劉興軍，劉波濤，韓佳甲，王翠萍

（廈門大學(xué)材料學(xué)院，福建 廈門361005）

楊氏模量是描述固體材料抵抗形變能力的重要物理量，是機(jī)械設(shè)計(jì)和材料性能研究中重要的力學(xué)參量［1］.同時(shí)，楊氏模量也是選定機(jī)械零件材料的重要依據(jù).實(shí)驗(yàn)測(cè)量楊氏模量的主要方法有：機(jī)械拉伸法［2］、動(dòng)態(tài)測(cè)量法［3］和納米壓痕法［4］.因?qū)嶒?yàn)測(cè)量受到儀器條件的限制，高溫時(shí)的金屬楊氏模量的實(shí)驗(yàn)信息匱乏.因此，通過(guò)建立理論模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算材料的楊氏模量是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)理論研究工作.最常用的理論模型是基于密度泛函理論的第一性原理計(jì)算［5］.第一性原理計(jì)算僅需要原子的種類和晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)計(jì)算材料的物理性能［6］，但需要耗費(fèi)大量的計(jì)算資源并且存在較大的誤差.Portevin［7］和 Wachtman等［8］分別提出了計(jì)算楊氏模量的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?然而，Portevin模型無(wú)法計(jì)算材料隨溫度變化的楊氏模量，而Wachtman模型只適用于部分金屬氧化物，該模型無(wú)法計(jì)算二元合金隨成分變化的楊氏模量.在徐志東等［9］提出的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袇?shù)Q的值為25，Q只是通過(guò)少量金屬的常溫實(shí)驗(yàn)信息獲得，不適用于計(jì)算不同溫度時(shí)的楊氏模量.

本研究對(duì)徐志東等提出的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?］進(jìn)行改進(jìn)，用于計(jì)算立方結(jié)構(gòu)的純金屬隨溫度變化的楊氏模量.同時(shí)，借鑒相圖計(jì)算的CALPHAD（calculation of phase diagrams）方法［10－11］，構(gòu)建二元合金楊氏模量計(jì)算的新模型，基于不同溫度、成分時(shí)的二元合金楊氏模量的實(shí)驗(yàn)信息，優(yōu)化模型中的楊氏模量計(jì)算參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)二元合金體系在不同溫度、成分時(shí)楊氏模量的計(jì)算.

1 計(jì)算方法

1.1 立方結(jié)構(gòu)的純金屬

楊氏模量是原子間結(jié)合力的宏觀反映.對(duì)于立方結(jié)構(gòu)的純金屬，通過(guò)對(duì)雙原子模型的推導(dǎo)，可得到如下半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?］：

式中，E是楊氏模量，T為溫度，E0是在初始溫度T0時(shí)的楊氏模量，α為材料在相應(yīng)溫度時(shí)的線膨脹系數(shù).

在式 （1）中，由于參數(shù)Q來(lái)源于少量金屬常溫下的實(shí)驗(yàn)值，有待改進(jìn).本研究基于現(xiàn)有立方金屬的線膨脹系數(shù)和楊氏模量隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)信息，采用非線性最小二乘法擬合，確定模型中參數(shù)Q的值，用于計(jì)算立方結(jié)構(gòu)的純金屬在不同溫度時(shí)的楊氏模量.

1.2 立方結(jié)構(gòu)的二元合金

CALPHAD方法是結(jié)合體系的實(shí)驗(yàn)信息，選擇合理的熱力學(xué)模型，優(yōu)化確定熱力學(xué)參數(shù)，依據(jù)相平衡原理計(jì)算相圖的方法［12］.本研究將借鑒CALPHAD方法，構(gòu)建新模型用于計(jì)算二元合金在不同溫度、成分時(shí)的楊氏模量.其具體表達(dá)式如下：

式中EA、EB分別是組元 A、B在溫度T時(shí)的楊氏模量，可從立方結(jié)構(gòu)純金屬的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?（1）中求得；xA，xB分別代表組元A、B在二元合金中的原子分?jǐn)?shù)；IAB為此二元合金的楊氏模量計(jì)算參數(shù).

楊氏模量計(jì)算參數(shù)IAB為成分和溫度的函數(shù)，其表達(dá)式如下：

式中a0，b0，a1，b1為本研究計(jì)算時(shí)待優(yōu)化的參數(shù).

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 立方結(jié)構(gòu)的純金屬楊氏模量的計(jì)算

本研究中立方結(jié)構(gòu)的純金屬主要是過(guò)渡族金屬及Al.半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?（1）中的線膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)信息來(lái)自AIP手冊(cè)［13］，楊氏模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大部分來(lái)源于K?ster［14］的研究工作.同時(shí)，利用Chang 等［15］、Purwins等［16］、Hearmon［17］和 Katahara等［18］報(bào)道的部分金屬?gòu)椥韵禂?shù)的實(shí)驗(yàn)信息，運(yùn)用Voight－Reuss－Hill（VRH）［19－20］方法，計(jì)算獲得了部分金屬的楊氏模量值.

基于實(shí)驗(yàn)信息，對(duì)于半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?（1）中的參數(shù)Q，采用非線性最小二乘法擬合，優(yōu)化得到了Q值為23.5.利用改進(jìn)后的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?（1），計(jì)算了表1中所示的立方結(jié)構(gòu)純金屬的楊氏模量，計(jì)算中的初始溫度T0及對(duì)應(yīng)的楊氏模量E0見(jiàn)表1.

表1 立方結(jié)構(gòu)的純金屬在初始溫度T0時(shí)的楊氏模量E0Tab.1 Young′s modulus E0for cubic pure metals at temperature T0

圖1（a）～（g）所示為面心立方結(jié)構(gòu)的純金屬Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir的楊氏模量計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的比較.其中，Al和Au的楊氏模量取自于K?ster［14］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Ag和Cu來(lái)源于Chang等［15］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Pt、Rh和Ir的楊氏模量為 Merker等［21］測(cè)得的實(shí)驗(yàn)值.從圖1（a）～（f）中可以看出，該模型計(jì)算的純金屬隨溫度變化的楊氏模量與實(shí)驗(yàn)值符合良好.如圖1（c）～（e）所示，純金屬Ag、Cu的楊氏模量實(shí)驗(yàn)值低于800K，Pt的實(shí)驗(yàn)結(jié)果低于1 200K.本研究利用Ag、Cu、Pt高溫時(shí)線膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)信息［13］，計(jì)算預(yù)測(cè)了其高溫時(shí)的楊氏模量.

圖2（a）～（c）為體心立方結(jié)構(gòu)的純金屬 Mo、Ta、W楊氏模量的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［14］的比較.不同溫度時(shí)楊氏模量的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值吻合良好.由于純金屬M(fèi)o、Ta、W的楊氏模量實(shí)驗(yàn)測(cè)定溫度低于1 100K，本研究利用 Mo、Ta、W 高溫時(shí)線膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)信息［13］，計(jì)算預(yù)測(cè)了溫度至2 000K左右時(shí) Mo、Ta、W的楊氏模量.此計(jì)算結(jié)果對(duì)高溫合金力學(xué)性能的設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值.

圖3（a）～（b）為具有磁性轉(zhuǎn)變的純金屬 Ni、Fe楊氏模量的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［14］的比較.對(duì)于純金屬Ni（面心立方結(jié)構(gòu)），計(jì)算得到的楊氏模量隨溫度變化的曲線與磁飽和狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)值吻合良好.由于Ni在居里溫度TC（627K）處發(fā)生磁性轉(zhuǎn)變，理論計(jì)算結(jié)果曲線出現(xiàn)彎曲.如圖3（b）所示，純Fe在居里溫度TC（1 041K）以下，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值取得了良好的一致性.在居里溫度TC附近，F(xiàn)e的楊氏模量的實(shí)驗(yàn)值（在磁性轉(zhuǎn)變后）急劇下降，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)是一致的.當(dāng)溫度達(dá)到1 185K時(shí)，F(xiàn)e將發(fā)生同素異構(gòu)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生體心立方結(jié)構(gòu)的α－Fe向面心立方結(jié)構(gòu)的γ－Fe的轉(zhuǎn)變，半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪剑?）無(wú)法計(jì)算高于此相變溫度的楊氏模量.

2.2 立方結(jié)構(gòu)的二元合金楊氏模量的計(jì)算

基于有限的實(shí)驗(yàn)信息，運(yùn)用模型式 （2），對(duì)Ag－Au、Ta－W、Pt－Rh和Pt－Ir各二元合金的楊氏模量計(jì)算參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，所得參數(shù)如表2所示.圖4（a）～（b）為 Ag－Au、Ta－W 二元合金楊氏模量的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［16－18］的比較.由圖4（a）～（b）可見(jiàn)，在293 K時(shí)，Ag－Au二元合金的楊氏模量隨Au原子分?jǐn)?shù)的增加呈現(xiàn)先增大后減小，Ta－W二元合金的楊氏模量隨W原子分?jǐn)?shù)的增加呈現(xiàn)連續(xù)增大的變化趨勢(shì).計(jì)算的楊氏模量曲線很好地再現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)結(jié)果.此外，基于優(yōu)化的參數(shù)，也計(jì)算預(yù)測(cè)了Ag－Au和Ta－W二元合金在500、700、900K溫度時(shí)的楊氏模量.計(jì)算結(jié)果表明，二元合金的楊氏模量隨溫度的升高而下降，且不同溫度下的楊氏模量隨成分變化的趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果［16－18］類似.

圖1 面心立方結(jié)構(gòu)的純金屬 Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir的楊氏模量 （E）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［14－15，21］的比較Fig.1 Calculated Young′s modulus（E）together with experimental data［14－15，21］for Al，Au，Ag，Cu，Pt，Rh and Ir with fcc structure

圖5（a）～（b）分別為Pt－Rh和Pt－Ir二元合金在不同溫度時(shí)楊氏模量隨成分變化的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［21］的比較.基于 Merker等［21］報(bào)道的有限的楊氏模量實(shí)驗(yàn)信息 （Rh和Ir的質(zhì)量分?jǐn)?shù)均小于30%），優(yōu)化得到的Pt－Rh和Pt－Ir二元合金參數(shù)a0，b0，a1，b1，見(jiàn)表2.根據(jù)優(yōu)化的參數(shù)，利用式 （2）計(jì)算了兩二元合金在不同溫度和全成分范圍內(nèi)的楊氏模量.從圖5（a）～（b）中可以看出，兩二元合金的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合良好.同時(shí)，計(jì)算預(yù)測(cè)的楊氏模量彌補(bǔ)了部分實(shí)驗(yàn)信息的不足.

圖2 體心立方結(jié)構(gòu)的純金屬M(fèi)o、W、Ta的楊氏模量 （E）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［14］的比較Fig.2 Calculated Young′s modulus（E）together with experimental data［14］for Mo，W and Ta with bcc structure

圖4 Ag－Au、Ta－W 二元合金分別在293、500、700、900K時(shí)隨成分變化的楊氏模量（E）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［16－18］的比較Fig.4 Calculated Young′s modulus（E）as a function of composition，together with the experimental data［16－18］for Ag－Au and Ta－W binary alloys at 293，500，700and 900K，respectively

3 結(jié) 論

1）本研究在實(shí)驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上，優(yōu)化得到了半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械膮?shù)Q為23.5，并利用該模型計(jì)算了立方結(jié)構(gòu)純金屬的楊氏模量.純金屬 Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir、Mo、Ta、W、Ni、Fe（TC點(diǎn)以下）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值取得了良好的一致性.

圖3 純金屬Ni、Fe的楊氏模量（E）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［14］的比較Fig.3 Calculated Young′s modulus（E）together with experimental data［14］for Ni and Fe

圖5 Pt－Rh、Pt－Ir二元合金隨成分、溫度變化的楊氏模量 （E）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值［21］的比較Fig.5 Calculated Young′s modulus（E）as a function of composition，together with the experimental data［21］at finite temperatures for Pt－Rh and Pt－Ir binary alloys

表2 本研究評(píng)估的 Ag－Au、Ta－W、Pt－Rh和Pt－Ir二元合金的優(yōu)化參數(shù)Tab.2 The optimized parameters in Ag－Au，Ta－W，Pt－Rh and Pt－Ir binary alloys assessed in the present work

2）借鑒CALPHAD方法，構(gòu)建了計(jì)算二元合金楊氏模量的新模型，并對(duì) Ag－Au、Ta－W、Pt－Rh和Pt－Ir二元合金的楊氏模量進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值取得了良好的一致性.該模型可用于計(jì)算二元合金不同成分和溫度范圍內(nèi)的楊氏模量，對(duì)二元合金力學(xué)性能的理論計(jì)算具有重要的參考意義.

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