王毅君 武燁存 劉 偉 史慶藩

（北京理工大學(xué)，北京 100081）

在當(dāng)今信息時代，機器人正替代人類發(fā)揮著日益重要的作用.然而，隨著應(yīng)用范圍的擴大，機器人面臨的環(huán)境也越來越惡劣，例如有毒有害氣體的腐蝕、日趨復(fù)雜的地貌等，這就要求機器人具有很強的自主運動能力及生存能力.特別是在遇到較大的障礙物時，機器人需要具有跳躍能力才可以輕易克服障礙，進而大大提高機器人的活動范圍，于是彈跳機器人應(yīng)運而生［1］.另外，在星際探索中，由于月球與火星表面重力加速度遠低于地球，彈跳運動便是較為高效的運動方式，彈跳機器人也因此有著廣泛的應(yīng)用前景［2］.

目前，彈跳機器人已經(jīng)有了一定的研究成果，但對于一些基本的彈性結(jié)構(gòu)的彈跳還沒有系統(tǒng)的理論分析及實驗數(shù)據(jù).另外，探究彈性環(huán)的彈跳高度也是2013年國際青年物理學(xué)家競賽（IYPT）的題目之一.本文中我們選取最簡單的彈跳模型即彈性環(huán)來探究彈跳機器人在跳躍時的高度以及能量轉(zhuǎn)換的效率，以期對彈跳機器人的理論研究提供有價值的參考.

1 彈性環(huán)能量轉(zhuǎn)換分析

彈性環(huán)在剛性表面（這里我們選擇大理石）受力壓縮后彈起，彈性勢能轉(zhuǎn)換為平動動能及振動動能.下面研究能量之間的轉(zhuǎn)換并給出各部分能量的計算.

令彈性環(huán)的半徑為R，厚度為τ，寬為w，初始形變量為δ，如圖1和圖2所示.

圖1 初始狀態(tài)的彈性環(huán)

圖2 壓縮后的彈性環(huán)

彈性環(huán)處于壓縮時，根據(jù)能量守恒定律可得

其中，Eb代表彈性環(huán)所儲存的彈性勢能；Es代表彈起過程中彈性環(huán)與接觸面之間的能量損耗；Et，0和Ev，0分別代表脫離地面瞬間的初始平動動能及振動動能.

由文獻［3］知，彈性勢能計算為

其中，k為彈性系數(shù)；Y為楊氏模量；η為一個無量綱常數(shù).

初始平動動能為

其中，m為彈性環(huán)的質(zhì)量；vc是圓環(huán)質(zhì)心的速度.初始振動動能為

彈性環(huán)彈起后，上升過程中克服空氣阻力做功為Ed，則有

其中Eg代表上升達到高度為h的最高點時的重力勢能，即

至此，我們推導(dǎo)出了能量之間的轉(zhuǎn)換公式，下面就以此為基礎(chǔ)計算忽略空氣阻力時的彈起高度.

2 忽略空氣阻力時的彈起高度

忽略空氣阻力時，彈性環(huán)彈起的初始平動動能全部轉(zhuǎn)換為達到最高點的重力勢能.為了得到彈起高度，需要計算彈性勢能以及初始平動動能.

彈性勢能的計算首先需要對η進行實驗測定.通過預(yù)實驗我們發(fā)現(xiàn)在彈性限度內(nèi)，外力F與δ的線性關(guān)系比較好，證明了胡克定律及彈性勢能公式對彈性環(huán)的適用性.而后用多種規(guī)格的彈性環(huán)得到彈性系數(shù)k的結(jié)果如圖3所示.

圖3 多種規(guī)格彈性環(huán)彈性系數(shù)測量結(jié)果

線性擬合后斜率代表公式（2）中η，其值為0.1869.這樣，對于給定參量的彈性環(huán)來說，初始的彈性勢能便是已知量.

接著研究初始平動動能與彈性勢能關(guān)系.將彈性環(huán)兩端用細繩束縛壓縮，而后將細繩與彈性環(huán)的接觸部分點燃（見圖4），以消除細繩摩擦的影響.彈性環(huán)躍起后，用高速攝像機采集數(shù)據(jù)后分析得到彈性環(huán)的初速度.

圖4 點燃彈性環(huán)

實驗中測量彈性環(huán)形變量δ后利用式（2）計算得到Eb；以圓環(huán)彈起瞬間最高點速度的一半為vc（0），利用公式（3）計算得到初始平動動能Et，0.Eb與Et，0二者之間關(guān)系如圖5.

圖5 初始動能與彈性勢能的關(guān)系

Et，0≈0.4987Eb，進而計算得到振動動能Ev，0＝5／8Et，0＝0.3117Eb，起跳過程中的能量損失Es＝0.1896Eb，約為19%.

由初始動能與彈性勢能的關(guān)系以及公式（3）也可以得到

這樣，有了初始平動動能占彈性勢能的比例，就可以計算忽略空氣阻力時的彈起高度.由于初始動能全部轉(zhuǎn)化為重力勢能，則有理論彈起高度h滿足

其中hc＝Y(jié)／ρg.

3 考慮空氣阻力的彈起高度

由于初始動能與彈性勢能的轉(zhuǎn)換只存在于彈性環(huán)與底面接觸時，并且這個階段非常短暫，因此可以忽略該階段空氣阻力的影響.

在空氣阻力表達式F＝CDρaRwv2c中，ρa代表空氣密度，可以通過查表得知；CD代表空氣阻力系數(shù)，需要通過實驗測定.

我們采用測量彈性環(huán)處于豎直狀態(tài)時的下落時間獲得CD的值（水平下落時迎風(fēng)面積太小，近似自由落體）.彈性環(huán)在下落過程中滿足

對式（9）兩端積分兩次得

其中，hD＝2πρτρaCD；p＝－14／（m12·s－1），q＝

實驗中求得一系列｛H（t），t｝，代入式（10）解出CD后，求均值得到CD≈2.088.

有了空氣阻力系數(shù)，下面計算考慮空氣阻力時的彈起高度.彈性環(huán)上升過程滿足

對式（11）兩端積分兩次得

其最大值為

其中，v0＝vc（0）；hD＝2πρτ／ρaCD.

為作圖方便起見，記式（13）為

其中φ＝（hc／hD）（τ2δ2／R4）.

圖6 理論值與實驗觀測值對照

理論計算結(jié)果與實驗觀測得到的彈起高度如圖6所示.可以看出，忽略空氣阻力僅在彈起高度較小時適用，而考慮空氣后理論值與實際較為吻合.

4 結(jié)語

我們發(fā)現(xiàn)彈性環(huán)彈起時初始動能與彈性勢能有著很好的線性關(guān)系，為計算不考慮空氣阻力的理論高度打下了基礎(chǔ).而后通過實驗發(fā)現(xiàn)在彈起高度較小時，空氣阻力可近似忽略，而在高度逐漸增加后，忽略空氣阻力的理論高度不再適用.于是考慮空氣阻力后我們給出了考慮空氣阻力后的理論高度，與實際結(jié)果吻合較好.本文對于彈性環(huán)這種簡單彈跳模型的研究結(jié)果可以為彈跳機器人的能量轉(zhuǎn)換效率及控制彈跳高度提供一個理論基礎(chǔ).另外，對于柔軟的接觸底面，能量的損失會大于18.96%，對應(yīng)于實際中的比如土壤地面上的彈跳，這也有待于進一步探究.

［1］ 李保江，朱劍英.彈跳式機器人研究綜述［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2005，（24）：803－807.

［2］ 楊小傳，胡海拉，王培聰，等.彈跳機器人彈跳機理［C］／／福建省科協(xié)第五屆學(xué)術(shù)年會數(shù)字化制造及其他先進制造技術(shù)專題學(xué)術(shù)年會論文集，2005.

［3］ Yang Eunjin，Kim Ho－Young.Jumping hoops［J］.American Association of Physics Teachers，2012（80）：19－23.