定義2[7]設 X為FI代數(shù)，若(X，≤)構成并半格，即?x，y∈X，x∨y都存在，則稱 X為并半格FI代數(shù)。如果并半格FI代數(shù)X滿足：

則稱X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)。

引理2[4]設 X為并半格FI代數(shù)，則對任意的 x，y∈X，(x∨y)→y=x→y。

定義3[7]設?≠F?X，如果（1）1∈F 且（2）?x，y∈X，x，x→y∈F?y∈F，則稱 F是 X的 MP濾子。X 的全體MP濾子之集記為FMP(X)。

定義4[7]設X為一個并半格FI代數(shù)，X≠P∈FMP(X)，如果 ?x，y∈X，x∨y∈P蘊涵 x∈P或 y∈P，則稱 F 是X的素MP濾子。

引理3[7]設 X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，則X≠P∈FMP(X)是 X的素 MP濾子當且僅當?x，y∈X，x→y∈P或 y→x∈P。

引理4[7（]素MP濾子定理）設X為并半格FI代數(shù)，S?X對∨關閉，F(xiàn)∈FMP(X)且 F∩S=?。則存在 X的素MP濾子P使得F?P且P∩S=?。

引理5[7]設 X為并半格FI代數(shù)，如果 F∈FMP(X)且x?F。則存在X的素MP濾子P使得F?P且x?P。

定義5[9]非空集合X上的一個模糊集指的是映射μ:X→[0，1]。設 μ是 X上模糊集，稱集合 μt={x∈X| μ(x)≥ t}，?t∈[0，1]為 μ的 t截集。

設μ和v為非空集合 X上的兩個模糊集，定義 μ和v之間的模糊包含關系?如下：

μ?v當且僅當 μ(x)≤v(x)，?x∈X

定義6[15]設 X為FI代數(shù)，稱 X上的模糊集μ為X的模糊MP濾子，如果

注1設 X為FI代數(shù)，μ為 X的模糊MP濾子，則x≤y蘊涵 μ(x)≤μ(y)，即 μ是保序的。

引理6[8]X上的模糊集μ為X的模糊MP濾子當且僅當 ?t∈[0，1]，μt=? 或 μt∈FMP(X)。

引理7[8]設 X為FI代數(shù)，則 X上的模糊集 μ為 X的模糊 MP濾子當且僅當 x→(y→z)=1蘊涵 μ(z)≥min{μ(x)，μ(y)}，?x，y，z∈ X 。

3 FI代數(shù)的模糊素MP濾子

定義7設 X為FI代數(shù)，μ為X的非常值的模糊MP 濾子。如果 ?t∈[0，1]，μt=? 或當 μt≠X 時，μt為X的素MP濾子，則稱μ為X的模糊素MP濾子。

定理1設X為并半格FI代數(shù)，則X的非常值模糊MP濾子μ為X的模糊素MP濾子當且僅當對任意的x，y∈X，μ滿足：

證明設μ是 X的非常值的模糊MP濾子且滿足條件（FPF1）。對任意的 t∈[0，1]，若 μt≠?，則由引理6可知 μt∈FMP(X)。若 μt≠X 且 x∨ y∈ μt，則 μ(x∨y)≥t，于是由（FPF1）知：

從而 μ(x)≥t或 μ(y)≥t，進而 x∈μt或 y∈μt，故由定義4知 μt為 X的素 MP濾子。因此 μ為 X的模糊素 MP濾子。

反之，設 μ為 X的模糊素 MP濾子。令t=μ(x∨y)，則 x∨y∈μt，故由引理6知 μt∈FMP(X)。若 μt=X，則x，y∈μt，從而 μ(x)≥t=μ(x∨y)且 μ(y)≥t=μ(x∨y)，因此max{μ(x)，μ(y)}≥μ(x∨y)。若 μt≠X，則由題設條件知 μt為 X的素 MP濾子。因此 x∨y∈μt蘊涵 x∈μt或 y∈μt，從而 μ(x)≥t=μ(x∨y)且 μ(y)≥t=μ(x∨y)，進而亦有max{μ(x)，μ(y)}≥μ(x∨y)。因此（FPF1）。

注2設X為并半格FI代數(shù)，μ為X的非常值的模糊MP濾子。則由模糊MP濾子的保序性可知定理1中的條件（FPF1）等價于：

例1 設 X={0，a，b，1}且 0＜a＜b＜1，定義 X 上二元運算“→1”如表1所示。則利用如圖1所示的MATHEMATICA程序可驗證(X，→1，0)是一個FI代數(shù)。

表1 運算“→1”的定義

在 X 上定義模糊集 μ使得 μ(0)=μ(a)=0.2，μ(b)= 0.4，μ(1)=0.6，則容易驗證 μ是 X的一個模糊素 MP濾子。

圖1 驗證FI代數(shù)的MATHEMATICA程序

定理2設X為并半格FI代數(shù)，則X的非常值模糊MP濾子μ為 X的模糊素MP濾子當且僅當μ(x∨y)= μ(1)蘊涵 μ(x)=μ(1)或 μ(y)=μ(1)，?x，y∈ X 。

證明設是 X的模糊素 MP濾子，x，y∈X使得μ(x∨y)=μ(1)，則由（FPF2）可知 max{μ(x)，μ(y)}=μ(x∨y)= μ(1)，因此 μ(x)=μ(1)或 μ(y)=μ(1)。

反 之 ，設 μ(x∨y)=μ(1)蘊 涵 μ(x)=μ(1)或 μ(y)= μ(1)。假設 μ(x∨y)＞max{μ(x)，μ(y)}，則 μ(x∨y)＞μ(x)且μ(x∨y)＞μ(y)，因此 當 μ(x∨y)=μ(1)時有 μ(x)＜μ(1)且μ(y)＜μ(1)，這與題設條件矛盾。因此（FPF1）成立，從而μ為X的模糊素MP濾子。

定理3設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，則X的非常值模糊MP濾子μ為X的模糊素MP濾子當且僅當 Xμ為 X 的素 MP濾子。其中 Xμ={x∈X|μ(x)=μ(1)}。

證明 由 Xμ的定義，顯然 Xμ=μμ(1)。因為 μ是 X的非常值模糊 MP 濾子，所以 μ(0)＜μ(1)，從而 0?Xμ。又由1∈Xμ知 Xμ≠?，故由定義7得 Xμ為 X的素 MP濾子。

反之，設 Xμ為 X的素MP濾子。則由引理2和引理 3知 ?x，y∈X，(x∨y)→y=x→y∈Xμ或 (x∨y)→x= y→x∈Xμ。故 μ((x∨y)→y)=μ(1)或 μ((x∨y)→x)=μ(1)。因此由定義 6 可得 μ(x)≥min{μ((x∨y)→x)，μ(x∨y)}= μ(x∨y) 或 μ(y)≥min{μ((x∨y)→x)，μ(x∨y)}=μ(x∨y) 。故 μ(x∨y)≤max{μ(x)，μ(y)}成立，因此 μ 為 X 的模糊素MP濾子。

推論1設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，則X的非常值模糊MP濾子μ為X的模糊素MP濾子當且僅當對任意 x，y∈X，μ(x→y)=μ(1)或 μ(y→x)=μ(1)。

證明由定理3知μ為X的模糊素MP濾子當且僅當 Xμ為 X的素 MP濾子，而由引理3知這當且僅當x→y∈Xμ或 y→x∈Xμ，再由 Xμ的定義知這當且僅當μ(x→y)=μ(1)或 μ(y→x)=μ(1)。

證明設 F∈FMP(X)為 X的素 MP濾子，則 F≠X，從而 μF不為常值。設 x，y∈X，由條件(S)知(x→y)∨(y→x)=1∈F，所以由引理3知 x→y∈F或 y→x∈F，即 μF(x→y)=α=μF(1)或 μF(y→x)=α=μF(1)。因此由推論1知 μF為 X的模糊素MP濾子。

反之，設μF為 X的模糊素MP濾子，則由定理3知F=XμF為 X的素MP濾子。

推論2設 X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，則F∈FMP(X)為 X的素MP濾子當且僅當 χF為 X的模糊素MP濾子。其中 χF為F的特征函數(shù)。

定理5（模糊素MP濾子的擴張定理）設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，μ和v為 X的兩個模糊MP濾子，且滿足μ?v和 μ(1)=v(1)。如果 μ為 X的模糊素MP濾子，則v也是X的模糊素MP濾子。

證明因為μ為X的模糊素MP濾子，所以由推論1得 μ(x→y)=μ(1)或 μ(y→ x)=μ(1)。若 μ(x→y)=μ(1)，則由 μ?v和 μ(1)=v(1)可得 v(1)=μ(1)=μ(x→y)≤v(x→y)，從而可得 v(x→y)=v(1)。類似可證若 μ(y→x)=μ(1)，則v(y→x)=v(1)。因此由推論1便得v也是 X的模糊素MP濾子。

定理6設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，μ為X的模糊素 MP濾子，k∈[0，μ(1))，則模糊集 μ∨k也是 X的模糊素 MP濾子。其中?x∈X，(μ∨k)(x)=max{μ(x)，k}。

證明首先證明μ∨k是 X的模糊MP濾子。任取x，y，z∈ X，設x→(y→ z)=1，則由引理7得μ(z)≥ min{μ(x)，μ(y)}，從而

故再由引理7知μ∨k是X的模糊MP濾子。

其次證明μ∨k是X的模糊素MP濾子。因μ為X的模糊素 MP 濾子且 k＜μ(1)，故 (μ∨k)(1)=max{μ(1)，k}= μ(1)≠(μ∨k)(0)，否則 μ(1)=μ(0)，與 μ 非常值矛盾。又因為 ?x∈X，(μ∨k)(x)=max{μ(x)，k}≥μ(x)，所以 μ?(μ∨k)，再注意到 (μ∨k)(1)=μ(1)，由定理5便得 μ∨k是 X 的模糊素MP濾子。

定理7設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，μ為X的非常值模糊MP濾子且μ(1)≠1。則存在X的模糊素MP濾子v使得 μ?v。

證明因為 μ為 X的非常值模糊 MP濾子，所以Xμ∈FMP(X)且 Xμ≠X。從而由引理5知存在 X的一個素MP濾子P使得Xμ?P。且由推論2又知 χP為X的模糊素 MP 濾子。令 v=χP∨k，其中 k=max{μ(x)|x∈XP}，則 k≤μ(1)＜1，因此由定理6知v為 X的模糊素 MP濾子且μ?v，?x∈X。從而定理得證。

定理8（模糊素MP濾子定理）設 X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)，μ為 X的模糊 MP濾子，v為 X上的滿足條件 v(x∨y)=min{v(x)，v(y)}的模糊集，?k∈[0，μ(1))有 min{μ(x)，v(x)}≤k 。則存在 X 的模糊素 MP濾子 σ 使得 μ?σ 且 ?k∈[0，μ(1))，min{σ(x)，v(x)}≤k。

證明 ?k∈[0，μ(1))，令 S={x∈X|v(x)＞k}和 F={x∈X|μ(x)＞k} 。若 a，b∈S，則 v(a)＞k 且 v(b)＞k，從 而v(a∨b)=min{v(a)，v(b)}＞k，所以 a∨b∈S，這表明 S 對∨ 關閉。下證 F∈FMP(X)。事實上，由 ?k∈[0，μ(1))知μ(1)＞k，從而1∈F。設x，x→y∈F，則μ(x)＞k且μ(x→y)＞k，故 min{μ(x)，μ(x→y)}＞k，從而由 μ 為 X 的模糊 MP濾子知 μ(y)＞k，進而 y∈F，故 F∈FMP(X)。又因為由?k∈[0，μ(1))有 min{μ(x)，v(x)}≤k 可知 S∩F=?，所以由素MP濾子定理知存在X的素MP濾子P使F?P且 P∩S=?。令σ=χP∨k，則由定理6和推論2知σ為X的模糊素 MP濾子。若 x∈P，則σ(x)=max{1，k}= 1≥μ(x)。若 x?P，則 x?F，從而 μ(x)≤k=max{0，k}= σ(x)。因此總有 μ?σ。另一方面，若 x∈S，則x?F，從而 x? P，故 σ(x)=max{0，k}=k，于是 min{σ(x)，v(x)}= k。若 x?S，則 v(x)≤k，從而 min{σ(x)，v(x)}≤v(x)≤k。因此總有 ?k∈[0，μ(1))，min{σ(x)，v(x)}≤k 。

4 FI代數(shù)的模糊超MP濾子

定義8設 X為FI代數(shù)，μ為 X的非常值的模糊MP濾子。稱μ為 X的模糊超MP濾子，如果對任意的x∈X，μ滿足：

（FUF1）μ(x)=μ(1)或 μ(c(x))=μ(1)。

例2 設 X={0，a，b，c，d，1}，定義 X 上二元運算“→2”如表2所示。則利用如圖2所示的MATHEMATICA程序可驗證(X，→2，0)是一個FI代數(shù)。

表2 運算“→2”的定義

在 X上定義模糊集 μ使得 μ(1)=μ(a)=μ(d)=0.7，μ(0)=μ(b)=μ(c)=0.3，則容易驗證 μ是 X的一個模糊超MP濾子。

定理9設X為FI代數(shù)。則X的非常值的模糊MP濾子μ為X的模糊超MP濾子當且僅當μ滿足：

圖2 驗證FI代數(shù)的MATHEMATICA程序

（FUF2）μ(x)≠μ(1)且 μ(y)≠μ(1)蘊涵 μ(x→y)=μ(1)且 μ(y→x)=μ(1)，?x，y∈X 。

證明（FUF1）?（FUF2）：設 μ(x)≠ μ(1)且 μ(y)≠ μ(1)，因為 0≤y，所以 由 FI-（2）得 x→0≤x→y，即 c(x)≤x→y。于是由模糊 MP濾子 μ的保序性和（FUF1）得μ(x→y)≥μ(c(x))=μ(1)，因此 μ(x→y)=μ(1)。類似地，由μ(c(y))=μ(1)得 μ(y→x)=μ(1)。故（FUF2）成立。

（FUF2）?（FUF1）：設 μ(x)≠μ(1)，因為 μ為 X 的非常值模糊 MP 濾子，所以 μ(0)≠μ(1)，故由（FUF2）得μ(x→0)=μ(1)，即 μ(c(x))=μ(1)。因此由定義8知 μ 為 X的模糊超MP濾子。

定理10設X為滿足條件(S)的并半格FI代數(shù)。則X的非常值的模糊集μ為X的模糊超MP濾子當且僅當μ是X的模糊素MP濾子且滿足：

（FUF3）μ(x∨c(x))=μ(1)，?x∈X 。

證明“充分性”：設 μ是 X的模糊素MP濾子且滿足（FUF3）。設 x∈X，由注2可得 μ(x∨c(x))=μ(1)= max{μ(x)，μ(c(x))}。若 μ(x)≠μ(1)，因為由定義6知 μ(x)≤μ(1)且μ(c(x))≤ μ(1)，故由 μ(1)=max{μ(x)，μ(c(x))}得μ(c(x))= μ(1)。因此由定義8知μ為X的模糊超MP濾子。

“必要性”：設 μ為 X的模糊超 MP濾子。任取x∈X，因 為 x≤x∨c(x)且 c(x)≤x∨c(x)，故 由 注 1得μ(x)≤μ(x∨c(x))且 μ(c(x))≤μ(x∨c(x))。又由（FUF1）知μ(x)=μ(1)或 μ(c(x))=μ(1)，所以 μ(1)≤μ(x∨c(x))，因此再由定義6便得 μ(x∨c(x))=μ(1)，即（FUF3）成立。

?x，y∈X，因為x→((x→y)→y)=(x→y)→(x→y)=1且 y→((x→y)→y)=(x→y)→1=1，所以 x≤(x→y)→y且 y≤(x→y)→y，從而 x∨y≤(x→y)→y，因此由 μ的保序性可知 μ(x∨y)≤μ((x→y)→y)。又由 0≤y和FI-（2）得x→0≤x→y，進而(x→y)→y≤(x→0)→y=c(x)→y，因此 μ((x→y)→ y)≤μ(c(x)→ y)，故 μ(x∨y)≤μ(c(x)→ y)。如果 μ(x)=μ(1)，則 μ(x∨y)≤μ(1)=μ(x)≤max{μ(x)，μ(y)}。如果 μ(x)≠μ(1)，則由（FUF1）知 μ(c(x))=μ(1)，所以由定義6可 得 μ(y)≥min{μ(c(x))，μ(c(x)→y)}≥min{μ(1)，μ(c(x)→y)}=μ(c(x)→y)。因此可得 μ(x∨y)≤μ(y)≤max{μ(x)，μ(y)}。故由定義7又知μ是X的模糊素MP濾子。

5 結束語

本文將模糊集的思想和運算方法應用于FI代數(shù)的MP濾子理論的研究，引入了FI代數(shù)的模糊素MP濾子和模糊超MP濾子概念，并深入討論了它們的性質特征和相互關系。獲得了若干有意義的結論。值得注意的是，諸如MTL代數(shù)、R0代數(shù)（NM代數(shù)）、Heyting代數(shù)和MV代數(shù)（格蘊涵代數(shù)）等都可以看成是FI代數(shù)的自然擴張，從而，可以說上述結果是這諸多邏輯代數(shù)的共同特征的集中體現(xiàn)。因此，這些結論有助于在把握各種邏輯代數(shù)系統(tǒng)的個性特征的同時，也能認識到它們的共性特征和內在聯(lián)系。

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LIU Chunhui

1.Dean’s Office,Chifeng University,Chifeng,Nei Mongol 024001,China
2.College of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng,Nei Mongol 024001,China

It applies the concept of fuzzy sets which introduced by Zadeh to FI-algebras,the notions of fuzzy prime MP filters and fuzzy ultra MP filters of FI-algebras are introduced,their properties and relations are discussed.Some equivalent characterizations of fuzzy prime MP filters in join semi-lattice FI-algebras with certain conditions are given.The fuzzy prime MP filters theorem of join semi-lattice FI-algebras is established.And the sufficient and necessary condition for an fuzzy set to be fuzzy ultra MP filters is obtained.

fuzzy logic;FI-algebra;fuzzy prime MP filter;fuzzy ultra MP filter

將Zadeh提出的模糊集概念應用于FI代數(shù)，提出了FI代數(shù)的模糊素MP濾子和模糊超MP濾子的概念并研究其性質及相互關系。給出了滿足一定條件的并半格FI代數(shù)的模糊素MP濾子的若干等價刻畫并建立了模糊素MP濾子定理。獲得了一個模糊集成為超模糊MP濾子的充要條件。

模糊邏輯；FI代數(shù)；模糊素MP濾子；模糊超MP濾子

A

O141.1；O153.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0221

LIU Chunhui.Fuzzy prime MP filters and fuzzy ultra MP filters in FI-algebras.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：77-81.

國家自然科學基金（No.10371106，No.60774073）。

劉春輝（1982—），男，講師，研究領域為非經典數(shù)理邏輯、Domain和拓撲學。E-mail：chunhuiliu1982@163.com

2013-04-15

2013-06-03

1002-8331（2014）23-0077-05

CNKI網絡優(yōu)先出版：2013-06-26,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130626.1542.021.html

◎網絡、通信、安全◎