費(fèi)秀海，王中華

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

套代數(shù)上零點(diǎn)廣義Lie可導(dǎo)映射

費(fèi)秀海，王中華

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是一個(gè)算子代數(shù)，L(A)表示A上的所有線性映射，f，d∈L(A)。如果對于任意的 A，B∈A，d(AB)= d(A)B+Ad(B)，則稱d是導(dǎo)子。如果存在 A0∈A，使得則稱d是內(nèi)導(dǎo)子。如果對于任意的 A，B∈A，有 d([A，B])=[d(A)，B]+[A，d(B)]，則稱d是Lie-導(dǎo)子（其中，[A，B]=AB-BA，稱之為Lie-積）。顯然，d是內(nèi)導(dǎo)子，則d是導(dǎo)子，d是導(dǎo)子，則d是Lie-導(dǎo)子，反之亦然。關(guān)于導(dǎo)子、內(nèi)導(dǎo)子、Lie-導(dǎo)子的定義和相關(guān)結(jié)論可以在文獻(xiàn)[1-2]及所引用的文獻(xiàn)中找到。對于任意的 A，B∈A，如果存在A上一個(gè)導(dǎo)子d使得f(AB)=f(A)B+Bd(A)，則稱 f為廣義導(dǎo)子，d稱為與 f相關(guān)的導(dǎo)子。對于任意的 A，B∈A，如果存在S0，T0∈A，使得 f(A)=S0A-AT0，則稱 f為廣義內(nèi)導(dǎo)子。對于任意的 A，B∈A，如果存在A上一個(gè)Lie-導(dǎo)子d，使得f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，則稱 f 為廣義Lie-導(dǎo)子。顯然，f是廣義內(nèi)導(dǎo)子，則 f是廣義導(dǎo)子，f是廣義導(dǎo)子，則 f是廣義Lie-導(dǎo)子，反之亦然。關(guān)于廣義導(dǎo)子、廣義內(nèi)導(dǎo)子、廣義Lie-導(dǎo)子的定義和相關(guān)結(jié)論可以在文獻(xiàn)[3-5]及所引用的文獻(xiàn)中找到。?A，B∈A且 AB=0 有 f([A，B])=[f(A)，B]+[A，f(B)]，則稱 f 是 A上零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射。如果A上任意的零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射都是Lie-導(dǎo)子，則說零點(diǎn)是一個(gè)Lie-全可導(dǎo)點(diǎn)。設(shè)f是代數(shù)A上的廣義Lie-導(dǎo)子，d為與 f相關(guān)的Lie-導(dǎo)子，若?A，B∈A且 AB=0有 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+ Ad(B)-Bd(A)，則稱 f是A上廣義零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射。如果A上每個(gè)廣義零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射都是廣義Lie-導(dǎo)子，則說零點(diǎn)是一個(gè)廣義Lie-全可導(dǎo)點(diǎn)。關(guān)于零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射、Lie-全可導(dǎo)點(diǎn)的定義和相關(guān)結(jié)論可以在文獻(xiàn)[6-10]及所引用的文獻(xiàn)中找到。

近年來，在環(huán)和各種代數(shù)上對廣義導(dǎo)子、廣義Lie-導(dǎo)子的刻畫引起了許多學(xué)者的興趣，并已取得許多重要的成果，在文獻(xiàn)[11]中證明了在環(huán)上的每廣義導(dǎo)子都可以寫成一個(gè)廣義內(nèi)導(dǎo)子與到中心且消除交換子的可加映射的和。在文獻(xiàn)[12]中證明了在素環(huán)上的每個(gè)廣義Lie-導(dǎo)子都可以寫成一個(gè)廣義導(dǎo)子與到中心且消除交換子的可加映射的和。文獻(xiàn)[13]證明了三角代數(shù)上的廣義Lie-導(dǎo)子在滿足一定條件下可以寫成一個(gè)廣義導(dǎo)子與到中心且消除交換子的可加映射的和。關(guān)于廣義Lie-導(dǎo)子更多的結(jié)論可以在文獻(xiàn)[13]所引用的文獻(xiàn)中找到。本文中用到套代數(shù)A lgN相關(guān)的概念和符號(hào)如下：

設(shè)H是數(shù)域F上的一個(gè)Hilbert空間，B(H)表示H上全體有界線性算子。用I和0分別表示B(H)中的單位算子和零算子。用x?f表示H上的一秩算子（其中x∈H，f∈H*，H*是H 的對偶空間）且定義為(x?f)(y)= f(y)x，?y∈H。用 F(H)表示 B(H)中全體有限秩算子。N表示H中一個(gè)包含H和{} 0的全序的閉子空間鏈且在集合的交和閉線性張運(yùn)算下封閉，把N稱為套，當(dāng)時(shí)稱N為平凡套。套N相應(yīng)的套代數(shù)記為A lgN，定義為：

且A lgN在強(qiáng)算子拓?fù)湎率情]的。顯然，當(dāng)套N為平凡套時(shí)A lgN=B(H)。在本文中假定N為非平凡套。

設(shè)P1是A lgN中的一個(gè)非平凡投影且分別令：

2 定理及證明

定理2.1設(shè) f是套代數(shù)A lgN上一個(gè)連續(xù)的零點(diǎn)廣義Lie-可導(dǎo)映射，d是與 f相關(guān)的連續(xù)Lie-導(dǎo)子，則f是套代數(shù)A lgN上的一個(gè)廣義Lie-導(dǎo)子。用以下幾個(gè)引理證明定理2.1。

引理1對于任意的冪等算子P∈A lgN，有：

證明對于任意的冪等算子P∈A lgN，則P(I-P)=0，所以由零點(diǎn)廣義Lie-可導(dǎo)映射的定義，有：

由上式，有：

引理2對于任意有限秩算子T∈F(H)∩A lgN，有：

證明由參考文獻(xiàn)[14]知道套代數(shù)A lgN中的每個(gè)一秩算子x?f可以表示成至多4個(gè)套代數(shù)A lgN中冪等算子的線性和，不妨假設(shè)每個(gè)一秩算子xi?fi就等于4個(gè)冪等算子 Pij，j=1，2，3，4 的線性和，即

而對于套代數(shù)A lgN中的每個(gè)有限秩算子T∈F(H)∩A lgN，則可以把其表示成套代數(shù)A lgN中一秩算子的有限線性和，不妨設(shè)：

由上述兩個(gè)式子，有：

從而由引理1，有：

即引理2證畢。

引理3對于任意的算子A∈A lgN，有：

證明由參考文獻(xiàn)[15]知道套代數(shù)A lgN中的有限秩算子在強(qiáng)算子拓?fù)洌ㄓ肧OT表示強(qiáng)算子拓?fù)洌┫率浅砻艿模?/p>

從而引理3得證。

引理4設(shè)d是零點(diǎn)廣義Lie-可導(dǎo)映射 f相關(guān)的連續(xù)Lie-導(dǎo)子，則有：

同時(shí)在上式兩邊左乘P1和右乘P2，得：

不妨設(shè)d(P1)=k1I+M12（其中k1是數(shù)域 F里面的數(shù)，M12是A12里面的算子）。

同理，因?yàn)?T12=P2T12-T12P2，所以有：

從而

不妨設(shè)d(P2)=k2I+N12（其中k2是數(shù)域 F里面的數(shù)，N12是A12里面的算子）。

即引理4得證。

定理的2.1證明：由定理的假設(shè)及引理，?A，B∈A lgN，有：

3 主要結(jié)論

本文主要對套代數(shù)A lgN上零點(diǎn)廣義Lie-可導(dǎo)映射 f作了研究，在廣義Lie-可導(dǎo)映射 f和相關(guān)Lie-導(dǎo)子d具有連續(xù)性質(zhì)的假設(shè)下，證明了?A，B∈A lgN且AB=0，有：

即證明了 f是套代數(shù)A lgN上的廣義Lie-導(dǎo)子。

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FEI Xiuhai,WANG Zhonghua

College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

LetNbe a non-trivial nest on Hilbert spaceH，fbe a continuous generalized Lie derivable mapping at zero point on nest algebraA lgNanddbe a continuous Lie derivation on nest algebraA lgN.In this paper,It is shown that if fsatisfiesf([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)for allA，B∈A lgNwithAB=0，thenf([A，B])=f(A)B-f(B)A+ Ad(B)-Bd(A)for allA，B∈A lgN.

Lie-derivation;generalized Lie-derivation;Lie-all-derivable point;nest algebraA lgN

設(shè)N是Hilbert空間H上的一個(gè)非平凡套，f是套代數(shù)A lgN上的一個(gè)連續(xù)廣義零點(diǎn)Lie-可導(dǎo)映射，d是套代數(shù) A lgN上的一個(gè)連續(xù)Lie-導(dǎo)子。證明了，如果?A，B∈A lgN且 AB=0有 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，則 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，?A，B∈ A lgN 。

Lie-導(dǎo)子；廣義Lie-導(dǎo)子；Lie-全可導(dǎo)點(diǎn)；套代數(shù) A lgN

A

O177.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0414

FEI Xiuhai,WANG Zhonghua.Generalized Lie derivable mappings at zero point on nest algebras.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：4-6.

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（No.2014JQ1015）。

費(fèi)秀海（1980—），男，在讀博士，講師，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕哟鷶?shù)與算子理論；王中華（1984—），男，在讀博士，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕哟鷶?shù)與算子理論。E-mail：XiuHaiFei@snnu.edu.cn

2014-04-28

2014-06-10

1002-8331（2014）23-0004-03

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-06-26,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0414.html