金 彪

（浙江省春暉中學(xué)，浙江 紹興 312353）

開(kāi)普勒定律告訴我們，每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中.我們先求橢圓拱點(diǎn)的曲率半徑.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，有一動(dòng)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

可以證明該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，求導(dǎo)可以得到該點(diǎn)的速度為

再一次求導(dǎo)，可得到該點(diǎn)的加速度為

在0時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)位于拱點(diǎn)（a，0），此時(shí)速度為

加速度為

由此可求得該點(diǎn)上橢圓的曲率半徑為

當(dāng)某一天體繞中心天體做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，近心點(diǎn)離引力中心的距離為R1＝a－c（c為橢圓半焦距，且有c2＝a2－b2），萬(wàn)有引力產(chǎn)生的加速度為

則由向心力公式可得此時(shí)繞行天體的瞬時(shí)速度為

當(dāng)繞行天體在遠(yuǎn)心點(diǎn)時(shí)，繞行天體離引力中心的距離為R2＝a＋c，同理可得繞行天體在遠(yuǎn)心點(diǎn)的速率滿足

上面（3）、（4）兩式為繞行天體在近、遠(yuǎn)2個(gè)拱點(diǎn)的瞬時(shí)速度與中心天體質(zhì)量、半長(zhǎng)軸、半焦距的關(guān)系式.下面我們就用此解幾個(gè)競(jìng)賽題.

例1.（第23屆預(yù)賽第9題）如圖1，從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R＝6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為

式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量.

（1）假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向（用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示）.

（2）若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

圖1

在這里不討論（1）、（2）兩小題的求解，直接看第3小題，我們可以這樣解.

解析：根據(jù)上面（3）式，可得洲際導(dǎo)彈在近地點(diǎn)的動(dòng)能大小為

同時(shí)可以求得勢(shì)能大小為

則

例2.（第17屆復(fù)賽第4題）宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小得很多，飛行器的速率為v0，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍.有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：

Ⅰ.當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開(kāi)圓軌道；

Ⅱ.飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；

Ⅲ.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量.

（1）試通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系；

解析：（1）根據(jù)題意，設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M0，飛行器加速前速率為

由（3）、（4）兩式可以求得飛行器在近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為

同時(shí)，可以求得小行星的速率為

當(dāng)飛行器與小行星碰撞時(shí)，以太陽(yáng)為參考系，小行星與飛行器整體的機(jī)械能與角動(dòng)量均守恒，設(shè)碰后飛行器與小行星的速度分別為v1、v2，則有

將（8）式的v2代入（9）式得

化簡(jiǎn)得

即可得到飛行器與小行星碰撞后的速率為

現(xiàn)在判斷飛行器在這個(gè)速度下能不能飛出太陽(yáng)系.假設(shè)飛行器不能飛出太陽(yáng)系，則其近日點(diǎn)速度與軌道半長(zhǎng)軸、半焦距的關(guān)系依然滿足（3）式，即

考慮到此時(shí)飛行器在近日點(diǎn)，且其離日距離為6R，即a－c＝6R，將此式與（10）式一起代入（11）式可得

化簡(jiǎn)可得

可得c≈－46.64R.

顯然，一個(gè)正常橢圓的半焦距不可能取負(fù)值，即飛行器運(yùn)行軌道不是橢圓，則飛行器一定可以飛出太陽(yáng)系.

（2）在上述方法中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)得到的能量為

如果不用上述方法，飛行器要?jiǎng)倓傦w離太陽(yáng)系，相當(dāng)于橢圓半長(zhǎng)軸與半焦距都趨向于無(wú)窮大，但兩者之差為R，利用（3）式，可得飛行器要獲得的動(dòng)能為

飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)得到的能量為

即可得

例3.（第20屆決賽第2題）一人造地球衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，地心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中，橢圓的軌跡方程為

a、b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸，為已知常數(shù).當(dāng)該衛(wèi)星在軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，突然以很大的能量沿衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向從衛(wèi)星上發(fā)射出一個(gè)質(zhì)量為m的太空探測(cè)器，這探測(cè)器在地球引力作用下做雙曲線運(yùn)動(dòng)，此雙曲線的焦點(diǎn)位于地心，實(shí)半軸的長(zhǎng)度正好等于原來(lái)橢圓遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離.試問(wèn)在發(fā)射時(shí)，給探測(cè)器的能量為多大？設(shè)地球質(zhì)量為mE、萬(wàn)有引力常量為G為已知，不計(jì)地球以外星體的影響.

解析：先由（4）式可得遠(yuǎn)地點(diǎn)速度為

圖2

探測(cè)器在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，其離地球距離為A＝a＋c.當(dāng)探測(cè)器突然加速做雙曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)位于地心，實(shí)半軸的長(zhǎng)度正好等于原來(lái)橢圓遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離，則半焦距等于橢圓遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離的兩倍.可以移動(dòng)直角坐標(biāo)系，使此時(shí)探測(cè)器與地球的位置坐標(biāo)分別為（A，O）和（C，O），其中A＝a＋c，C＝2（a＋c）.

則在0時(shí)刻，其速度為

其加速度為

則可得雙曲線頂點(diǎn)的曲率半徑為

因發(fā)射時(shí)探測(cè)器勢(shì)能來(lái)不及變化，故動(dòng)能改變量就是獲得的總能量