王國偉

(鐵道第三勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，天津 300251)

1 概述

近十幾年來，可靠性理論及其應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，可靠性設(shè)計日益為人們所熟悉。樁基是軟土地基上結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的重要形式之一，它通過土的摩阻力和端阻力將上部結(jié)構(gòu)的荷載傳遞到地基上，目前在建筑、鐵路、橋梁、港口等工程中廣泛應(yīng)用。與混凝土、鋼材等人造材料不同，由于樁側(cè)土質(zhì)和樁底土質(zhì)的變異性、勘察試驗的誤差、成樁過程中樁側(cè)土的擾動和密實度變化，孔底可能出現(xiàn)的沉渣，虛土等，構(gòu)成了土質(zhì)條件的不確定性，是制約樁承載力變異性的主要因素，單靠計算不能準(zhǔn)確得到樁的極限承載力，所以對重要的工程，國內(nèi)外的樁基規(guī)范［1-6］都要求進(jìn)行樁靜荷載承載力試驗，根據(jù)試樁結(jié)果確定樁的承載力。由于試樁過程復(fù)雜、費(fèi)用高，一般情況下試樁的數(shù)量很小，如我國GB 50007-2002建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范［3］規(guī)定:“在同一條件下的試樁數(shù)量，不宜少于總樁數(shù)的1%，且不應(yīng)少于3根?！逼渌绻窐蚝?、港口工程等都有類似的規(guī)定。這里盡管規(guī)定樁靜荷載試驗的數(shù)量為“不少于”規(guī)定的數(shù)量，但一般按最小數(shù)量采用，在統(tǒng)計分析中屬于小樣本。本文探討了在試樁數(shù)據(jù)為小樣本的條件下，樁豎向承載力的可靠度分析方法。

2 試樁結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計分析

從可靠度理論講，因樣本不足產(chǎn)生的不確定性稱為統(tǒng)計不確定性。從數(shù)理統(tǒng)計理論講，如果μX和σX為隨機(jī)變量X的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，和s為從X的母體中抽取的容量為n的樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則不管用何種方法進(jìn)行估計和s均是不確定的，只有當(dāng)n→∞時，和s才趨近于μX和σX。在工程中，一般情況下，只要數(shù)據(jù)的數(shù)量足夠多，即可認(rèn)為和s趨近于μX和σX，但具體要看數(shù)據(jù)的離散程度。

抽樣分布是研究統(tǒng)計不確定性的基礎(chǔ)，χ分布、t分布和F分布是經(jīng)典數(shù)理統(tǒng)計中的三大抽樣分布，這些分布均假定樣本母體為正態(tài)分布，對其他分布的母體，目前尚難給出抽樣分布的具體形式。統(tǒng)計分析表明，可假定樁的豎向承載力服從對數(shù)正態(tài)分布，而對數(shù)正態(tài)分布是由正態(tài)分布衍生來的。所以，本文的研究以樣本母體為正態(tài)分布為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。

當(dāng)樣本(X(1)，X(2)，…，X(n))為來自于正態(tài)母體時，如果其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差由式(1)計算:

t分布的概率密度函數(shù)為:

其中，Γ(n)為Γ函數(shù)。

如果從正態(tài)母體中抽取的變量X的樣本值為x(1)，x(2)，…，x(n)，則可由式(1)計算其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差s，則根據(jù)式(4)，可將X的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差表示為:

由于T和χ均為隨機(jī)變量，則如前面所述，μX和σX也為隨機(jī)變量。本文的分析就是以式(5)為基礎(chǔ)的。

3 可靠度分析方法

假定結(jié)構(gòu)設(shè)計中有m個隨機(jī)變量，由這m個隨機(jī)變量表示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為:

其中前k個隨機(jī)變量X1，X2，…，Xk為需要考慮統(tǒng)計不確定性的隨機(jī)變量，其概率分布是已知的，統(tǒng)計參數(shù)需要根據(jù)小樣本估計;后m－k個隨機(jī)變量Xk+1，…，Xm為不需考慮統(tǒng)計不確定性的隨機(jī)變量，其概率分布和統(tǒng)計參數(shù)均已知。當(dāng)k=0時，全部變量均不需考慮統(tǒng)計不確定性，當(dāng)k=m時，全部變量均需考慮統(tǒng)計不確定性。

對于前k個隨機(jī)變量，假定其中第i個隨機(jī)變量Xi服從正態(tài)分布，其總體平均值為μXi，標(biāo)準(zhǔn)差為σXi，則Xi可表示為:

其中，Yi為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，即Yi～N(0，1)。將式(5)代入式(7)得:

其中，ni為從Xi的總體中抽取的樣本的容量;和si分別為根據(jù)Xi的樣本由式(1)計算的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計值;Ti為密度函數(shù)由式(3)表示的隨機(jī)變量;χi為密度函數(shù)由式(2)表示的隨機(jī)變量。在式(8)中，Xi用三個隨機(jī)變量Yi，Ti和χi描述，反映了估計Xi的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差時統(tǒng)計不確定性的影響。將式(8)代入式(6)中，即可用一次二階矩方法進(jìn)行可靠度計算。

上面的分析是假定Xi服從正態(tài)分布時給出的結(jié)果。如果Xi服從對數(shù)正態(tài)分布，則ln Xi服從正態(tài)分布，這樣ln Xi可以表示如下:

即:

其中，Yi為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量;μlnXi和σlnXi分別為ln Xi的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，與Xi的平均值μXi以及標(biāo)準(zhǔn)差σXi的關(guān)系為:

當(dāng)ln Xi服從正態(tài)分布時，根據(jù)式(5)有:

同樣，將式(13)代入式(6)中，即可用一次二階矩方法［7］進(jìn)行可靠度計算。

4 算例分析

某結(jié)構(gòu)工程采用預(yù)應(yīng)力混凝土樁，設(shè)計樁長41．9 m，樁徑600 mm。樁恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值SGK=1 150 kN，活荷載標(biāo)準(zhǔn)值SQK=1 835 kN。進(jìn)行了兩根樁的靜荷載試驗。按照我國現(xiàn)行規(guī)范判斷的極限承載力分別為3 987 kN和4 382 kN。

采用上述“可靠度分析方法”計算式(1)～式(13)，得到:

樁豎向承載力的功能函數(shù)為:

假定試樁的數(shù)量分別為 n=2，3，4，5，6，7，根據(jù)計算得到的承載力的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差s不變(實際工程中不太可能出現(xiàn)這種情況，這里只是說明在和s相同的條件下，試樁數(shù)量對可靠指標(biāo)的影響)，則用JC法迭代計算的可靠指標(biāo)如表1所示。

表1和s不變n=2～7時樁的可靠指標(biāo)β

表1和s不變n=2～7時樁的可靠指標(biāo)β

n 2 3 4 5 6 7 β1．614 8 1．989 4 2．399 9 2．690 4 2．907 2 3．070 4

需要說明的是，表1中結(jié)果并不是說隨著試樁數(shù)量的增大，可以認(rèn)為提高了樁的可靠性。當(dāng)因小樣本樁的承載力信息不充分時，所計算的小樣本的可靠指標(biāo)只是大樣本可靠指標(biāo)的一個估計。換句話說，表1是假定和s均不變時的計算結(jié)果，實際工程中隨著試樁數(shù)量的變化和s一般也會發(fā)生變化，除非隨試樁的數(shù)量多到大樣本的程度和s的變化可以忽略。和s的變化會使得計算的可靠指標(biāo)不再是表1中的規(guī)律，如增加試樁數(shù)量時，也可能計算的減小，s增大，顯然可靠指標(biāo)減小。但不管可靠指標(biāo)如何變化，試樁數(shù)量越多，可靠指標(biāo)的計算結(jié)果越可信是毫無疑問的。

5 結(jié)語

在試樁結(jié)果平均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計值相同的條件下，試樁數(shù)量少，求得的可靠指標(biāo)低;試樁數(shù)量多，求得的可靠指標(biāo)高。當(dāng)試樁數(shù)量足夠多，接近于大樣本時，可靠指標(biāo)不再隨試樁的數(shù)量而變化。這是因為增加試樁數(shù)量，減小了統(tǒng)計不確定性。

［1］建筑樁基技術(shù)規(guī)范(送審討論稿)［S］．

［2］JGJ 106-2003，J 256-2003，建筑基樁檢測技術(shù)規(guī)范［S］．

［3］GB 50007-2002，建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范［S］．

［4］JTJ 041-2000，公路橋涵施工技術(shù)規(guī)范［S］．

［5］F．De Cock，C．Legrand．Design of axially loaded piles:European Practice．1997［S］．

［6］EN 1997-1∶2004，Eurocode 7:Geotechnical design-Part 1(General rules)［S］．

［7］貢金鑫．工程結(jié)構(gòu)可靠度計算方法［M］．大連:大連理工大學(xué)出版社，2003．