姜今錫，劉文斌，金艷

(延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

微分或變分不等式廣泛應(yīng)用于力學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、對(duì)策論和最優(yōu)化中的許多重要問題，如最優(yōu)控制問題、彈性問題、滲流問題以及處理非線性奇異攝動(dòng)問題等.變分不等式作為非線性微分方程的一個(gè)特殊類型，具有非線性性、不確定或自由邊界條件、以及解的不可微性等特點(diǎn)，其最優(yōu)控制問題的討論比非線性微分方程更為困難[1-2].文獻(xiàn)[1-12]從不同角度對(duì)多種類型的線性及非線性變分不等式的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了討論，考察了解的存在性、最優(yōu)化條件、數(shù)值解法等問題，并得到了許多有價(jià)值的研究成果，但是其中大多數(shù)研究僅局限于其目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于狀態(tài)可微分的特殊情形.本文基于已有的研究成果，重點(diǎn)討論目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于狀態(tài)函數(shù)不可微情形下的一個(gè)最優(yōu)控制問題，并證明其解的存在性.

1 最優(yōu)控制問題的設(shè)定

1.1 記號(hào)表示

1.2 狀態(tài)模型

狀態(tài)函數(shù)u滿足的半線性橢圓型變分不等式如下：

(1)

不等式(1)在H1(Ω)上存在唯一的解u.

1.3 不等式(1)的解的性質(zhì)及光滑性

引理1如下非線性邊值問題(2)存在唯一的解，且其解uε∈H1(Ω)滿足如下關(guān)系式：

(2)

證明問題(2)的變分方程式為

(3)

〈Aεuε,v〉V×V*∶=(rλuε,v)Ω+(rαuε+rβ,β1(uε),v)Ωβ2(uε),v)Γ1,

引理2若φ∈L2(Γ3)，則問題(2)的解uε在Ω上幾乎處處滿足uε≥0.

證明可直接從引理1和引理2得到.

定理1若φ∈L2(Γ3)，則不等式(1)的解u滿足u∈H3/2(Ω).

引理3u是不等式(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u為如下問題的解：

證明利用變分不等式的半梯度表示及其性質(zhì)即可得到證明.

1.4 最優(yōu)控制問題的設(shè)定

2 最優(yōu)控制問題解的存在性

(4)

因?yàn)閡n也是(1)式的解，所以在Γ1上有

(5)

(6)

定理2最優(yōu)控制問題(P)至少有一個(gè)解.

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