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        地面巖(礦)層厚度計(jì)算公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

        2014-08-03 01:19:54張靖華
        云南地質(zhì) 2014年2期
        關(guān)鍵詞:交角坡角計(jì)算公式

        沈 權(quán),張靖華

        (云南省地質(zhì)勘查開發(fā)局第一地質(zhì)大隊(duì),云南 曲靖 655000)

        1 概 述

        地面巖(礦)層厚度計(jì)算公式是地質(zhì)工作者常用的、基本的巖(礦)層厚度計(jì)算公式,以下簡稱“公式”。但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來源,許多地質(zhì)工作者都不甚了解,本文用數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)地推導(dǎo),并闡明巖(礦)層真厚度、地表實(shí)測巖(礦)層長度、巖(礦)層傾角、地面坡角、巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實(shí)測線的交角及巖(礦)層走向與巖(礦)層實(shí)測線的交角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,證明“公式”的可靠性及其數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。筆者將以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)該“公式”以饗讀者。

        2 地面巖(礦)層厚度計(jì)算公式公式推導(dǎo)

        巖(礦)層厚度計(jì)算公式:H=l·(sinα·cosβ·sinω±sinβ·cosα)

        (1)

        或:H=l·(sinα·cosβ·cosγ±sinβ·cosα)

        (2)

        公式中:H:巖(礦)層真厚度;

        I:地表實(shí)測巖(礦)層長度;

        α:巖(礦)層傾角;

        β:地面坡角;

        γ:巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實(shí)測線的交角

        ω:巖(礦)層走向與巖(礦)層實(shí)測線的交角

        上述公式(1)、(2)是地質(zhì)工作者常用的、基本的巖(礦)層厚度計(jì)算公式,本文就此把公式(1)、(2)數(shù)學(xué)推導(dǎo)展開如下:

        為了公式(1)、(2)推導(dǎo)更容易理解,先要和讀者共同復(fù)習(xí)幾個(gè)普通地質(zhì)學(xué)中的基本概念。

        巖(礦)層真厚度:簡稱真厚度,指層狀或似層狀地質(zhì)體(地層、巖層、礦層等)上、下界面之間的垂直距離(圖1中的H,AE線段);([1]:地質(zhì)詞典,下同)。

        巖(礦)層走向:簡稱走向,某構(gòu)造面或地質(zhì)體的界面與水平參考面的交線稱為走向線,而走向線兩端的延伸方向即為走向(圖1中的BC線);

        巖(礦)層傾向:簡稱傾向,垂直于走向線,沿地質(zhì)界面傾斜向下的方向所引的直線稱為傾斜線,傾斜線在水平面上的投影所指的界面傾斜方向稱為傾向(圖1中的CA線);

        巖(礦)層傾角:簡稱傾角,垂直地質(zhì)界面走向的橫切面上所測定的此界面(圖1ADCE面)與水平

        參考面(圖1,ABC面)之間的兩面角,即傾斜線(圖1,DE線)與其水平投影線(圖1,AC線)之間的夾角(圖1,α角)。

        (1)地面坡度與巖(礦)層傾向同向(圖1)“公式”推導(dǎo):

        圖1 地面坡度與巖(礦)層傾向同向的立體圖

        由地表實(shí)測導(dǎo)線長度l(AF線)和實(shí)測地面坡角β組成垂直水平面的△ABF中∠B為直角,則△ABF為直角三角形,即

        AB=l·cosβ

        在△ACB中,BC為走向線,AC為傾向線,按上述走向和傾向的定義BC與AC相互垂直則△ACB為直角三角形。在△ACB中,AC=AB·sinω,在△ACB中∠ω和∠γ互為余角,或?yàn)锳C=AB·cosγ。代入①,

        則AC=l·cosβ·sinω,或AC=l·cosβ·cosγ

        在△ABF中,BF=l·sinβ

        BFDC面為長方形∴BF=DC,DC=l·sinβ

        同理⊿ACD為垂直走向平面(即傾向垂面)中的直角三角形,根據(jù)勾股弦定理([2]):

        在傾向垂面的直角三角形ACD中,設(shè)∠DAC為β′,據(jù)幾何定理:平行線間同位角、內(nèi)、外錯角及對頂角相等,則∠ADE=α-β′,在△AED中,AE(H)=AD·sin(α-β′)。

        代入④

        根據(jù)三角函數(shù)加法定理,則:sin(α-β′)=sinα·cosβ′-cosα·sinβ′,代入

        代入⑥

        真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω-sinβ·cosα)

        (1)

        ∠ω和∠互為余角,當(dāng)選用巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實(shí)測線的交角γ時(shí)公式為:

        真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ-sinβ·cosα)

        (2)

        特例:

        當(dāng)?shù)孛嫫陆铅?0°時(shí):cosβ= cos0°= 1,sinβ= sin0°= 0,sinβ·cosα=0,

        代入(1)或(2)

        則真厚度H=l·(sinα·sinω)或H=l·(sinα·cosγ)

        當(dāng)巖(礦)層走向與巖(礦)層實(shí)測線的交角ω=90°,γ=0°和β=0°時(shí),

        sinω= sin90°=1,cosγ= cos0°=1,代入(1)或(2)

        則真厚度H=l·sinα

        (2)地面坡度與巖(礦)層傾向相反(圖2)。

        圖2 地面坡度與巖(礦)層傾向相反的立體圖

        推導(dǎo)同上,在△AED中,∠DAE=α+β′,則:

        真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω+sinβ·cosα)

        ∠ω和∠互為余角,當(dāng)選用巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實(shí)測線的交角γ時(shí)公式為:真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ+sinβ·cosα)

        3 結(jié) 語

        當(dāng)?shù)刭|(zhì)工作者完全了解“公式”具有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性時(shí),又知其所以然后,在運(yùn)用“公式”計(jì)算巖(礦)層厚度時(shí)將充滿信心,在野外收集各種計(jì)算參數(shù)時(shí)將更加主動和準(zhǔn)確。

        參 考 文 獻(xiàn)

        [1]地質(zhì)礦產(chǎn)部《地質(zhì)詞典》辦公室編輯.地質(zhì)詞典 [M].北京:地質(zhì)出版社,1983.

        [2]戴春陶等.中學(xué)生數(shù)學(xué)詞典[M].內(nèi)蒙古人民出版.1982.

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