魏振博 王占山

（同濟大學精密光學工程技術(shù)研究所，同濟大學物理科學與工程學院，上海 200092）

光在介質(zhì)中的傳播規(guī)律遵循費馬原理，如：在均勻介質(zhì)中，光沿直線傳播，這是人們普遍接受的觀點.在非均勻介質(zhì)中，光的傳播軌跡比較復雜，與非均勻介質(zhì)的狀態(tài)有密切關(guān)系.在光學教學過程中，主要是講授光在均勻介質(zhì)中的傳播.只在很少的國內(nèi)外教科書中，有關(guān)于光在非均勻介質(zhì)中傳播的介紹，主要是海市蜃樓和沙漠幻影［1－3］.

在夏季，白天海水溫度較低，特別是有冷水流經(jīng)過的海面，水溫更低，靠近海面的空氣受海水溫度的影響，溫度較低.隨著海面向上距離的增加，空氣的溫度受海水溫度的影響減小，因此，將出現(xiàn)下冷上暖的反?，F(xiàn)象（正常情況是下暖上涼，平均每升高100m，氣溫降低0.6℃ 左右）.靠近海面的空氣因氣壓高，密度大，再加上溫度低，密度變大.在這種情況下，隨著距離海面高度的增加，空氣的密度逐漸減小，導致空氣的折射率逐漸減小.在這種折射率逐漸變小的空氣中，光線在傳播的過程中發(fā)生彎折，形成海市蜃樓現(xiàn)象.在夏天的沙漠里，沙子的比熱容比較小，很快就能被太陽曬得很熱，接近沙層空氣的溫度也就升高很快.空氣傳熱差，在無風時，空氣上下層間的熱量交換極小.因此，隨著離開沙子表面距離的增加，空氣的溫度逐漸減小，導致靠近沙層表面的空氣密度比上層空氣密度小，也就是靠近沙層表面空氣的折射率小于上層空氣的折射率.由于沙漠中空氣折射率的變化，產(chǎn)生了沙漠幻影現(xiàn)象.同理，這種情況也可出現(xiàn)在夏天的馬路上.

光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播的規(guī)律是非常容易看到的，也是在實驗上容易演示的.光在非均勻介質(zhì)中傳播的海市蜃樓和沙漠幻影現(xiàn)象不是經(jīng)常能夠看到的，實驗上的演示也不是十分容易.要在實驗上演示光在非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律，首先需要產(chǎn)生一個折射率不斷變化的區(qū)域，且在這個區(qū)域內(nèi)光要有一定的散射，這樣才能明顯地觀察到光的傳播規(guī)律.本文選擇糖漿往清水中擴散部分作為折射率漸變區(qū)域，采用激光筆發(fā)出的532nm激光作為光源，通過激光在糖漿與清水擴散區(qū)域的傳播，演示了光在非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律，證實了光在非均勻介質(zhì)中傳播不是直線.進一步根據(jù)演示現(xiàn)象推導了溶液中折射率的相對變化.

1 實驗現(xiàn)象

實驗器材包括：照相機、有機玻璃容器（140mm×50mm×210mm）、白糖、帶有膠皮管的漏斗、燒杯、量筒、532nm的激光筆、支架.

將清水倒入有機玻璃容器中，水面距底部40mm左右，然后用帶有膠皮管的漏斗將糖漿注入清水的底部，使糖漿擴散形成濃度漸變區(qū)域.用支架將波長532nm的激光筆固定好，使激光筆發(fā)出的激光以一定角度射入糖漿與清水間形成的濃度漸變區(qū)域.用照相機從正面拍攝光線的傳播路徑.

糖漿的濃度和實驗室的溫度決定糖漿向清水中擴散的速度，也就是決定了擴散區(qū)域內(nèi)溶液折射率的變化情況.為了得到最佳的觀察效果，需要優(yōu)化糖漿的濃度和實驗室的溫度.在實驗中，我們發(fā)現(xiàn)溫度對糖漿擴散的影響不大，濃度對糖漿向清水中的擴散影響甚大，如在糖漿濃度過大時甚至看不到光線的彎折.通過大量的實驗，光線偏折比較明顯的糖漿中的水和糖的質(zhì)量比為2∶3.圖1示出了光線在非均勻溶液中的傳播狀態(tài).

圖1 實驗得到的光在非均勻介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象

糖漿和清水間的擴散應與時間有關(guān)，這將導致光在上述非均勻介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象也隨時間變化.為了觀察這種變化，我們在距離容器2m遠處放一個觀察屏（一張白紙即可），經(jīng)過非均勻傳播的光在觀察屏上形成一個光點.只要觀察該光點的位置隨時間的變化，就可以了解光在非均勻溶液中傳播狀態(tài)隨時間的變化情況.通過實驗發(fā)現(xiàn)在30分鐘內(nèi)，所觀察的光點位置的變化不明顯，表明非均勻區(qū)域內(nèi)折射率隨時間變化不明顯.在距離容器2m遠處觀察，是因為距離越遠觀察的現(xiàn)象越顯著.

為了進一步演示光在非均勻介質(zhì)中的傳播，我們在裝有糖漿與清水的容器的一側(cè)放上一個限制光闌，在另一側(cè)放上一個寫有數(shù)字的卡片.當沒有放入帶有非均勻介質(zhì)的容器時，通過光闌，能看到的數(shù)字是12（見圖2（a））.當保持演示裝置的位置不變，只是在觀察光闌與數(shù)字卡片間加入我們制作的折射率變化的液體，這時通過光闌看到的數(shù)字不是12，而是12下面的數(shù)字13（見圖2（b））.這一實驗證實了光在非均勻介質(zhì)中傳播時發(fā)生了彎曲.

2 光在非均勻介質(zhì)中傳播規(guī)律的分析

光在非均勻介質(zhì)中傳播的實驗現(xiàn)象觀察是定性的，為了能夠獲得光傳播規(guī)律的定量信息，首先需要獲得光傳播路徑函數(shù)，然后根據(jù)路徑函數(shù)確定非均勻介質(zhì)中折射率的相對變化.

2.1 光線傳播路徑的函數(shù)表達式

為了確定光線傳播路徑，我們在演示裝置上增加了兩個鋼板尺，通過鋼板尺，可以確定出光線傳播路徑實驗曲線，如圖3所示.采用二次函數(shù)擬合了實測曲線，得到的擬合曲線方程為

式中，y是光線徑跡在高度方向的值，x是沿著光傳播方向上光線的位置值.由此式可知，光在糖漿與清水擴散區(qū)域內(nèi)的傳播軌跡是拋物線.

圖3 光線在非均勻介質(zhì)中的傳播徑跡

2.2 非均勻介質(zhì)折射率的確定［4］

為了確定非均勻介質(zhì)折射率分布，假定其折射率在y方向上是漸變的，在x方向上是不變的.將非均勻介質(zhì)在y方向上分割成許多薄片，每片的折射率是ni，由折射定律有

對于非均勻介質(zhì)內(nèi)的任意位置，應有

光線徑跡上（x，y）處的一段曲線元，其弧長ds的大小可表示為

由折射定律有

將式（5）代入式（4）得到

將光線徑跡方程（1）代入上式，得到

按式（9）作圖，如圖4所示，其是非均勻介質(zhì)折射率相對變化，只要知道n0sinθ0就可以知道所研究的介質(zhì)的折射率隨位置的變化.由圖4可知，所研究的非均勻介質(zhì)的折射率變化只有1%左右.

圖4 非均勻介質(zhì)折射率隨位置的變化

3 結(jié)語

本文采用糖漿與清水交界區(qū)域?qū)崿F(xiàn)了光在非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律的演示，結(jié)果表明：溫度對傳播規(guī)律的影響不大，但糖漿中水和糖的質(zhì)量比是觀察到明顯光學偏折現(xiàn)象的重要因素.實驗獲得了光線在非均勻介質(zhì)中光線徑跡，擬合得出光線在我們制備的非均勻介質(zhì)傳播徑跡是拋物線.由徑跡曲線，得出了非均勻介質(zhì)折射率的變化規(guī)律.

本文介紹的演示實驗裝置簡單，現(xiàn)象直觀，內(nèi)容豐富，大大激發(fā)了學生學習光學的興趣，拓展了學生對光學學習的思路，加深了學生對統(tǒng)領(lǐng)光線傳播規(guī)律的費馬原理的認識.

［1］ 鐘錫華.現(xiàn)代光學基礎［M］.北京：北京大學出版社，2003：17－20.

［2］ 費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義 第一卷［M］.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等，譯.上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2005：263－264.

［3］ Ajoy Ghatak，Optics［M］.4thed，北京：清華大學出版社，2010.

［4］ 趙建林.高等光學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012：70－72.