張金環(huán)，安海霞，王永春

(1.天津職業(yè)大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，天津300410;2.長春市熱力集團，吉林 長春130022)

0 引 言

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化就是應(yīng)用數(shù)學(xué)優(yōu)化的方法，科學(xué)、合理地對電力系統(tǒng)無功進行調(diào)配以滿足電力系統(tǒng)運行的各項安全、經(jīng)濟指標(biāo)。對電力系統(tǒng)進行無功優(yōu)化是提高電壓質(zhì)量、降低網(wǎng)損的有效手段。調(diào)節(jié)發(fā)電機和調(diào)相機的無功出力、控制已裝設(shè)的并聯(lián)電容器和電抗器的投切組數(shù)、調(diào)節(jié)有載調(diào)壓變壓器的分接頭檔位等措施可以在已有的負荷水平下，優(yōu)化調(diào)節(jié)電力系統(tǒng)無功資源，從而盡可能在保證電力系統(tǒng)運行電壓質(zhì)量的條件下，達到運行網(wǎng)損最小的目標(biāo)。尤其是近年來引入的電力經(jīng)濟市場機制，使得電力公司的經(jīng)濟效益問題日益凸顯，這就對電網(wǎng)運行的穩(wěn)定性和可靠性、用戶側(cè)的電能質(zhì)量和預(yù)防電網(wǎng)事故發(fā)生和擴大等提出嚴(yán)格要求，而這些措施都以電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化為前提，無功優(yōu)化使得電力系統(tǒng)的運行更加安全、穩(wěn)定和經(jīng)濟［1～3］。

常用的無功優(yōu)化求解算法主要有兩大分類，分別是常規(guī)的優(yōu)化算法和具有現(xiàn)代啟發(fā)式的優(yōu)化算法。常規(guī)的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法(如內(nèi)點法［4］、梯度法［5］、線性規(guī)劃［6］和二次規(guī)劃［7］等)存在對初值要求高、要求目標(biāo)可微、容易產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)和求解時間長等不足［8］。具有現(xiàn)代啟發(fā)式的優(yōu)化算法(如遺傳算法［9，10］、免疫算法［11，12］和粒子群算法［13，14］)雖然可移植性好、原理簡單、搜索能力強，但仍容易出現(xiàn)陷入局部收斂和早熟現(xiàn)象等。文獻［15］中引入一種自適應(yīng)的遺傳優(yōu)化算法，結(jié)合基于實數(shù)進行編碼的混合優(yōu)化算法來處理離散－連續(xù)的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題;文獻［16］提出一種求解控制策略，把內(nèi)點法和遺傳算法進行交替使用，求解離散子優(yōu)化問題和連續(xù)子優(yōu)化問題，該方法的優(yōu)點是能夠提高計算效率;文獻［17］引入一種預(yù)先設(shè)定個體間距離和可調(diào)適應(yīng)度的進化小生境，但該方法是建立在先驗知識的基礎(chǔ)上，導(dǎo)致其利用效率不高;文獻［18］采用帝國競爭算法(imperialistic competition algorithm，ICA)對電力系統(tǒng)供需側(cè)聯(lián)合隨機調(diào)度模型進行求解，但該算法需要依賴先驗知識，收斂速度較慢，搜索能力較弱。

本文提出一種改進小生境帝國競爭算法(improved niche imperialistic competition algorithm，INICA)，在該算法的迭代過程中，小生境內(nèi)的國家通過動態(tài)聚類方法結(jié)成聯(lián)盟，以實現(xiàn)聯(lián)盟內(nèi)部競爭度共享，而不再依賴單個國家的先驗知識;引入最優(yōu)個體相鄰搜索和區(qū)域小生境國家聯(lián)盟共享機制等提高算法收斂速度和計算速度;構(gòu)建了多目標(biāo)電力系統(tǒng)無功優(yōu)化模型，通過改進小生境帝國競爭算法對模型進行求解。仿真算例中與現(xiàn)有求解算法相比，所提方法能夠有效地避免普遍存在的全局收斂問題，從而對算法的搜素效率有所提高，以期對無功優(yōu)化問題提出一種新的解決思路。

1 多目標(biāo)無功優(yōu)化模型

多變量多約束的非線性問題在解決電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題中是不可避免的。在電力系統(tǒng)有功負荷、電源及系統(tǒng)網(wǎng)架條件給定的情況下，以容性或感性的無功補償容量、變壓器變比和發(fā)電機的機端電壓作為控制變量，狀態(tài)變量則選取PQ 節(jié)點電壓幅值和發(fā)電機的無功出力，在滿足電力系統(tǒng)無功負荷需求的情況下，綜合考慮全網(wǎng)網(wǎng)損和狀態(tài)變量的越限情況，分別選用電壓安全穩(wěn)定裕度指標(biāo)最高，有功網(wǎng)損指標(biāo)最低和電壓偏移量指標(biāo)最小為主要的技術(shù)性指標(biāo)。建立無功優(yōu)化的多目標(biāo)函數(shù)如式(1):

式中:f1表示系統(tǒng)網(wǎng)損;f2表示電壓偏差;f3表示電壓穩(wěn)定裕度;NL表示負荷節(jié)點數(shù);λmin表示系統(tǒng)電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo);gk表示支路k 的電導(dǎo);δi，δj分別表示對應(yīng)節(jié)點的電壓相角;Vi，Vj為支路k 兩端節(jié)點電壓;Uimax，Uimin和Qgimax，Qgimin分別為對應(yīng)變量的上下限;Qgi，Ui分別為發(fā)電機無功功率和負荷節(jié)點電壓。

電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo)由文獻［19］給定，該指標(biāo)由潮流方程即負荷節(jié)點的功率特性和網(wǎng)絡(luò)特性決定，反映了節(jié)點電壓波動的相對大小，反映所研究節(jié)點的無功儲備能力，本文取所有節(jié)點中的最大值作為指標(biāo)，單個節(jié)點的表達式為

式中:V0和Vcr分別為負荷節(jié)點在當(dāng)前狀態(tài)和臨界狀態(tài)下的電壓;λV為單個節(jié)點的電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo)。

等式約束條件和不等式約束條件共同組成電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的兩個約束條件。大量文獻資料中常用的等式約束條件為

式中:N 為系統(tǒng)節(jié)點數(shù);θij，Gij和Bij分別為節(jié)點i，j 之間的電壓相角差、電納和電導(dǎo);Qci為無功補償功率;Qli，Pli分別為負荷的無功功率和有功;Pgi為發(fā)電機的有功功率。

常用的不等式約束為

式中:Nd，Nk，NC和Ng分別為負荷節(jié)點數(shù)、有載變壓器數(shù)、無功補償裝置數(shù)和系統(tǒng)發(fā)電機節(jié)點數(shù);Ugimin，Ugimax，QCimin，QCimax和Kimin，Kimax分別為對應(yīng)量的上下限;Qgi，Ui分別表示兩個狀態(tài)變量，即發(fā)電機無功功率和負荷節(jié)點電壓;Ki，QCi和Ugi分別表示3 個控制變量，即給定的有載變壓器特定變比、電力無功補償裝置的實際配置容量以及并網(wǎng)發(fā)電機的機端電壓。

2 改進小生境帝國競爭算法

2.1 小生境帝國競爭算法

與其他進化算法具有一定的相似性，小生境帝國競爭算法定義的初始種群個體被稱為國家，國家又被分為帝國和殖民地兩類，它們的權(quán)利大小不同。迭代過程中，首先形成一系列的小生境國家聯(lián)盟，使用小生境形成技術(shù)得到不同國家的競爭程度;其次建立國家共享機制，調(diào)整每個國家聯(lián)盟中不同國家的競爭力;最終形成聯(lián)盟內(nèi)部和聯(lián)盟與聯(lián)盟之間的競爭環(huán)境。

該算法是一種全局性優(yōu)化的進化算法，借鑒了人類政治社會殖民階段國家之間競爭并最終占領(lǐng)殖民地的過程。

第1 階段:帝國形成。國家由h 維決策變量組成country = ［x1，x2，…，xh］，國家的函數(shù)值用fcountry表示，第n 個國家的標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)利定義為

式中:i 表示第i 個國家。

第2 階段:吸收殖民地。假設(shè)每塊殖民地移動的距離l 服從均勻分布l ～U(0，δ×lD)，帝國周圍的殖民地逐漸向帝國靠近。其中，δ ＞1，lD為殖民地與帝國之間的距離;帝國與殖民地移動方向之間的連線偏移夾角為θ，服從分布θ ～U(- ψ，ψ)，其中，ψ 為偏移夾角調(diào)整系數(shù)。

第3 階段:帝國競爭。帝國的總權(quán)利值定義為

第4 階段:帝國消亡。經(jīng)過帝國之間的相互競爭之后，權(quán)利較小的帝國所擁有的殖民地會被權(quán)利比其強大的帝國侵占，當(dāng)殖民地全部被占領(lǐng)后則該帝國就會自動滅亡，在算法中消除其位置。當(dāng)各個帝國之間的競爭結(jié)束時，有且僅有一個帝國建國，且其余所有殖民地均被該帝國侵占，此時算法迭代停止并得到最優(yōu)解;否則，返回2)。

2.2 國家聯(lián)盟的動態(tài)聚類與競爭度共享技術(shù)

為了實現(xiàn)國家聯(lián)盟的形成，采用模糊動態(tài)聚類方法實現(xiàn)。將1 個包括M 個n 維個體的國家聯(lián)盟記為Xi= ［xi1，xi2，…，xin］(i = 1，2，…，M)。模糊動態(tài)聚類形成國家聯(lián)盟遵循以下步驟:

(1)歸一化處理各個國家個體不同量綱的變化范圍;

(2)采用最值法確定關(guān)系矩陣，基于個體Xi和個體Xj的模糊相似關(guān)系，進而得到相似系數(shù)Rij，其表達式如式(8):

(3)動態(tài)聚類國家群體，對相似度系數(shù)λ(0 ＜λ ≤1)進行調(diào)整。相似度系數(shù)由式(8)確定:

此步驟遵循以下過程:

從i = 1 時開始動態(tài)聚類分析國家聯(lián)盟中的第1 個國家;當(dāng)λ ≤Rij(j = i +1，i +2，…，M)時，Xi與Xj被認(rèn)為是同一類型的國家個體;依次選取i = i +1，當(dāng)已經(jīng)對Xi進行了歸類后，則將迭代計算轉(zhuǎn)至下一步，當(dāng)沒有歸類Xi后，則所做的聚類分析需要按照上上一步中的方法;重復(fù)上一步，直到聚類分析完最后一個國家個體。最終動態(tài)調(diào)整每次迭代中的相似度，從而聚類劃分成若干國家聯(lián)盟。

通過反映個體間相似程度的共享度來調(diào)整群體中個體的競爭度，該技術(shù)可以很好的維護群體的多樣性。群體個體之間的密切程度用共享函數(shù)表示，它們之間的關(guān)系屬于正向型。共享度Si表示國家個體與國家聯(lián)盟內(nèi)其他各個體之間共享函數(shù)的和。)

式中:S(dij)表示共享函數(shù)。

在得到群體中各個體的共享度后，還需要調(diào)整各個體的競爭度。

式中:f(Xi)為個體Xi共享前的競爭度函數(shù);f′(Xi)為個體Xi共享后的使用度函數(shù)。

聯(lián)盟中的相似國家個體通過以上技術(shù)就可以很大程度上提高自身的競爭力度，從而避免了在迭代計算過程中若干相似個體被重復(fù)選擇的可能性，算法的局部收斂和早熟問題得以解決。

2.3 改進算法的步驟

本文所提改進算法主要結(jié)合了當(dāng)前主流的競爭度共享技術(shù)和聚類分析方法，整個算法的改進計算過程如下:

(1)初始化程序參數(shù)，生產(chǎn)初始隨機國家聯(lián)盟，并計算各國家個體的競爭度。初始群體記為

(2)對群體X 進行帝國形成、吸收殖民地、帝國競爭度運算，在此基礎(chǔ)上，形成新的國家聯(lián)盟X′并計算其國家個體的競爭度。

(3)當(dāng)國家聯(lián)盟中出現(xiàn)競爭力最大的國家時，將其作為超級大國保留至到下一步迭代計算;

(4)競爭度共享運算，調(diào)整各國家個體的競爭度;

(5)判斷終止條件。若滿足終止條件，則計算結(jié)束并輸出計算結(jié)果;若不滿足終止條件，則跳轉(zhuǎn)至步驟(2)，重新迭代計算。

改進小生境帝國競爭算法在無功優(yōu)化問題的求解過程中，按照如圖1 的步驟進行。

圖1 基于INICA 的算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart based on INICA

3 算例分析

為了驗證本文所提算法和無功優(yōu)化方法的有效性，對IEEE－30 和IEEE －57 節(jié)點測試系統(tǒng)進行編程仿真，仿真軟件采用Matlab7.0。

3.1 IEEE-30 節(jié)點系統(tǒng)

測試系統(tǒng)的節(jié)點和支路數(shù)據(jù)及拓撲結(jié)構(gòu)圖詳見文獻［20］。該測試系統(tǒng)中有負荷節(jié)點21 個，發(fā)電機節(jié)點6 個，支路共有4 條。其中，節(jié)點1 設(shè)定為優(yōu)化計算中的平衡節(jié)點，PV 節(jié)點設(shè)定為4，7，14，16 和19 節(jié)點，剩余節(jié)點為平衡節(jié)點［21］。取系統(tǒng)的基準(zhǔn)容量為100 MVA，初始國家數(shù)為150，初始帝國數(shù)為20 個，δ = 1.75，σ = 0.2，ψ = π/2 。網(wǎng)絡(luò)中各變量的選取范圍參見文獻［22］。網(wǎng)絡(luò)初始系統(tǒng)總有功負荷Pl= 2.846 p.u.，無功負荷Ql= 1.273 p.u.;初始有功網(wǎng)損Ploss= 0.048 768 p.u.。

選用遺傳算法(genetic algorithm，GA)、帝國競爭算法(ICA)和本文改進小生境帝國競爭算法(INICA)進行比較，對所提算法進行有效性驗證。優(yōu)化計算50 次，取其收斂結(jié)果最優(yōu)值作為最終的計算結(jié)果，如表1 和表2 所示，各變量單位為標(biāo)幺值單位(p.u.)。

表1 3 種算法的變量優(yōu)化結(jié)果對比Tab.1 Variable optimization results comparison of three kinds of algorithms

由表1 可知，ICA 和INICA 的變量優(yōu)化結(jié)果比較接近，且均比GA 效果好，但INICA 的優(yōu)化效果更為理想。GA 優(yōu)化后系統(tǒng)的網(wǎng)損降低8.01 %，而ICA 優(yōu)化后網(wǎng)損降低為11.57 %，INICA 優(yōu)化后系統(tǒng)的網(wǎng)損降低12.02 %;電壓偏差越接近于0表明電能質(zhì)量越好，由f2的數(shù)據(jù)可知，INICA 的優(yōu)化結(jié)果較其他兩種方法占優(yōu);電壓裕度指標(biāo)越小系統(tǒng)越穩(wěn)定［23］，由f3的數(shù)據(jù)可知，INICA 的優(yōu)化結(jié)果較其他兩種方法也是占優(yōu)的。

表2 3 種算法的優(yōu)化結(jié)果對比Tab.2 Optimization results comparison of three kinds of algorithms

表中:Psum，Qsum為節(jié)點注入功率，Rsave為網(wǎng)損下降率。從表1 中可以看出，采用GA 和ICA 算法得到的系統(tǒng)網(wǎng)損分別為0.044 和0.041，而采用本文INICA 算法的網(wǎng)損下降為0.036;采用GA 和ICA算法得到的網(wǎng)損下降率分別為6.25 %和12.08%，而采用本文INICA 算法的網(wǎng)損下降率為20.26%，優(yōu)化結(jié)果比其他兩種算法更有優(yōu)勢。

為了驗證INICA 算法的性能，選取3 種算法分別對目標(biāo)函數(shù)各優(yōu)化計算80 次，優(yōu)化的結(jié)果如表3所示。其中，平均網(wǎng)損指標(biāo)指的是80 次迭代中所有收斂迭代結(jié)果的平均值，單位為標(biāo)幺值單位(p.u.)。3 種算法系統(tǒng)網(wǎng)損變化曲線如圖2 所示。

表3 3 種算法的性能比較Tab.3 Performance comparison of three kinds of algorithms

圖2 IEEE－30 節(jié)點系統(tǒng)的無功優(yōu)化收斂曲線Fig.2 Reactive power optimization convergence curve of IEEE－30 nodes system

從表3 和圖2 可以看出，3 種優(yōu)化算法最終都能收斂到一個最優(yōu)解。尤其是在15 次之前的迭代過程中，收斂速度都較快，其中INICA 算法收斂速度最快;在隨后的深入尋優(yōu)過程中，GA 算法和ICA 算法的穩(wěn)定迭代次數(shù)分別為80 次和70 次，而本文INICA 算法約在50 次左右就已經(jīng)迭代到了穩(wěn)態(tài)值，說明其具有更快的全局尋優(yōu)能力。從計算耗時上來看，INICA 算法比其他兩種算法分別節(jié)省了約68 s 和33 s，搜索速度最快。因此，相比其他兩種算法，本文算法的全局尋優(yōu)能力和搜索速度都得到了較好驗證。

3.2 IEEE-57 節(jié)點系統(tǒng)

選取經(jīng)典IEEE－57 節(jié)點系統(tǒng)進行仿真，對比仿真 前后各個指標(biāo)的計算結(jié)果，表4 中優(yōu)化后系統(tǒng)網(wǎng)損和電壓越限個數(shù)均有較大幅度的減少。

表4 IEEE-57 節(jié)點系統(tǒng)計算結(jié)果Tab.4 Calculation results of IEEE－57 nodes system

從表4 中可以看出，采用GA 和ICA 算法得到的系統(tǒng)網(wǎng)損分別為1.145 4 和1.081 1，而采用本文INICA 算法的網(wǎng)損下降為1.036 1;采用GA 和ICA 算法得到的網(wǎng)損下降率分別為7.38 % 和14.57 %，而采用本文INICA 算法的網(wǎng)損下降率為22.39 %，優(yōu)化結(jié)果比其他兩種算法更有優(yōu)勢。

圖3 為IEEE－57 節(jié)點系統(tǒng)3 種算法在收斂速度上的比較?？梢钥闯觯唵芜z傳算法進化到150 代左右時陷入了局部最優(yōu)解，而改進小生境帝國競爭算法有效地避免了早熟，最終在100 次迭代后收斂到全局最優(yōu)解。

對兩個測試系統(tǒng)進行20 次獨立計算，結(jié)果如表5 所示?？梢钥闯?，該算法每次基本都可以收斂到最優(yōu)解，系統(tǒng)節(jié)點越多相應(yīng)的迭代次數(shù)也會增多，但最終均能滿足求解的范圍。

圖3 IEEE－57 節(jié)點系統(tǒng)的無功優(yōu)化收斂曲線Fig.3 Reactive power optimization convergence curve in IEEE－57 nodes system

表5 20 次獨立運行的仿真結(jié)果Tab.5 Simulation results of the independent operation within 20 times

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于改進小生境帝國競爭算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化方法。算法首先需要對所有國家進行結(jié)盟，采用動態(tài)聚類分析法進行劃分，進而得到國家個體的競爭度，在此基礎(chǔ)上，采用競爭度共享技術(shù)對聯(lián)盟內(nèi)的國家進行競爭度共享，最終實現(xiàn)提高全局搜索能力的目標(biāo)。選用了兩個經(jīng)典無功優(yōu)化模型進行優(yōu)化仿真計算，驗證了本文所提方法的優(yōu)越性，以期對電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題解決方法提供一定的借鑒價值。

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