房 亮

(上海建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200041)

0 引言

淺基礎(chǔ)的極限承載力通常采用Terzaghi的疊加原理形式給出，即分別考慮地基土粘聚力c、基礎(chǔ)底面以上超載q以及土體重度γ對(duì)地基承載力的貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行線性疊加求得極限承載力，計(jì)算公式為［1］:

其中，Nc，Nq，Nγ均為地基承載力系數(shù)，均為摩擦角 φ 的函數(shù);B為基礎(chǔ)寬度。為了求得地基承載力系數(shù)Nc，Nq，Nγ，大多數(shù)方法假定兩個(gè)不同的破壞機(jī)理:一個(gè)為考慮超載q但不考慮土體重度γ的c-φ土，另一個(gè)為不考慮超載q但考慮土體重度的無粘性土。采用第一個(gè)破壞機(jī)理可求得Nq，Nc的解析表達(dá)式:

采用第二個(gè)破壞機(jī)理并不能求得Nγ的解析表達(dá)式，只能采用數(shù)值方法得到其近似數(shù)值解。目前常用的數(shù)值方法有:極限平衡法［2，3］、極限分析法［4，5］、有限元或有限差分法［6，7］、滑移線法［8，9］?；贜γ的數(shù)值解一些經(jīng)驗(yàn)公式被提出以簡(jiǎn)化計(jì)算。其中比較經(jīng)典的Nγ公式為:

Terzaghi公式［1］:

Meyerhof公式［10］:

Hansen 公式［11］:

Vesic 公式［12］:

實(shí)際上在極限荷載作用下只有一個(gè)破壞模式發(fā)生，由于土體材料的非線性，采用傳統(tǒng)的疊加原理計(jì)算地基承載力會(huì)產(chǎn)生誤差。Michalowski［13］采用極限分析上限法分析地基極限承載力時(shí)發(fā)現(xiàn)，地基承載力系數(shù)不僅依賴于摩擦角，還與無量綱參數(shù)c/(γB)和 q/(γB)有關(guān)。Smith［14］采用滑移線法分析發(fā)現(xiàn)，疊加原理引起的誤差最高可達(dá)25%，因此承載力計(jì)算的疊加誤差應(yīng)該予以考慮。同時(shí)基于不同的假定采用不同的數(shù)值方法求解地基承載力系數(shù)Nγ也會(huì)引入誤差。由于基于疊加原理的極限承載力公式及以上四個(gè)Nγ的經(jīng)典公式被廣泛應(yīng)用，分析采用這些公式時(shí)的誤差具有重要的工程意義。近期的研究成果發(fā)現(xiàn)，如果假定土體為理想彈塑性材料，由滑移線法得到的極限地基承載力為精確解［14］，故本文采用 Martin［15］基于滑移線法的軟件 ABC計(jì)算地基極限承載力并與經(jīng)驗(yàn)公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較，該軟件在各種極端條件下均能高精度的求得地基極限承載力。

1 地基承載力問題的等效處理［16］

淺基礎(chǔ)的極限承載力是c，φ，γ，B與q的函數(shù)，針對(duì)每一組(c，φ，γ，B，q)都可單獨(dú)求出一個(gè)極限承載力，為了系統(tǒng)的進(jìn)行誤差分析需要對(duì)地基承載力問題進(jìn)行等效處理。假定土體為理想剛塑性材料，根據(jù)摩爾—庫侖破壞準(zhǔn)則得:

其中，σ1，σ3分別為最大和最小主應(yīng)力。式(8)可被寫成下式形式:

式(9)表明一般的c-φ土可以看作為在土體處增加一個(gè)c cotφ壓力的無粘性土。

如圖1a)所示，基于疊加原理的地基極限承載力為:

圖1 地基承載力的等效處理

然后將土體看作無粘性土，同時(shí)在地表及基礎(chǔ)上施加正應(yīng)力c cotφ，如圖1b)所示，則極限承載力可表示為:

式(11)左右同時(shí)除以γB則可得到無量綱化的極限承載力公式，如圖1c)所示:

通過比較式(10)～式(12)可知:

Pu為無量綱化的極限承載力，λ為無量綱化的超載。從而地基承載力問題可以簡(jiǎn)化為下面的問題進(jìn)行分析:土體重度γ=1，基礎(chǔ)寬度B=1，超載q=λ，土粘聚力c=0。

2 誤差分析

針對(duì)特定的λ值，將式(4)～式(7)中任一個(gè)Nγ經(jīng)驗(yàn)公式代入式(14)，均可得到無量綱的地基極限承載力。由于這四個(gè)經(jīng)典的經(jīng)驗(yàn)公式并不是精確的表達(dá)式，因此會(huì)引入誤差。其誤差可采用下式進(jìn)行評(píng)估:

其中，Pu為準(zhǔn)確的無量綱極限承載力，可采用ABC軟件直接求出;Ncγlassical為式(4)～式(7)中任一個(gè)Nγ經(jīng)驗(yàn)公式;v為誤差因子，當(dāng)v＞1時(shí)表明采用經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力小于準(zhǔn)確值，當(dāng)v＜1時(shí)表明采用經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力大于準(zhǔn)確值。

圖2a)為采用Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的誤差分析，由圖可知，當(dāng)摩擦角φ=5°時(shí)，v隨著λ的增大從1．28先增大到1．41然后減小到1，在整個(gè)過程中v均不小于1，表明φ=5°時(shí)采用Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力小于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=20°時(shí)，v隨著λ的增大從0．8先增大到1．14然后減小到1，表明φ=20°時(shí)，當(dāng)λ＜0．6采用Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力大于準(zhǔn)確值;當(dāng)λ＞0．6采用Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力小于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=35°時(shí)，v隨著λ增大的變化規(guī)律與φ=20°時(shí)類似，經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力先大于準(zhǔn)確值然后小于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=50°時(shí)，采用Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力均小于準(zhǔn)確值。

圖2b)為采用Meyerhof經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的誤差分析，由圖可知，當(dāng)摩擦角φ=5°時(shí)，v隨著λ的增大從1．63先增大到1．70然后減小到1，在整個(gè)過程中v均不小于1，表明φ=5°時(shí)采用Meyerhof經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力均小于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=20°時(shí)，v隨著λ的增大從0．99先增大到1．23然后減小到1，表明φ=20°時(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力先大于準(zhǔn)確值然后小于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=35°與φ=50°時(shí)v隨著λ增大的變化規(guī)律與φ=20°時(shí)類似，經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力先大于準(zhǔn)確值然后小于準(zhǔn)確值。

圖2c)為采用Hansen經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的誤差分析。通過比較式(4)和式(6)可知Hansen經(jīng)驗(yàn)公式與Terzaghi經(jīng)驗(yàn)公式類似，因此圖2c)中v隨著λ的增大的變化規(guī)律與圖2a)相似。當(dāng)φ=20°且λ＜0．005時(shí)v略小于1，其余情況下v均大于1。因此采用Hansen經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力基本上均小于準(zhǔn)確值，偏安全。

圖2d)為采用Vesic經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的誤差分析，由圖可知，當(dāng)摩擦角φ=5°時(shí)，v隨著λ的增大而增大最終趨于1，在整個(gè)過程中v均不大于1，表明φ=5°時(shí)采用Vesic經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力均大于準(zhǔn)確值。當(dāng)摩擦角φ=50°時(shí)v隨著λ增大先增大后減小，經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力先大于準(zhǔn)確值然后小于準(zhǔn)確值。通過圖2d)可知，大多數(shù)情況下v均小于1，因此采用Vesic經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力基本上大于準(zhǔn)確值，偏不安全。

3 結(jié)語

1)由于土體的非線性及計(jì)算模型不準(zhǔn)確，常用的一些經(jīng)典公式均存在著誤差。經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力可能大于準(zhǔn)確值也可能小于準(zhǔn)確值。

2)采用Hansen經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力基本上小于準(zhǔn)確值，偏安全，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)得到土體的摩擦角較準(zhǔn)確時(shí)，可采用Hansen公式計(jì)算地基極限承載力從而得到偏保守的值。

3)采用Vesic經(jīng)驗(yàn)公式求得的極限承載力基本上大于準(zhǔn)確值，偏不安全。當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)得到極限承載力時(shí)，可采用Vesic公式反分析求得土體摩擦角。采用反分析得到的摩擦角對(duì)附近類似工程進(jìn)行極限承載力分析時(shí)可以得到偏保守的結(jié)果。

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