伍思敏，陳 珺，劉 飛

江南大學(xué) 自動化研究所 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122

基于多目標(biāo)粒子群的非線性系統(tǒng)PID控制器設(shè)計

伍思敏，陳 珺，劉 飛

江南大學(xué) 自動化研究所 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122

1 引言

PID控制器自產(chǎn)生以來，由于結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點，一直是工業(yè)生產(chǎn)過程中應(yīng)用最廣泛、最成熟的控制器。在實際的工程控制中，由于控制對象越來越復(fù)雜，對控制品質(zhì)的要求越來越高，被控系統(tǒng)不僅普遍存在著非線性、時變性等不確定因素，往往還要同時綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、快速性等多個性能指標(biāo)[1]。為了克服這一問題，近年來一些學(xué)者利用控制量與偏差信號之間的非線性關(guān)系設(shè)計出非線性PID控制器[1]以達(dá)到改善控制性能的目的。這類方法的優(yōu)點是非線性構(gòu)造能力強(qiáng)，能夠逼近任意的非線性系統(tǒng)，但是參數(shù)調(diào)試較為復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用[2]。隨著模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制理論和遺傳算法、粒子群算法等優(yōu)化算法理論的發(fā)展，形成了傳統(tǒng)PID控制與智能控制相結(jié)合的智能PID控制策略。

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種新的基于群智能的優(yōu)化算法，已被證明能夠有效地解決非線性、可微的、多目標(biāo)優(yōu)化等問題。文獻(xiàn)[3]中作者將粒子群算法成功地應(yīng)用于非線性有理濾波模型，在文獻(xiàn)[4]中，作者將PSO用于自動電壓調(diào)節(jié)器（AVR）的PID控制器優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[5]將基于非支配策略的遺傳算法П用于多目標(biāo)濕穩(wěn)定劑PID控制器整定中，粒子群算法由于參數(shù)設(shè)置少，且沒有遺傳算法的交叉變異操作，在解決多目標(biāo)優(yōu)化問題上非常有競爭力。

許多學(xué)者提出了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法[6-7]，近年來：文獻(xiàn)[8]采用基于支配關(guān)系及適應(yīng)度共享的策略保持解集的分布性，文獻(xiàn)[9]提出了一種多種群的粒子群算法，每個子種群與每一個子問題聯(lián)系起來；文獻(xiàn)[10]提出一種ε占優(yōu)的自適應(yīng)多目標(biāo)粒子群算法（εDMOPSO），針對算法易收斂到偽Pareto前沿和收斂速度慢的問題，利用ε占優(yōu)更新非劣解等策略改善了算法。

本文考慮一種基于非劣最優(yōu)排序的多目標(biāo)粒子群算法，解決了針對一類非線性系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計問題。

2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

基本的粒子群算法更新公式如下：

其中 d＝1，2，…，D 是目標(biāo)搜索空間的維數(shù)，i＝1，2，…，N是粒子個數(shù)，是粒子i在第t次迭代中第d維的速度，x是粒子i在第t次迭代中第d維的位置，是粒子i在第t次迭代中第d維的個體最優(yōu)位置，g是粒子i在第t次迭代中第d維的全局最優(yōu)位置，r1和r2為均勻分布于[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)，c1和c2為加速因子（acceleration constants），用來調(diào)節(jié)每次迭代的步長，ω為慣性因子（inertia weight）。

多目標(biāo)優(yōu)化問題通常由兩個或者兩個以上的目標(biāo)組成，目標(biāo)之間往往是相互制約的關(guān)系。多目標(biāo)優(yōu)化問題一般不存在惟一的全局最優(yōu)值，但是可以存在這樣的解：對一個或幾個目標(biāo)函數(shù)不可能進(jìn)一步優(yōu)化，對其他目標(biāo)函數(shù)不至于劣化，這樣的解組成了一個非劣最優(yōu)解集（Pareto解集），通過優(yōu)化算法希望求得足夠多的解均勻分布在Pareto前沿上，然后尋求Pareto解集中的一個或多個滿意解[11]。Pareto最優(yōu)的概念如文獻(xiàn)[12]所述。

本文基于Pareto快速非劣排序的多目標(biāo)粒子群算法[13]和基于擁擠距離排序的算法[14]，針對非線性系統(tǒng)粒子易陷入局部最優(yōu)的情況，在粒子進(jìn)行局部最優(yōu)值更新時，若粒子的歷史最優(yōu)位置連續(xù)M代沒有得到提升，很可能是粒子過早地收斂到了局部最優(yōu)值，為了讓粒子跳出局部最值，此時給粒子重新賦值，再進(jìn)一步尋優(yōu)，M可以根據(jù)經(jīng)驗取值。同時在算法后期對最優(yōu)解集進(jìn)行篩選，這樣做的目的是去掉等級低的和受其他粒子支配的粒子，保留最優(yōu)的外部解集，在實際應(yīng)用中可以不用再進(jìn)行篩選。改進(jìn)后的算法搜索能力得到提升，算法外部解集分布均勻。

3 基于多目標(biāo)粒子群的針對一類非線性系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計

標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的數(shù)學(xué)模型為：

其中，e(t)表示系統(tǒng)誤差，u(t)表示控制器輸出，Kp、Ki、Kd分別表示PID控制器的比例、積分和微分增益。

本文基于改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法，設(shè)計了針對一類倒立擺非線性系統(tǒng)的PID控制器，使得控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)滿足給定的控制性能要求。在改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法中，Kp，Ki，Kd定義為算法的三個決策變量，即xi=(Kp，Ki，Kd)?？紤]的一類非線性系統(tǒng)描述如下：

其中 f和g是非線性函數(shù)，u是控制器的控制作用，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)PID控制器數(shù)學(xué)模型構(gòu)造，y是非線性系統(tǒng)的實際輸出。設(shè)計的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，其中R是系統(tǒng)的給定輸入。

圖1 基于多目標(biāo)粒子群算法的PID控制器系統(tǒng)框圖

多目標(biāo)粒子群算法是根據(jù)非線性系統(tǒng)輸出的若干性能指標(biāo)來進(jìn)行迭代尋優(yōu)的，性能指標(biāo)是設(shè)計控制器時希望被控非線性系統(tǒng)滿足的控制性能，通過系統(tǒng)的實際輸出獲得，選取不同的性能指標(biāo)決定了算法尋優(yōu)的方向。因此性能指標(biāo)應(yīng)該被恰當(dāng)?shù)囟x，才能使優(yōu)化達(dá)到滿意的效果。本文定義PID控制的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間為需要同時滿足的兩個優(yōu)化指標(biāo)，即在滿足超調(diào)量最小的同時，使得調(diào)節(jié)時間也最短，分別用 f1和 f2表示，f1代表控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間tc，f2代表控制系統(tǒng)的超調(diào)量σ，那么多目標(biāo)粒子群算法的兩個目標(biāo)是最小化 f1和f2。其中，調(diào)節(jié)時間tc是通過判斷誤差在[-0.05 0.05]范圍之間的數(shù)值，并且留下這些數(shù)值的序號，那么序號里最后一個序號所對應(yīng)的時間就是調(diào)節(jié)時間，判斷輸出最大時誤差的絕對值就是超調(diào)σ，這是因為誤差是指給定減去輸出，輸出最大時對應(yīng)的誤差最小（誤差為負(fù)），此時的誤差取絕對值，就是超調(diào)σ了。

該控制系統(tǒng)輸出滿足精確跟蹤給定值的同時，同時滿足超調(diào)量小、調(diào)節(jié)時間短的性能指標(biāo)，得到一組控制器優(yōu)化權(quán)值。那么設(shè)計基于改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法的，針對一類非線性系統(tǒng)的PID控制器的完整步驟如下：

（1）根據(jù)公式（3）調(diào)整被控非線性系統(tǒng)的形式，搭建PID非線性控制系統(tǒng)，并初始化系統(tǒng)運(yùn)行時間T和其他參數(shù)；初始化多目標(biāo)粒子群算法種群的大小N，最大迭代次數(shù)Gmax和粒子速度、位置范圍，以及加速因子c1、c2，慣性權(quán)值ω和最大停滯代數(shù)M 。

（2）基于改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法，依據(jù)最小化兩個性能指標(biāo)的目標(biāo)，搜尋針對一類非線性系統(tǒng)的PID控制的一組最優(yōu)增益 Kp、Ki、Kd，步驟如下：

步驟1根據(jù)給定范圍隨機(jī)初始化一組粒子值。

步驟2根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)評價每個粒子適應(yīng)值，對粒子進(jìn)行基于非劣最優(yōu)和密度距離的快速排序。

步驟3根據(jù)錦標(biāo)賽選擇策略選取個體的局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值，第一次迭代時，直接將粒子值定義為局部最優(yōu)值。

步驟4判斷粒子是否除最高級外連續(xù)M代（根據(jù)經(jīng)驗，M可以取7）未提升順序，若是則給該粒子重新賦值。

步驟5根據(jù)公式（1）、（2）更新每個粒子的速度和位置。

步驟6如果滿足迭代條件（達(dá)到了迭代最大值），則算法結(jié)束，基于非劣最優(yōu)和密度距離排序篩選出最優(yōu)非劣解集，同時依據(jù)密度距離調(diào)整最優(yōu)非劣集的個體，使Pareto前沿分布均勻分散，若未滿足迭代條件，則返回步驟2。

（3）控制器最終會得到一組最優(yōu)解集，決策者選擇最優(yōu)解集中的最優(yōu)解進(jìn)行PID控制。

由于多目標(biāo)粒子群算法是基于迭代尋優(yōu)的算法，因此將算法作為控制器的主體編寫m文件，PID控制非線性系統(tǒng)為算法的子文件被調(diào)用。

4 倒立擺系統(tǒng)跟蹤控制仿真

倒立擺系統(tǒng)是有一定復(fù)雜性的非線性系統(tǒng)，也是一類典型的非線性被控對象。本文考慮的一個非線性倒立擺系統(tǒng)的動態(tài)微分方程描述如下[15]：其中 y=x1是基于倒立軸的擺角的弧度，x2是擺點的角速度，g=9.8 m/s2是重力加速度，mc=1是小車的質(zhì)量，m=0.1 kg是擺的質(zhì)量，l=0.5 m是擺一半的長度，u是被控對象的控制輸入，這里是PID控制的輸出。

本文用matlab的m文件編程實現(xiàn)多目標(biāo)粒子群算法，通過SIMULINK搭建PID控制系統(tǒng)，算法通過sim函數(shù)調(diào)用workspace里個體的適應(yīng)度值進(jìn)行仿真。仿真非線性系統(tǒng)的采樣時間設(shè)置為0.01，針對該非線性系統(tǒng)，改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法的其余參數(shù)設(shè)置詳見表1?？刂频哪康氖鞘沟玫沽[的擺角的輸出y跟蹤給定輸入 R=1（階躍輸入），初始值為 (x1(0)，x2(0))=(0.1，0)。

表1 基于多目標(biāo)粒子群的倒立擺系統(tǒng)PID控制器設(shè)計參數(shù)

為了驗證改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法的有效性，考慮以下仿真策略：

（1）在得到多目標(biāo)優(yōu)化最優(yōu)解集中，隨機(jī)挑選其中四個非劣最優(yōu)解，進(jìn)行針對式（4）的倒立擺非線性系統(tǒng)PID跟蹤控制仿真，運(yùn)行控制器得到的非劣最優(yōu)解集見圖2，仿真結(jié)果如圖3。從圖3中可以看出PID控制精確有效地跟蹤給定值，超調(diào)量很小，不到2%，調(diào)節(jié)時間短，在1 s左右可以基本跟蹤給定值。該策略驗證了求得的最優(yōu)解集中解的可行性高，效果好。

圖2 多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化非線性系統(tǒng)PID控制參數(shù)的Pareto前沿

（2）為與同類方法比較，基于粒子群算法，同理設(shè)計PID控制器，針對式（4）的非線性控制系統(tǒng)仿真，得到一個PID控制增益，同樣進(jìn)行倒立擺角度的跟蹤控制，仿真結(jié)果如圖4虛線所示，與本文隨機(jī)選取的一個控制效果對比，如圖4實線所示。從圖中可以看出本文給出的基于多目標(biāo)粒子群的PID控制器控制結(jié)果超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時間更短，比基于粒子群的PID控制器有明顯優(yōu)勢。

圖3 優(yōu)化得到的PID控制參數(shù)跟蹤階躍信號控制倒立擺角度

圖4 控制效果對比圖

（3）為了驗證該控制器在滿足精確跟蹤給定的前提下，具有一定抗干擾能力，給系統(tǒng)設(shè)定一個大小為0.2的干擾，在PID控制系統(tǒng)運(yùn)行20 s時加入。

從圖2的最優(yōu)解集中隨機(jī)選取一個控制參數(shù)，進(jìn)行針對式（4）的倒立擺非線性系統(tǒng)PID跟蹤控制仿真，仿真結(jié)果如圖5。從圖中可以看出，在20 s時加入干擾，控制器輸出能夠在較短的時間內(nèi)恢復(fù)到給定跟蹤值，說明該控制器抗干擾性能好。

圖5 加入干擾后的控制效果

5 結(jié)論

本文基于改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法，給出了一個針對一類非線性系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計方法。改進(jìn)的基于Pareto最優(yōu)排序的多目標(biāo)粒子群算法能更好地跳出局部最優(yōu)。將PID控制器的兩個性能指標(biāo)作為多目標(biāo)粒子群算法的目標(biāo)函數(shù)，穩(wěn)定有效地求出一組最優(yōu)控制增益。采用經(jīng)典的非線性倒立擺系統(tǒng)作為PID控制被控對象進(jìn)行仿真，控制效果穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確，并與基于粒子群算法的PID控制器的控制效果對比，調(diào)節(jié)時間更短，超調(diào)量更小，有明顯優(yōu)勢。該控制器抗干擾能力強(qiáng)，并且可以得到一組優(yōu)化參數(shù)，實際應(yīng)用選擇余地更大。該控制器還可以根據(jù)實際控制需要，靈活選擇控制目標(biāo)，達(dá)到更好的控制效果。

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WU Simin,CHEN Jun,LIU Fei

Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry（Ministry of Education）,Institute of Automation,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

Since production,the PID controller has been widely used in industrial production processes,with easy implementation and mature theoretical analysis.Along with the increasingly high demand for quality,this paper considers the accuracy,stability and rapid of the multiple system performance indicators at the same time and presents a PID optimization control system design for a class of nonlinear systems based on the Pareto optimal sequencing multi-objective particle swarm optimization.For simulation,a classic nonlinear inverted pendulum system is illustrated as objects of PID control. The overshoot and adjustment time are defined as the fitness functions of the multi-objective particle swarm optimization. The typical nonlinear inverted pendulum tracking control uses a set of Pareto optimal control parameters and the result testifies that the tracking control is accuracy and stability.

multi-objective Particle Swarm Optimization（PSO）;Proportion-Integration-Differentiation（PID）control; nonlinear system;inverted pendulum control

PID控制器自產(chǎn)生以來，一直是工業(yè)生產(chǎn)過程中應(yīng)用最廣泛、最成熟的控制器。隨著控制品質(zhì)的要求越來越高，綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、快速性等多個性能指標(biāo)，基于改進(jìn)的Pareto最優(yōu)排序多目標(biāo)粒子群算法，給出一個適用于一類非線性系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計方法。采用經(jīng)典的非線性倒立擺系統(tǒng)作為PID被控對象進(jìn)行仿真，將超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間兩個目標(biāo)作為多目標(biāo)粒子群算法的目標(biāo)，求出一組Pareto最優(yōu)控制參數(shù)，通過跟蹤控制得到精確穩(wěn)定的控制效果。

多目標(biāo)粒子群算法；比例-積分-微分（PID）控制；非線性系統(tǒng)；倒立擺控制

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0165

WU Simin,CHEN Jun,LIU Fei.PID control of nonlinear systems based on multi-objective particle swarm optimization.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：69-72.

國家自然科學(xué)基金（No.NSFC61134007）；江蘇省基礎(chǔ)研究計劃（自然科學(xué)基金）（No.BK2012111）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助（No.JUSRP111A40）；江蘇高等學(xué)校優(yōu)秀科技創(chuàng)新團(tuán)隊；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目。

伍思敏（1987—），女，碩士研究生，研究方向為控制理論與控制工程。E-mail：wusimin1987@163.com

2012-11-14

2013-01-18

1002-8331（2014）23-0069-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-02-07,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130207.1420.018.html