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        基于最小體積約束的非負矩陣分解模型的高光譜解混算法探究

        2014-08-01 10:07:46余肖玲黃光鑫
        成都大學學報(自然科學版) 2014年4期
        關鍵詞:端元線性約束

        余肖玲,黃光鑫

        (成都理工大學 管理科學學院,四川 成都 610059)

        0 引 言

        在測量光譜圖像的過程中,受自然條件和環(huán)境等因素的影響,大多數(shù)地面的真實測量數(shù)據(jù)幾乎不可能獲得,從而導致圖像中的端元無法自動獲取.對于這種無法從圖像中提取端元的情況,若能實現(xiàn)對高光譜遙感數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)驅動下的盲分解,則非監(jiān)督的混合像元分解就顯得重要.非監(jiān)督的混合像元分解,能做到的就是在完全不了解端元信息的情況下,直接以遙感圖像本身為目標,根據(jù)混合像元的光譜模型及約束條件等信息,把混合像元分解為端元光譜矩陣及其在像元中所占的比例矩陣,即系數(shù)矩陣或豐度矩陣[1].在現(xiàn)有資料研究中,混合像元模型主要包括2 類:線性光譜混合模型和非線性光譜混合模型.近年來,隨著對光譜混合特性的進一步研究,線性光譜混合模型越來越引起更多學者的重視[2-9].對此,本研究首先對線性光譜混合模型進行描述,然后在線性混合模型的基礎上,再對混合像元分解算法進行討論.

        1 線性光譜混合模型

        線性光譜混合模型[10]的表達式為,

        式中,x 為m(m 為影像波段數(shù))維混合像元光譜,是遙感影像圖已獲得的實際測量值,A 為m ×p(p 為端元數(shù)目)的端元矩陣,其中每一列代表一個端元的光譜向量,向量s 為像元中各端元的豐度,ε 為m 維模型誤差或高斯隨機噪聲.

        若把遙感圖像中的全部像元均考慮在內(nèi),式(1)可寫為,

        式中,X ∈Rm×n,其列向量表示各個像元的光譜;S∈Rp×n構成系數(shù)矩陣或豐度矩陣.

        在線性光譜混合模型中,系數(shù)矩陣S 需滿足2個限制條件[6],即:1)非負性.

        2)豐度和為1.

        2 非負矩陣分解模型

        約束非負矩陣分解(Constrained Nonnegative Matrix Factorization,CNMF)算法通過加入非負限制可將一個非負矩陣分解(Nonnegative Matrix Factorization,NMF)分為2 個非負矩陣A 和S 的乘積,

        X = A × S

        其中,A 為m × p 階矩陣,S 為p × n 階矩陣,p ∈min(m,n).

        目標函數(shù)式為,

        由式(5)可知,NMF 算法理論上就是一個最優(yōu)化問題,其目的就是目標函數(shù)在基于歐氏距離的要求下尋找到最小值,并滿足A 和S 滿足非負性的約束[3].式(5)中,σ 和τ 是規(guī)則化參數(shù),σ‖A‖2/2 和τ‖S‖2/2 為引入的平滑性約束,目的是調(diào)節(jié)逼近誤差和平衡約束的消長關系.在尋求最小值的過程中,A 和S 遵循的迭代準則為,

        在式(6)的指引下,式(5)是單調(diào)非增的.當A和S 值穩(wěn)定時,目標函數(shù)值不再發(fā)生變化.在高光譜解混中,可以有意識地把X 設想成m 維混合像元光譜,利用上述迭代規(guī)則尋求滿足非負性的端元矩陣和豐度矩陣.需要注意的是,為了滿足式(4)的成立,每一步迭代后仍需對S 按,

        做歸一化處理[5].

        3 基于最小體積約束的非負矩陣分解方法

        基于最小體積約束的非負矩陣分解方法(Nonnegative Matrix Factorization Method Based on Minimum Volume Constraint,MVC-NMF)在最小二乘和凸面幾何結合的基礎上,把體積約束附加到NMF 中,其相應的目標函數(shù)式為,

        用來計算單體體積的懲罰項.φ ∈R.

        把交替最小平方法引入到上述優(yōu)化問題中,就可以利用,

        把初始問題分解為2 個小問題.在計算過程中,保持矩陣A 和S 任何一個不變來交替更新另一個,并采用梯度投影學習規(guī)則強化每個小問題中的矩陣非負限制.若出現(xiàn)不滿足約束限制的負值,則在保持非負變量不變的同時,利用函數(shù)max(0,x)將負值設定為0,則有,

        將目標函數(shù)f(A,S)對矩陣S 求偏導數(shù),

        Sf(A,S)= AT(AS-X),

        令,

        則目標函數(shù)對矩陣A 的偏導數(shù)為,

        由此,MVC-NMF 算法的具體步驟為:

        ①輸入混合光譜數(shù)據(jù)矩陣X ∈Rm×n(m 為波段數(shù),n 為像元數(shù));

        ②用虛擬維度[9]的方法估計端元數(shù)P;

        ③從X 中任意選取P 列充當初始源矩陣A ∈Rm×P;

        ④生成初始系數(shù)矩陣S ∈RP×n,并根據(jù)式(7)對S 進行歸一化處理;

        ⑤設定最大迭代次數(shù)MaxIter;

        ⑥根據(jù)式(10)分別更新A 和S 并根據(jù)式(7)對矩陣S 再做歸一化處理;

        ⑦設置最大迭代次數(shù)MaxIter;

        ⑧若MaxIter 已達到最大值或目標值不再收斂,則算法結束;否則重復步驟⑥.

        4 實 驗

        為了檢驗MVC-NMF 算法對混合像元分解的性能,在實驗中,采用USGS 光譜庫中的五條光譜來構建模擬數(shù)據(jù),添加噪聲所用的信噪比為30 dB,光譜曲線如圖1 所示,同時,還將本算法與平滑LO 模約束的MVC-NMF(MVC-NMF with Smoothed LO norm Constraint,SC-MVC-NMF)算法的實驗結果進行對比.

        1)端元數(shù)不同時的實驗對比.為了對比在不同端元數(shù)目情況下2 種算法的結果,實驗中給模擬圖像添加了30 dB 的高斯噪聲且采用的最大迭代次數(shù)為60 次.MVC-NMF 算法和SC-MVC-NMF 算法均采用VCA+FCLS 進行初始化.將端元數(shù)設定為5、6、7時,2 種算法提取結果的運行時間及相似性測度的結果如表1 所示.

        圖1 構建模擬圖像的5 條光譜

        表1 端元數(shù)不同時的實驗對比

        由表1 可知,在端元數(shù)目不同的情況下,MVCNMF 算法的精度略低于SC-MVC-NMF 算法,但其運行時間明顯較快.

        2)噪聲的穩(wěn)健性對比.為了對比2 種算法的抗噪性,利用上述5 條光譜構建模擬圖像,并在模擬數(shù)據(jù)中分別添加SNR =10、20、30、40 dB 的高斯噪聲且設定最大迭代次數(shù)為60.MVC-NMF 算法和SCMVC-NMF 算法均利用VCA +FCLS 進行初始化.在不同的信噪比下,MVC-NMF 和SC-MVC-NMF 算法獲取的端元光譜、豐度矩陣的相似性測度如表2 所示.

        表2 噪聲的穩(wěn)健性對比

        從表2 可以看出,在信噪比減小的情況下,2 種算法的結果都逐漸變差,盡管SC-MVC-NMF 算法運行時間略有增加,但其混合像元分解的結果始終優(yōu)于本研究算法提取的結果.

        3)實驗結果表明,噪聲的穩(wěn)健性方面,在端元數(shù)不同的情況下,本研究算法收斂速度較快,但其混合像元解混的結果略差,因此,附加條件下MVCNMF 的改進成為下一步研究的重點.

        5 結 論

        本研究提出的MVC-NMF 算法對于高光譜圖像混合像元分解問題有較大的實用價值,然而MVCNMF 算法在計算過程中表現(xiàn)出來的收斂效果略差的缺點,卻影響了高光譜混合像元分解的效率,且很難找到最優(yōu)解,這些劣勢限制了非負矩陣分解模型的應用.因此,在以后的研究過程中,應進一步探索更為快速高效的高光譜混合像元分解的NMF 算法.

        [1]賈森.非監(jiān)督的高光譜圖像解混技術研究[D].杭州:浙江大學,2006.

        [2]Maurich D C.Minimum volume transforms for remotely sensed data[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,1994,32(3):542-552.

        [3]Lin C J.Projected gradient methods for non—negative matrix factorization[J].Neural Computaion,2007,19(10):2756-2779.

        [4]Pauca U,Piper J,Plemmons R.Nonnegative matrix factorization for spectral data analysis[J].Linear Algebra and Application,2006,416(1):29-47.

        [5]薛綺.基于線性混合模型的高光譜圖像端元提取方法研究[D].長沙:國防科學技術大學,2004.

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        [10]趙春暉,成寶芝,楊偉超.利用約束非負矩陣分解的高光譜解混算法[J].哈爾濱工程大學學報,2012,32(3):96-99.

        [11]施蓓琦,劉春,孫偉偉,等.應用稀疏非負矩陣分解聚類實現(xiàn)高光譜影像波段的優(yōu)化選擇[J].測繪學報,2013,46(3):351-358.

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