張振軍， 趙靜源， 王 征， 陳延軍

(1.西安石油大學(xué),陜西 西安 710065; 2.陜西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710100)

基于Newton迭代的嚙合角數(shù)值計(jì)算*

張振軍1， 趙靜源2， 王 征1， 陳延軍1

(1.西安石油大學(xué),陜西 西安 710065; 2.陜西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710100)

為改善剃齒刀修行技術(shù)中的“中凹”現(xiàn)象，對于剃齒刀的修行系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化推導(dǎo)出一個(gè)超越方程，經(jīng)過處理后形成一個(gè)關(guān)于嚙合角的一階非線性超越方程，最后運(yùn)用數(shù)值計(jì)算中的Newton迭代方法進(jìn)行計(jì)算，對于其結(jié)果進(jìn)行比較，得到了與實(shí)驗(yàn)最為接近的最佳嚙合角。

嚙合角；初始值；Newton迭代；誤差容限

0 引 言

齒輪是傳遞動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的重要零件，其用途非常廣泛，齒輪加工中的凹現(xiàn)象對于齒輪加工中產(chǎn)生了重要的影響，剃齒修形直接決定著剃齒質(zhì)量等，筆者通過對端面嚙合角的數(shù)值計(jì)算提高嚙合角的數(shù)值，從而提高剃齒修形效果。

1 嚙合角理論分析

1.1 剃齒工藝的“中凹”現(xiàn)象

剃齒工藝中，剃齒刀和被剃齒齒輪的重疊系數(shù)一般不是整數(shù)，由于進(jìn)給速度等客觀因素的存在，造成同時(shí)接觸的齒面數(shù)是變化的。當(dāng)齒面在剃齒過程中的齒數(shù)變化造成其接觸點(diǎn)的數(shù)量也在變化，在剃齒過程中受力接觸面的不同，導(dǎo)致剃齒機(jī)在剃齒過程中，齒腹根部和節(jié)圓附近的切削量不同，導(dǎo)致剃齒齒廓齒形中的“中凹”現(xiàn)象的發(fā)生[1]。

1.2 剃齒刀修形的嚙合角

1.2.1 剃齒的修形理論

端面嚙合角為剃齒刀修形中最重要的參數(shù)，是解決剃齒刀“中凹”現(xiàn)象的關(guān)鍵步驟，其計(jì)算的精確值也是解決剃齒刀修形的關(guān)鍵[2]。在國內(nèi)而言，嚙合角的計(jì)算在目前沒有一個(gè)確定的嚙合角計(jì)算公式，因?yàn)樵谔挲X過程是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)過程，其受力分析受到諸多因素的影響很難確定，所以現(xiàn)在只能采用近似值的數(shù)值計(jì)算方法來取得其最佳近似解。該方法在節(jié)圓直徑與分圓直徑差值增大或嚙合壓力角與分度圓壓力角相差較大時(shí)，其計(jì)算誤差較大，尤其是對嚙合角較小的情況更是如此。

筆者對端面嚙合角的數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了深入研究，提出了一種數(shù)值計(jì)算方法，得到更簡潔和精確的近似解。

1.2.2 嚙合角的計(jì)算公式

由齒輪嚙合理論得出：

sinβ1cosαn1=sinβj1cosjn1

將上式整理得到：

sinβb2=cosαnsinβn2

sinβb1=cosαnsinβn1

將上式代入，可得：

1.2.3 齒輪的參數(shù)設(shè)置

將方程式代入得到：

z2invαt0-z1invαjt1+

2 Netwon迭代公式

2.1 計(jì)算方法選擇[6]

若方程f(x)=0，方程f(x)在其零點(diǎn)x0處的領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)可微且f′(x)≠0，若xk為方程的近似解，則：

2.2 計(jì)算結(jié)果

針對剃齒刀嚙合角的計(jì)算，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得知，選擇嚙合角的初始值X0=0.3316，誤差容限為10-4。數(shù)值計(jì)算是為了提高嚙合角的精確度，又要迭代次數(shù)盡量減少，最優(yōu)解的精確度要提高。

(1) 誤差容限 嚙合角計(jì)算過程中，誤差容限設(shè)定為10-4，如圖1所示，Newton迭代在計(jì)算過程中誤差容限出現(xiàn)了很大跳動(dòng)，誤差容限一般是極其微小的數(shù)值，在經(jīng)歷過157次迭代達(dá)到收斂。

圖1 Newton迭代的誤差容限控制的跟蹤圖

(2)嚙合角的最優(yōu)解 表1所列為Newton迭代的數(shù)值，圖2為Newton迭代嚙合角取值的跟蹤圖?；贛atlab環(huán)境下的數(shù)值計(jì)算，在經(jīng)歷過157次迭代后收斂于αjt1=0.331 671，在實(shí)際試制過程中，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果αjt1=0.331 671，貼近于實(shí)際剃齒嚙合角的數(shù)值。

表1 Newton迭代的數(shù)值

圖2 Newton迭代嚙合角取值的跟蹤圖

3 結(jié) 論

(1) 通過參數(shù)的優(yōu)化和經(jīng)驗(yàn)得出了嚙合角的超越方程，通過比較數(shù)值計(jì)算得到了一種更簡潔、準(zhǔn)確的迭代計(jì)算。

(2) 通過Newton迭代取得相對精確的最優(yōu)解。

(3) 建立了嚙合角計(jì)算的超越方程，直接求其最優(yōu)解，為“剃齒中凹”提供數(shù)值參考。

[1] 陳世平.剃齒加工齒形中凹誤差分析[J].現(xiàn)代制造工程，2002(10):52-53.

[2] 蔡安江.剃齒加工齒形誤差的研究[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007(10):730-734.

[3] 蘇慧娟.牛頓炫截法預(yù)估校正迭代格式的收斂階 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006(4):164-168.

[4] 胡 敏.剃齒刀修行技術(shù)及其CAD系統(tǒng)的研究[D].西安：西安建筑科技大學(xué)，2009.

[5] 吳序唐.齒輪嚙合原理[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，2009.

[6] 林成森.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:科學(xué)出版社，2005.

Numberical Calculation of Meshing Angle Based on Newton Interation

ZHANG Zhen-jun1， ZHAO Jing-yuan2， WHANG Zheng1， CHEN Yan-jun1

(1.Xi′anShiyouUniversity,Xi′anShaanxi710065,China； 2.Shaan′xiVocationalandTechnicalCollege,Xi′anShaanxi710100,China)

In order to improve the concave phenomenon in shaving cutter technology and the shaving cutter′s practiced coefficient is optimzed, then a transcendental equation is deduced, which can be formed a first order nonlinear transcendental equations about meshing angle through calculations. Finally, using Newton iteration methods of numberical calculations to get the answer. Compared with other result we got，there will be a perfect meshing angle which is extremely close to the theoretical value.

meshing angle; initial value；Newton interation; error tolerance

2014-03-07

張振軍(1986-)，男，陜西西安人，助理工程師，碩士，主要從事齒輪動(dòng)力學(xué)方面的研究工作。

TG61

A

1007-4414(2014)02-0066-02