李 華，白志東，肖玉山

(1.長春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長春130022；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

大維隨機矩陣的漸進特征

李 華1，白志東2，肖玉山1

(1.長春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長春130022；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

闡述了樣本維數(shù)與樣本量成比例趨于無窮時，大維隨機矩陣特征向量子空間的極限特征.指出當(dāng)隨機矩陣列的譜具有譜分離的特征時，其特征向量子空間具有一定的漸進特征.

隨機矩陣；譜分布；特征向量

1 預(yù)備知識

眾所周知，當(dāng)樣本量n相對于樣本維數(shù)p很大時，根據(jù)經(jīng)典極限理論，樣本方差將依概率收斂于總體方差矩陣.隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，人們所面對的數(shù)據(jù)通常樣本量和樣本維數(shù)都很大，即樣本維數(shù)往往相對于樣本量是不可忽略的.這時繼續(xù)使用樣本方差作為總體方差的估計已經(jīng)不再合適.人們迫切需要了解，在樣本量相對于樣本維數(shù)不充分大時，樣本協(xié)方差矩陣與總體協(xié)方差矩陣之間的定量關(guān)系.

大維隨機矩陣譜分析理論在描述樣本協(xié)方差矩陣與總體協(xié)方差矩陣譜結(jié)構(gòu)的定量關(guān)系方面做出了非常重要的貢獻.[1]根據(jù)這一理論，我們知道當(dāng)樣本維數(shù)相對于樣本量成比例趨于無窮時，在適當(dāng)?shù)臈l件下，Ap的經(jīng)驗譜分析(ESD)

(1)

將收斂于一個確定的分布.

為方程

(2)

特別的，當(dāng)Σp=σ2Ip時，F(xiàn)為MP-law.這里Ip為p×p單位矩陣(見文獻[3]).

有關(guān)Ap特征根的極限性質(zhì)已經(jīng)有大量文獻進行研究.其中：文獻[4]給出最大特征根的極限；文獻[5]利用統(tǒng)一方法給出Σp=Ip時，Ap最大、最小特征根的極限；文獻[6]證明了如果區(qū)間[a,b]位于F支撐集的外部，則對充分大的n，矩陣Ap無特征根落在區(qū)間[a，b]中.

目前有關(guān)Ap特征向量極限特征的文獻還不是很多，相關(guān)結(jié)果可見文獻[7-11].隨著隨機矩陣理論在諸如統(tǒng)計、無線通信、金融、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用，特征向量的極限特征逐漸引起人們的重視.例如在信號傳輸過程中，線性排列傳感器所接收的信號，其到達方向(DOA)是基于信號的特征空間.在主成分分析和因子分析中，主成分方向是最大特征根對應(yīng)的特征向量.

本文將討論大維隨機矩陣具有譜分離特征時，特征向量空間的極限特征.

2 譜分離

大維隨機矩陣的譜分離結(jié)構(gòu)最先由文獻[6]和文獻[12]提出.我們知道固定p，當(dāng)n趨于無窮時，由大數(shù)定律可得Ap依概率收斂于Σp.自然地如果存在區(qū)間J?R+對所有充分大的n無Σp特征根落入J內(nèi)，那么對于充分小的y(p→∞，p/n→y)應(yīng)存在一個區(qū)間[a，b](J附近)對所有充分大的n，Ap無特征根落入[a，b]中，而且Ap的特征根落到[a，b]一側(cè)的個數(shù)與Σp特征根落到J同一側(cè)的個數(shù)是相同的.事實上，在適當(dāng)?shù)臈l件下，對于相對一般的y>0同樣有類似的結(jié)論成立.

命題2.1[1]若：

(a) 設(shè)xij(i，j=1，2，…)是均值為0，方差為1且四階矩有限的獨立同分布隨機變量；

(b)p=p(n)，n→∞，yn=p/n→y>0；

(d) ‖Σp‖(即Σp的譜模)有界；

(f) 對于充分大的n，區(qū)間[a,b](a>0)位于Fyn，Hp支撐集外的某個開區(qū)間內(nèi).

那么：

(1) 對于充分大的n，Ap依概率1無特征根落入[a,b]中；

(3) 如果y[1-H(0)]≤1，或y[1-H(0)]>1，但[a,b]不包含(0，x0)，則對所有充分大的n，有區(qū)間

[-1/sFy,H(a)，-1/sFy,H(b)]?R+

屬于Hp支撐集的補.對這些n，如果ip≥0使得

亦即

3 主要結(jié)論

這里我們考慮當(dāng)Ap具有譜分離特征時，其特征向量的極限特征.

定理3.1 設(shè)在命題2.1條件(a)—(e)下.

(2) 對隨機矩陣Ap進行譜分解

(3)

(3) 存在xl0，使得[x-δ，x+δ]對充分大的n位于F支撐集外的開區(qū)間內(nèi)，這里xl，xr分別為F支撐集的最小值和最大值；

(ⅱ) 條件(4)中，我們要求向量列{ap}，{bp}為單位向量，目的在于避免當(dāng)p→∞時，‖ap‖(或‖bp‖)趨于無窮的情況，同時確保向量列的元素能在模一致的條件下進行分析.事實上此處的單位向量還可以變?yōu)槿我馄渌_定的數(shù)值.

推論3.1可由定理3.2及條件(4)推得.

4 定理3.1的證明

設(shè)

下面將證明

(4)

及

注意|βj(z)|≤|z|/v，‖Bj(z)-1‖≤1/v，由文獻[6]中引理2.7，我們有

(5)

定義σ域流Fj=σ(q1，…，qj)，記Ej(·)為給定Fj的條件期望，記E0(·)為非條件期望.

再由Borel-Cantelli引理，當(dāng)r>2時，(4)式成立.

因為

(6)

(見文獻[13]中等式(2.2))，我們有

(7)

這里：

同(5)式，由文獻[6]中引理2.7，對r≥2，

因此

由以上三個結(jié)論及(7)式可得

(8)

在定理3.1的條件下，

令z→0，

5 定理3.2的證明

在定理3.2的證明中，我們僅就i=1的情況進行了詳細說明，i=2時可同理得到.

這里Γ1=u(C1).下面我們來分析一下圍道Δ1，Δ2在圍道內(nèi)的極點情況.

首先考慮方程

(9)

設(shè)u1，u2為方程(9)的兩個根，則有0

現(xiàn)在計算Δ.

6 模擬驗證

對特定的Σp，我們針對不同的y=p/n分別計算Ap.這里我們給定總體協(xié)方差矩陣為對角矩陣，兩個互異特征根分別為1和5，對應(yīng)權(quán)重為0.5.給定樣本量n=1 000，樣本維數(shù)p=y×n，N=10 000為重復(fù)次數(shù).針對不同的y=0.1，0.2，…，0.8，通過計算機模擬構(gòu)造出Ap，求出特征根集合，并畫出其直方圖(見圖1—2).從圖1—2中我們不難看出，當(dāng)y<0.4時，其矩陣Ap的特征根可以明顯地分為兩堆.正如命題2.1中結(jié)論(3)所描述的，這里一部分特征根集中在1附近，一部分集中在5附近.而當(dāng)y=0.4，0.5時，雖然Ap特征根大致還能分為兩堆，但特征根分離現(xiàn)象已經(jīng)開始變得不十分明顯.而當(dāng)y>0.5時，Ap的特征根基本上已經(jīng)變成一堆了.

圖1 (y=0.1，0.2，0.3，0.4；λ=(1,5)；w=(0.5，0.5)；n=1 000；N=1 000)時Ap特征根直方圖

圖2 (y=0.5，0.6，0.7，0.8；λ=(1,5)；w=(0.5，0.5)；n=1 000；N=1 000)時Ap特征根直方圖

表1為定理3.1的模擬驗證結(jié)果，這里針對不同的y，計算

的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，記為(·，·).從表1中可以看到，通過定理計算的

表1 定理3.1的模擬驗證結(jié)果(λ=(1，5)，w=(0.5，0.5)，n=100，N=1 000)

表2為定理3.2的模擬驗證結(jié)果，這里針對不同的y，分別計算了

的均值和標(biāo)準(zhǔn)差(i=1，2)，分別記為AUiB，LAViB，EAViB(sdi)(i=1，2).這里我們就i=1的情況進行了詳細說明.當(dāng)y=0.1時，可以看到AU1B與EAV1B的差異并不大，只有0.007.但隨著y的增加，這種差異逐漸變大，當(dāng)y=0.8時，|AU1B-AV1B|=0.010 2.同時明顯可以看到通過定理計算的LAV1B與AV1B均值的擬合效果很好，誤差基本小于0.001，進而驗證了定理3.2的結(jié)論.同樣的，i=2的結(jié)果也進一步對定理3.2進行了驗證.

表2 定理3.2的模擬驗證結(jié)果(λ=(1，5)，w=(0.5，0.5)，n=100，N=1 000)

7 結(jié)論

[1] BAI Z D，SILVERSTEIN J W. Spectral analysis of large dimensional random matrices[M].2nd edition. Beijing：Science Press，2010：119-160.

[2] SILVERSTEIN J W，BAI Z.D.On the empirical distribution of eigenvalues of a class of large dimensional random matrices[J]. Journal of Multivariate Analysis，1995，54(2):175-192.

[4] YIN Y Y Q，BAI Z D，KRISHNAIAH. On the limit of the large eigenvalue of the largedimensional sample covariance matrix[J]. Probab Theory Related Fields，1988，78：509-521.

[5] BAI Z D，YIN Y Q.Limit of the smallest eigenvalue of large-dimensional sample covariance matrix[J]. Ann Probab，1993，21：1275-1294.

[6] BAI Z D，SILVERSTEIN J W. No eigenvalues outside the support of the limiting spectral distribution of large dimensional sample covariance matrices[J].Ann Probab，1998，26(1):316-345.

[7] SILVERSTEIN J W. Weak convergence of random functions defined by the eigenvectors of sample covariance matrices[J]. Ann Probab，1990，18：1174-1193.

[8] SILVERSTEIN J W. On the eigenvectors of large-dimensional sample covariance matrices[J]. J Multivariate Anal，1989，30：1-16.

[9] SILVERSTEIN J W. Some limit theorems on the eigenvectors of large-dimensional sample covariance matrices[J]. J Multivariate Anal，1984，15：295-324.

[10] BAI Z D，BAIQI MIAO，PAN G M.On asymptotics of eigenvectors of large sample covariance matrix[J]. Ann Probab，2007，35(4):1532-1572.

[11] XIAN NINGNNG，QIN YINGLI，BAI ZHIDONG.Convergence rates of eigenvector empirical spectral distribution of large dimensional sample covariance matrix[J]. Ann Statist，2013，41(5):2572-2607.

[12] BAI Z D，SILVERSTEIN J W. Exact separation of eigenvalues of large dimensional sample covariance matrices[J]. Ann Probab，1999，27(3):1536-1555.

[13] SILVERSTEIN J W. Strong convergence of the limiting distribution of the eigenvalues strong convergence of the limiting distribution of the eigenvalues of large dimensional random matrices[J]. J Multivariate Anal，1995，55：331-339.

[14] BAI ZHIDONG，LIU HUIXIA，WING KEUNG WONG.Enhancement of the applicability of markowitz’s portfolio optimization by utilizing random matrix theory[J].Mathematical Finance，2009，19(4):639-667.

(責(zé)任編輯：陶 理)

The asymptotic properties of the large dimension random matrix

LI Hua1，BAI Zhi-dong2，XIAO Yu-shan1

(1.School of Sciences，Changchun University，Changchun 130022，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

This paper introduces the limiting behavior of the subspace of eigenvectors aspgoes to infinity with sample sizenproportionally.This paper establishes the asymptotic properties of the subspace of eigenvectors when the support to limiting spectral distribution is separate.

random matrix theory；spectral distribution；eigenvectors

1000-1832(2014)04-0001-08

10.11672/dbsdzk2014-04-001

2014-08-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11171057，11171059)；吉林省自然科學(xué)基金資助項目(201215113)；吉林省教育廳課題(2010第160號)；吉林省教育廳課題([吉教科合字]2014第272號).

李華(1977—)，女，博士，講師，主要從事概率統(tǒng)計研究；白志東(1943—)，男，第三世界科學(xué)學(xué)院院士，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事應(yīng)用概率與數(shù)理統(tǒng)計研究；通訊作者：肖玉山(1964—)，男，博士，教授，主要從事概率統(tǒng)計研究.

O 212.4 [學(xué)科代碼] 110·6750

A