陸曉林

在唐彩斌和張影合著的《零距離英國教育》一書中提出了這樣的觀點，“英國的天氣最適合英國”，“中國的經(jīng)驗也最適合中國”，“新鮮并不意味著先進，人家常用也不意味著對我們有用，某些方面的延后絕不意味著落后，某些方面的不習(xí)慣并不是一種錯誤”。當(dāng)筆者成為江蘇省首批赴英國研修學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，得以零距離觀察英國中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂時，這種體會才愈加深刻。走出國門對比中外數(shù)學(xué)教育，根本目的在于反觀、檢視自己的不足，在借鑒中前行和發(fā)展，揚長避短、正本清源，這應(yīng)該是我們的基本態(tài)度。

相同的運算，不同的智慧

計算教學(xué)是小學(xué)階段的主要教學(xué)內(nèi)容，20以內(nèi)的整數(shù)加減法則是學(xué)生掌握進位加和退位減方法的關(guān)鍵起步。在曼城，我有機會觀摩了一節(jié)20以內(nèi)的退位減的隨堂課，感受頗深。

在計算“13-8”時，英國老師用學(xué)具擺出13和8，一一對應(yīng)（如圖1）；之后讓孩子們討論并操作，先在8后加上2使之成為10（如圖2），然后再對應(yīng)上面13繼續(xù)擺出3，用2加3得5，算出13-8的結(jié)果（如圖3）。接著孩子們繼續(xù)借助學(xué)具用一一對應(yīng)的方法練習(xí)了幾道題，最后交流了自己計算的心得：先想減數(shù)加幾湊成10，再用幾加上被減數(shù)的個位數(shù)。課后與任教老師交流，得知英國教材版本有上百種，教師按照國家課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，參照一些主流教材自主安排教學(xué)內(nèi)容。據(jù)介紹，英國“退位減”的教材編寫和教師教學(xué)基本上都是“用加算減”。

我們的退位減是怎樣教學(xué)的呢？以蘇教版教材為例（如圖4），13-9主要有這樣幾種計算方法：一是從13里一個一個地減；二是“破十法”，先用10-9，再算1+3；三是將13-9轉(zhuǎn)化為連減13-3-6；四是直接“想加算減”。教學(xué)中，往往是先由學(xué)生分別列舉出幾種方法，然后引導(dǎo)比較，優(yōu)化算法（實則是優(yōu)選出教材與老師先驗認(rèn)定的最佳普適方法）。通過強化練習(xí)，一段時間后學(xué)生們幾乎都用“想加算減”的方法了。

表面看，中英兩種方法沒有什么大的不同，都是利用加減互逆關(guān)系進行減法計算，但運用方法的本質(zhì)是不同的。他們用一一對應(yīng)的方法，使兩個數(shù)（量）的“差”顯現(xiàn)在不對應(yīng)之處，在實現(xiàn)完全一一對應(yīng)的過程中，也就是由不相等到相等的變化過程中得出了“差”，突出了“減數(shù)+差=被減數(shù)”即“左邊=右邊”這樣的相等關(guān)系，強化了“=”的本質(zhì)：符號兩邊的數(shù)（量）相等，這對學(xué)生將來理解方程的意義是極其重要的。

我們的方法是從總數(shù)中取出（去除）一部分（事實上，一次性取出一部分都可以回歸為一個一個地連續(xù)取，看剩余的部分，即把總數(shù)分成兩部分：已知的部分和剩余的部分。直觀上是“數(shù)的分成”，最終是用“算術(shù)公理體系”的“后繼關(guān)系”來解釋自然數(shù)加法及其逆運算的。簡言之，一種是基于對應(yīng)的思想，強調(diào)的是“數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系”，一種是基于自然數(shù)定義的思想，彰顯的是“數(shù)學(xué)知識的發(fā)生”，相同的減法，不同的智慧。

“用加算減”看似有點傻瓜式、不夠快捷，“想加算減”主要是通過熟練記憶數(shù)的大小關(guān)系、數(shù)的分成來篩選和提取計算結(jié)果，顯得快捷有效。但相對而言，基于定義自然數(shù)的方法解釋運算是抽象的，也沒能說清楚“相等”的意義到底是什么。所以當(dāng)我們的學(xué)生開始學(xué)習(xí)方程時，由“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)換為“代數(shù)思維”會有一個艱難的過程。

繁復(fù)的過程，直白的聯(lián)系

在英國，沒有公開課、研討課等形式的教研活動。曼城城市大學(xué)應(yīng)我們的要求專門邀請了兩位英國老師帶著自己的學(xué)生現(xiàn)場上了兩節(jié)課，搞了一場“中國式”的教研活動。其中一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是“一位數(shù)除兩位數(shù)”。

這節(jié)課，我們感興趣的是英國老師對除法計算方法的教學(xué)。因為沒有類似“九九乘法口訣表”這樣的知識與技能背景，英國的除法計算直接回歸本原——連減法（如圖5）。在計算87÷3時，教師借助于學(xué)具操作來演示說明具體的算法：先從87中減10個3，再減10個3，最后減9個3，一共可以連減29個3。具體計算時，每一次減幾個除數(shù)可以不同，計算步驟可多可少，只要減到余數(shù)為0便可（不能整除的減到余數(shù)小于除數(shù)為止）。

雖然計算的過程和豎式的書寫顯得有些瑣碎，但從自然數(shù)中“包含”的意義看，除法是“連續(xù)減去相同數(shù)的減法”，凸顯了除法與減法的“血肉”聯(lián)系。這樣計算的過程不受“余數(shù)要比除數(shù)小”的限制，計算除數(shù)是多位數(shù)的除法時，無需反復(fù)“試商”與“調(diào)商”。繁復(fù)的豎式，卻直白地說明了兩種運算之間的本質(zhì)聯(lián)系，巧妙規(guī)避了我們在教學(xué)中一定會遇到的難題。

這樣計算87÷3，如果從“等分”的意義上去理解，每份先分10個，再分10個，最后分9個，即一個一個地數(shù)、順次輪流分3份，一輪分掉3個、可以連續(xù)分29輪?！暗确帧迸c“包含”本質(zhì)上是統(tǒng)一的，即3行29列與29行3列的問題。

我們的除法教學(xué)沒有立足于除法與減法的聯(lián)系。仍以蘇教版教材為例，二年級上冊教材先從“等分”、“包含”兩層意義上教學(xué)除法的初步認(rèn)識，然后用逆運算的關(guān)系借助乘法口訣求商，教材中雖然沒有給出明確的除法定義，但沿襲了從運算的互逆關(guān)系來定義除法的傳統(tǒng)，除法是“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)運算”。在解決問題、進行除法計算時，乘法口訣始終是不離不棄的拐杖。我們的除法豎式簡潔明了且高度統(tǒng)一，同樣也能解讀出“除法即連減”這樣的關(guān)系，但學(xué)生甚至教師幾乎不會在豎式計算的過程中感悟到除法與相同減數(shù)減法的內(nèi)在一致性。

在計算中，中國式的口訣朗朗上口，漢語言文字的優(yōu)勢非常明顯。用口訣計算，濃縮甚至是消除了“過程”，但濃縮并非都是精華，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精華就是要讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的“過程”。筆者認(rèn)為，中英數(shù)學(xué)教學(xué)如同中西方飲食一般，西方人多吃“生”，消化難一些、慢一些，但營養(yǎng)損失得少；中國人多吃“熟”，消化、吸收得快，營養(yǎng)打了折扣。我們現(xiàn)在也強調(diào)“過程”，但還是更多地習(xí)慣于引導(dǎo)學(xué)生對“過程”進行歸納、總結(jié)，形成約定的“套路”，最后都直接用“規(guī)律”辦事。這樣的“過程”沒有完全成為學(xué)生自己的“過程”，這或許是我們的學(xué)生能考試、能解題，但少有奇思妙想的原因。因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更多地讓學(xué)生“吃生食”、“吃粗糧”，這樣才有利于學(xué)生形成自己的、能夠健康生長的數(shù)學(xué)。

“慢”課堂、“慢”數(shù)學(xué)里的成長力

在觀摩“一位數(shù)除兩位數(shù)”教學(xué)時，我特別留心學(xué)生“知識技能”、“數(shù)學(xué)思考”等目標(biāo)的達成情況。僅就“知識技能”而言，用中國課堂的眼光和標(biāo)準(zhǔn)去評判，這節(jié)課絕對不是一節(jié)優(yōu)質(zhì)課，甚至連一節(jié)成功的課都算不上。課堂練習(xí)時，全班只有不到30%的學(xué)生初步掌握了用豎式直接計算“一位數(shù)除兩位數(shù)”，大部分孩子主要還是依靠分學(xué)具、畫圖、扳手指等方式獲得計算的結(jié)果，教師沒有刻意去優(yōu)化和統(tǒng)一計算的方法。

觀摩課結(jié)束后，我們與執(zhí)教者以及她的助教進行了交流，分享了她們的數(shù)學(xué)教育理念。她們認(rèn)為，在第一關(guān)鍵階段（小學(xué)）要讓數(shù)學(xué)成為孩子心中好玩的“智力游戲”，而不是一門考試課程。教師應(yīng)努力讓數(shù)學(xué)課程適應(yīng)兒童，而不是改變兒童，讓兒童適應(yīng)課程。她們說，最成功的課堂是讓學(xué)生收獲對數(shù)學(xué)的喜愛，獲取知識、掌握技能不應(yīng)成為孩子的負(fù)擔(dān)，最佳的方法就是兒童自己能理解、能運用的方法。對于“掌握豎式算法人數(shù)少”，執(zhí)教者告訴我們，教育——尤其是數(shù)學(xué)教育，要有“三分教七分等”的心態(tài)，要相信孩子是天生的數(shù)學(xué)家，只不過有些孩子在數(shù)學(xué)能力方面屬于“慢熟型”的，需要慢慢等待，卓越的課堂關(guān)注長期的教學(xué)效果。在他們看來，統(tǒng)一的目標(biāo)要求不是真正的教育，而是對一部分孩子自信的扼殺，收獲自信是孩子最美的成長。因此，兒童的學(xué)習(xí)既不能“拔苗助長”，也不能過度“施肥澆水”，課堂必須充分考慮學(xué)生的反饋，“慢”課堂、“慢”數(shù)學(xué)才是最具成長力的數(shù)學(xué)教育。

與英國老師交流，他們總喜歡把蘇格拉底的話掛在嘴邊：教育不是灌輸，而是點燃火焰。在研修期間，我們隨機走進了多節(jié)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，發(fā)現(xiàn)確如她們所言，數(shù)學(xué)課堂總是其樂融融。老師講解、示范得少，學(xué)生交流、探究得多，游戲、生活與數(shù)學(xué)結(jié)合緊密，數(shù)學(xué)不是“遠”且“玄”的深奧知識，而是十分有趣、有益、隨手可得的學(xué)問。英國的課堂上一般有兩名教師，一“主”一“助”，助教在課堂上更多的是“助兩頭”，主教則更多的是“教中間”。到了中學(xué)，甚至有些小學(xué)高年級就開始實施走班制和分層教學(xué)，尊重差異、適應(yīng)差異，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展與提高。

比知識更重要的是兒童的創(chuàng)造

在與英國教師的交流中，筆者了解到英國也十分重視考試，這與我們先前的認(rèn)識迥然不同。英國教育大臣邁克爾·戈夫很看重中國重視基礎(chǔ)知識的教育優(yōu)勢，強調(diào)傳承寶貴的知識是國家課程的核心，他批評“知識就在谷歌上”的觀點，呼吁英國要向中國學(xué)習(xí)。英國有類似于中國中考、高考的國家考試GCSE（即普通中等教育證書）、A-level（即中學(xué)高級水平考試），還有SATS（即標(biāo)準(zhǔn)成績考試），并依據(jù)考試成績在媒體上公布學(xué)校的排名。他們與我們的區(qū)別在于評價理念和方法。比如不搞一考定終身，可以申請重考刷分；實施等級制；對考試有選擇權(quán)，同樣的課程、同樣的年級可以考不同級別的試卷；選修類課程可以揚長避短等。

更可貴的是，英國教育雖然重視知識，但他們認(rèn)為兒童的創(chuàng)造性比知識更重要。在學(xué)習(xí)交流期間，我們和英國的老師把一份江蘇小學(xué)畢業(yè)會考試卷與一份英國中學(xué)七年級招生考試試卷進行了全面的比較分析，力圖通過評價取向的對比來發(fā)現(xiàn)中英數(shù)學(xué)教育理念上的差別。

其一，我們的試卷中填空、判斷、選擇、計算、畫圖、解決問題等各類題型一一排列，刻板、沒有兒童氣息。英國的試卷如同一本故事書，有人物、有情節(jié)，環(huán)環(huán)相扣、引人入勝，孩子完成一份數(shù)學(xué)試卷就是一次情境化的“微生活”歷練。

其二，我們的試卷中知識考查的成分多，計算技能要求高，題型有“套路”，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性小。英國的試卷中考查直接應(yīng)用定義、概念、公式等現(xiàn)成知識的內(nèi)容少，用計算器計算，自定義、自操作、自規(guī)則的內(nèi)容多，問題的現(xiàn)實性很強。

其三，我們的試卷中幾乎每題都有標(biāo)準(zhǔn)答案，評價時看重解題的規(guī)范、完整與嚴(yán)密。即便所謂的開放題，結(jié)論的可能性也有限，更多的是關(guān)注知識的掌握和技能的形成。英國試卷中有固定答案的試題比例不到40%，很多題目都需要學(xué)生自己探究，通過舉證或論證發(fā)現(xiàn)結(jié)論。試卷沒有所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，更重視個性化的數(shù)學(xué)表達、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。他們強調(diào)兒童自己的見識比書本知識更可貴、更難得，更多地關(guān)注思維力和創(chuàng)造力的發(fā)展。

用英國老師的話說，真理不重要，重要的是自圓其說。在他們看來，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個漫長而又愉快的探險歷程，探險的主角永遠是兒童，一次有價值的測評就是孩子探險歷程中一次成功的闖關(guān)，要不斷地給他們自己發(fā)現(xiàn)、自己創(chuàng)造和遇挫反思的機會。