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        在黎曼流形上滿足Schur定理的一個(gè)半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)

        2014-08-02 06:51:36許達(dá)允全哲勇金光植

        許達(dá)允,全哲勇,金光植

        (1.金日成綜合大學(xué) 數(shù)學(xué)系,朝鮮民主主義人民共和國(guó) 平壤;2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

        A.Fridman等在文獻(xiàn)[1]中首次提出了半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)的概念,其后H.A.Hayden[2]和K.Yano[3]分別提出和研究了黎曼流形上半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)概念和性質(zhì).隨著對(duì)半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)研究的不斷深入,N.S.Agache等又提出了多種類(lèi)型的半對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)[4],在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[5-8]分別討論了射影等效Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的半對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)性、射影共形聯(lián)絡(luò)等內(nèi)容.隨后,文獻(xiàn)[9]給出了度量聯(lián)絡(luò)和非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件,文獻(xiàn)[10-11]在提出半對(duì)稱(chēng)非度量聯(lián)絡(luò)的物理模型的基礎(chǔ)上,討論了半對(duì)稱(chēng)非度量聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)應(yīng)用于古典重力場(chǎng)和電磁場(chǎng)的統(tǒng)一理論.基于以上研究,本文首先定義了黎曼流體上的一個(gè)半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò),且指出這種聯(lián)絡(luò)在特殊情形下可成為幾個(gè)聯(lián)絡(luò),即:半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò)、半對(duì)稱(chēng)共形聯(lián)絡(luò)、對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)、射影聯(lián)絡(luò)、共形聯(lián)絡(luò)以及Levi-Civita聯(lián)絡(luò),并給出了半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的常曲率條件和此聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)常曲率條件.

        1 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)

        (1)

        定義3聯(lián)絡(luò)稱(chēng)為半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò),如果在黎曼流體(M,g)里聯(lián)絡(luò)是射影等效于半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)和共形等效.

        如果σi=0,則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò); 如果ψi=0,則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò); 如果φi=0,則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò).對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)滿足,, 該聯(lián)絡(luò)系數(shù)為σk.

        注1如果σk=ψk=0,則; 如果σk=φk=0,則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是射影聯(lián)絡(luò);如果ψk=φk=0,則是共形聯(lián)絡(luò)(與Levi-Civita聯(lián)絡(luò)共形等效);如果φi=σi=ψi=0,則

        (2)

        (3)

        其中φi j=iφj-jφi.

        2 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的常曲率條件

        如果在黎曼流體的任何點(diǎn)P上的截面曲率與二維子空間的選擇無(wú)關(guān),則曲率張量可表示為Ri j kl=K(P)(gilgjk-gikgjl),如果k是常數(shù),則聯(lián)絡(luò)有常曲率.

        定理1在連接的黎曼流體(M,g)(dimM≥3)里半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)有常曲率的必要且充分條件是

        2σh-ψh-φh=0.

        (4)

        證明如果黎曼流體(M,g)里半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的截面曲率與二維子空間的選擇無(wú)關(guān),則曲率張量為,把該式代入到(3)式中得

        (5)

        通過(guò)對(duì)指標(biāo)i,l實(shí)施化簡(jiǎn)得(n-1)(n-2)[hK+2K(2σh-ψh-φh)]=0.這表明,在M≥3的情況下,K為常數(shù)的必要且充分的條件是(4)式成立.

        由定理1可給出在連接的黎曼流形(M,g)(dimM≥3)中滿足Schur定理的半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的5個(gè)類(lèi)型:

        1)σi=0 (,ψh=-φh)時(shí),

        4)ψ=σ=π時(shí),

        (6)

        注2從(4)式可知:如果ψh=σh=0,則φh=0;如果σh=φh=0,則ψh=0;如果φh=ψh=0,則σh=0.但如果σh=ψh=φh=0,則,這時(shí)Schur定理成立.

        所以在σh=ψh=0,φh≠0的半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)或在σh=φh=0,ψh≠0的射影對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)的情形下Schur定理不成立,而且在φh=ψh=0,σh≠0的共形對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)的情形下Schur定理仍然不成立.

        3 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)

        (7)

        (8)

        定理2在連接的黎曼流體(M,g)(dimM≥3)中,半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)有常曲率的必要且充分條件是

        ψh+2φh-2σh=0.

        (9)

        通過(guò)對(duì)指標(biāo)i,l實(shí)施化簡(jiǎn)得(n-1)(n-2)[hK-2K(ψh-2σh+2φh)]=0.這表明,在dimM≥3,K為常數(shù)的情形下,k是常數(shù)的必要且充分的條件為(9)式成立.

        由定理2可給出在連接的黎曼流形(M,g)(dimM≥3)上滿足Schur定理的半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的如下4個(gè)特殊類(lèi)型:

        (10)

        (11)

        4)ψh=2σh-2φh時(shí),

        參考文獻(xiàn):

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        [4] Agache N S, Chafle M R. A semi-symmetric non-metric connection on a Riemannian manifold[J]. Indian J Pure Appl Math, 1992,23(6):309-409.

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