黃 晶 汪 飛 邢云開(kāi)

（1.嵊州中學(xué)，浙江 嵊州 312400；2.海門(mén)中學(xué)，江蘇 海門(mén) 226100；3.嵊州市長(zhǎng)樂(lè)中學(xué)，浙江，嵊州 312400）

1 問(wèn)題的提出

不少高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)資料［1，2］中將下列平面振子的題目作為分方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的典型例題，我們發(fā)現(xiàn)其解答分解過(guò)程存在問(wèn)題，導(dǎo)致試題最終解答也是錯(cuò)誤的，值得我們深入研究，原題如下.

圖1

題目.如圖1所示，置于光滑水平面上的輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，勁度系數(shù)為k，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球.現(xiàn)沿某方向?qū)椈衫L(zhǎng)Δl至A點(diǎn)，然后以垂直于OA方向并沿水平面將小球以速度v0射出.求：（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°至B點(diǎn)的時(shí)間；（2）OB的長(zhǎng)度.

參考解答：如圖2所示，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸，OB方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系xOy，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至一般位置C時(shí)，OC與x軸的夾角為θ，此時(shí)彈簧對(duì)小球的作用力F＝k（OCL0），沿x、y方向的分量分別為

圖2

其中x－L0cosθ、y－L0sinθ分別為沿x軸和y軸方向的彈簧的伸長(zhǎng)量.

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，設(shè)沿y方向彈簧伸長(zhǎng)Δy，對(duì)A點(diǎn)和B點(diǎn)有

2 演繹推理質(zhì)疑

從解答結(jié)果看，A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間與到達(dá)B點(diǎn)小球的速度均與初速度v0無(wú)關(guān).我們可以考慮簡(jiǎn)單的特殊情況加以驗(yàn)證.

若v0趨向于0，則小球的運(yùn)動(dòng)變?yōu)橐痪S的彈簧振子，小球是無(wú)法到達(dá)y軸上y＝L0處，這與參考答案矛盾.

若小球的速度大小合適，使得彈簧的彈力等于小球繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即

其中r為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.解得

到B點(diǎn)的速度為v0，OB的長(zhǎng)度為r，顯然這也與參考答案矛盾.

質(zhì)疑：小球在x、y方向果真做周期相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？

3 數(shù)學(xué)方程表征

根據(jù)前面的坐標(biāo)系約定和受力分析以及幾何關(guān)系有

可得平面振子在x、y方向上的動(dòng)力學(xué)微分方程為

4 軟件數(shù)值計(jì)算

要獲得小球真實(shí)的運(yùn)動(dòng)情況需解非線性微分方程組，十分困難.下面用數(shù)學(xué)軟件MathCAD進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

首先設(shè)置振子的參數(shù)和初始條件如下：彈簧原長(zhǎng)L0＝0.4m，勁度系數(shù)k＝50N/m，初始伸長(zhǎng)量ΔL＝0.1m，小球質(zhì)量m＝0.5kg.

4.1 特殊情況

當(dāng)初速度v0＝0m/s時(shí)繪制小球振動(dòng)軌跡如圖3所示，小球的運(yùn)動(dòng)變?yōu)橐痪S的彈簧振子；當(dāng)初速度為v0＝m/s時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖4所示.

圖3

圖4

4.2 一般情況

當(dāng)初速度v0＝10m/s時(shí)，繪制小球轉(zhuǎn)過(guò)90°到B點(diǎn)的軌跡圖如圖5所示.小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的豎直位移不是整個(gè)過(guò)程的最大值，速度不是水平方向，由數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計(jì)算可得A到B的時(shí)間為t＝0.230s，B點(diǎn)的速率為vB＝5.049m/s，OB的距離為y＝1.246m；圖6為小球轉(zhuǎn)動(dòng)一周的軌跡圖，運(yùn)動(dòng)一周后小球并沒(méi)有回到A點(diǎn)且速度方向不是豎直向上的.

圖5

圖6

繪制小球前10次回到x正半軸的軌跡圖，如圖7所示，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡呈規(guī)則的花瓣?duì)?；小球?00次回到x正半軸的軌跡如圖8所示，小球的運(yùn)動(dòng)被限止在一個(gè)內(nèi)切圓與一個(gè)外切圓之間，隨著時(shí)間的變長(zhǎng)，瓣?duì)钴壽E越來(lái)越密集，說(shuō)明運(yùn)動(dòng)軌跡不存在重合現(xiàn)象，反映平面振子復(fù)雜的周期性運(yùn)動(dòng).

圖7

圖8

4.3 分方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的驗(yàn)證

繪制小球前10次回到x正半軸時(shí)間內(nèi)振子的x-t圖、y-t圖、vx-t圖和vy-t圖如圖9～12所示，由圖可直觀地看到振子在x、y方向的分運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，參考解答中將小球的運(yùn)動(dòng)分解為x方向與y方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法是錯(cuò)誤的.

圖9

圖10

圖11

圖12

5 問(wèn)題的解決

那么競(jìng)賽資料的參考解答的問(wèn)題在哪里？觀察（1）、（2）兩式可得平面振子在水平方向與豎直方向的原長(zhǎng)是隨θ變化的，由此得出的回復(fù)力與相對(duì)平衡位置成正比的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，參考解答在此錯(cuò)誤的前提下推得振子的運(yùn)動(dòng)分解為x、y兩個(gè)方向獨(dú)立的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致結(jié)果也是錯(cuò)的；事實(shí)上由（3）、（4）兩式更容易看出，每個(gè)方向的微分方程中都包含了另一方向上的位移分量，反映出這兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)之間是彼此關(guān)聯(lián)，并不是獨(dú)立的.將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)正交分解為兩個(gè)便于研究的直線運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)化復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要研究方法，但前提必須要使兩個(gè)方向上的分運(yùn)動(dòng)是彼此獨(dú)立的.

附錄：MathCAD程序

設(shè)置初始條件：

x初始位置Z0∶＝5 x方向初始速度 Z2∶＝0

y初始位置Z1∶＝0 y方向初始速度 Z3∶＝10

設(shè)置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T∶＝8.269

建立D函數(shù)：

求解微分方程組：

得到各量的數(shù)值結(jié)果：

1 范小輝.新編高中物理奧賽實(shí)用題典［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2008：333.

2 舒幼生，鐘小平.高中物理競(jìng)賽培優(yōu)教程［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2008：180.

3 聞邦椿，劉樹(shù)英，陳照波，李鶴.機(jī)械振動(dòng)理論及應(yīng)用［M］.北京：高等教育出版社，2009：148.

4 宋征，林勇等.MathCAD7.0入門(mén)及其工程應(yīng)用［M］.北京：人民郵電出版社，1999.