任學(xué)平，劉桐桐

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010）

用改進(jìn)的Duffing理論判斷軸承故障的微弱信號

任學(xué)平，劉桐桐

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010）

分析了傳統(tǒng)Duffing振子混沌系統(tǒng)的基本理論對檢測微弱信號的不足，給出了基于改進(jìn)之后的Duffing振子檢測微弱信號的新方法。改進(jìn)后的方法能夠突破傳統(tǒng)方法對系統(tǒng)固有頻率的限制，檢測具有較大固有頻率的微弱信號。通過一個實(shí)例，利用傳統(tǒng)方法和改進(jìn)方法分別對軸承外圈故障信號進(jìn)行驗(yàn)證性分析，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)方法能更好的找出微弱故障信號。經(jīng)過對仿真信號分析和軸承故障診斷實(shí)驗(yàn)，結(jié)果驗(yàn)證了檢測方法的有效性。

振動與波；混沌理論；Duffing振子；改進(jìn)算法；信號檢測；軸承故障

軸承作為各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用最廣泛的一種通用機(jī)械零件，它們在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中起著十分重要的作用。經(jīng)過初步的統(tǒng)計，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障損失中，因?yàn)檩S承出現(xiàn)故障而造成的損失占到所有損失的1/3[1]。如何在軸承故障出現(xiàn)之初將其發(fā)掘出來，把故障發(fā)現(xiàn)在萌芽中，將會對社會產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益。因此，提出一種能夠有效判別軸承故障的方法勢在必行。

在軸承工程實(shí)際應(yīng)用過程中，軸承故障出現(xiàn)之初，發(fā)出的信號往往只是微弱的特征信號。在分析時發(fā)現(xiàn)，軸承的微弱信號包含著軸承本身極為豐富的運(yùn)行信息，因此對微弱信號的檢測分析現(xiàn)已成為檢測軸承早期故障的最主要方法之一。但是這種微弱信號的幅值相對于噪聲是微乎其微的，因此在實(shí)際問題分析過程中，發(fā)現(xiàn)微弱信號通常會被強(qiáng)噪聲所淹沒，很難將微弱信號識別出來。如何將淹沒在強(qiáng)噪聲中的微弱信號識別出來是現(xiàn)如今信號處理和故障診斷的重要研究內(nèi)容[2]。

1 基于混沌振子檢測信號的方法

1.1 傳統(tǒng)Duffing振子方程

用小幅度的與內(nèi)驅(qū)動力角頻率相近的周期信號對傳統(tǒng)Duffing方程的周期內(nèi)驅(qū)動力進(jìn)行攝動，并且考慮到諧波的影響，最終得到的Duffing振子方程如式1所示[3，4]

式中

frcos(ω0t)——周期策動力；

k——阻尼比；

ω0——內(nèi)策力角頻率；

-αx+βx3——非線性恢復(fù)力；

a cos(ωt+φ)——待測微弱信號。

采用4階Runge-Kutta[5]對（1）式進(jìn)行數(shù)值微分。令x′=y，則（1）式變?yōu)?/p>

Duffing振子方程對初值具有很強(qiáng)的敏感性，即給定系統(tǒng)一個固有頻率ω0和周期策動力fr，當(dāng)輸入信號a cos(ωt+φ)后，系統(tǒng)的周期策動力發(fā)生改變。若在系統(tǒng)輸入外界信號之前通過改變fr將系統(tǒng)調(diào)節(jié)至臨界大尺度周期狀態(tài)，輸入外界信號后系統(tǒng)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)，則可以反映出存在和給定系統(tǒng)固有頻率相近的一個微弱正弦信號。

經(jīng)過大量的仿真實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)ω0數(shù)值比較小時，系統(tǒng)能夠很好的表現(xiàn)出大尺度周期狀態(tài)，但是當(dāng)ω0大于某一值后，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)總是在大尺度周期狀態(tài)和混沌態(tài)之間變換。通過對傳統(tǒng)Duffing方程不同內(nèi)策力角頻率ω0進(jìn)行模擬仿真，發(fā)現(xiàn)當(dāng)ω0＞13時即使加入微弱信號系統(tǒng)也不總能進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，很多時候會對是否存在故障信號進(jìn)行誤判。

令式（2）中k=0.5，fr=0.723 5，α=β=1，ω0=1，ω=1.01時，利用wolf方法對Duffing振子最大Lyapunov指數(shù)計算[6，7]，Duffing方程相圖如圖1所示：（a）為系統(tǒng)在沒有加入待測信號時相軌跡圖；（b）為系統(tǒng)在加入待測信號后的相軌跡圖。通過比較可以很明顯的看出系統(tǒng)在加入待測信號后進(jìn)入尺度周期態(tài)，反映出待測信號中含有微弱同頻周期信號。

令（2）中k=0.5，α=β=0.5，ω0=15，ω=15.03，得出系統(tǒng)臨界閾值fr=0.764 9，系統(tǒng)加入微弱信號前后系統(tǒng)相圖如圖2所示：（a）為系統(tǒng)在沒有加入待測信號時相圖；（b）為系統(tǒng)在加入待測信號后的相軌跡圖。通過仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，加入微弱周期信號后系統(tǒng)仍然處于混沌狀態(tài)。

1.2 改進(jìn)Duffing振子方程

在軸承故障診斷實(shí)際應(yīng)用過程中，軸承各部件的特征故障頻率基本都在50～240 Hz之間，若采用傳統(tǒng)的Duffing振子方程將無法對軸承故障進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷。為了提高軸承故障的準(zhǔn)確判斷率，需要對傳統(tǒng)Duffing方程進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)。

圖1 w=1時系統(tǒng)相軌跡圖

Duffing方程為非線性方程，方程主要由系統(tǒng)給定的非線性恢復(fù)力和隨外界條件而變化的周期策動力兩部分組成。通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)Duffing振子方程不能滿足要求，主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)Duffing振子方程中非線性恢復(fù)力不能夠滿足非線性要求。因此需要對系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)，目前比較常見的是將傳統(tǒng)方程改為αx3-βx5[8，9]，現(xiàn)嘗試將傳統(tǒng)方程改為αx5-βx7，并且通過和傳統(tǒng)方程進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的方程非線性性能有了顯著提高，但隨之而來計算量也隨之增大。通過對同一套方程進(jìn)行模擬，若采用αx3-βx5，需要18.10 s，而采用αx5-βx7，則需要18.62 s。改進(jìn)后的Duffing振子方程為

為了驗(yàn)證改進(jìn)后Duffing方程相比傳統(tǒng)方程的優(yōu)越性，利用改進(jìn)Duffing方程對上述混有高斯白噪聲的微弱周期信號進(jìn)行模擬仿真。令（3）中k=0.5，α=β=1，ω0=ω=15，通過對改進(jìn)Duffing方程進(jìn)行最大lyapunov指數(shù)計算得出，系統(tǒng)臨界閾值fr=0.826 69，得出系統(tǒng)加入微弱信號前后系統(tǒng)相圖如圖3所示。

圖3表示改進(jìn)Duffing方程的相軌跡圖。其中(a)為沒有加入待測信號時的相圖，(b)表示加入待測信號后的相圖。對圖2和圖3進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的Duffing系統(tǒng)能夠識別出傳統(tǒng)方程不能識別的微弱周期信號。通過比較反映出改進(jìn)Duffing方程對較大固有頻率的信號具有更好的識別能力。

2 滾動軸承故障分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)Duffing系統(tǒng)在現(xiàn)場也能夠得到應(yīng)用，本文采用美國凱斯西大學(xué)電氣工程與計算機(jī)科學(xué)系軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。測試軸承為6502-2 RS SKF深溝球軸承，分析軸承外圈在轉(zhuǎn)速為1750 r/m in時的故障。外圈故障為人為用電火花加工一個0.007''的微小圓坑故障。其滾動體直徑8 mm，節(jié)圓直徑40 mm，滾動體數(shù)9，接觸角0°。數(shù)據(jù)的采樣頻率為12 000 Hz，采樣點(diǎn)N=5 050，發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速n=1 750 r/m in。計算所得軸承各部件故障頻率如表1所示。

表1 軸承各位置故障頻率

圖3 ω=15時改進(jìn)系統(tǒng)相軌跡圖

由于剛開始采集的信號中噪聲信號太多，若直接利用Duffing方程進(jìn)行分析，則大大增加了計算量，為了減少計算時間，在進(jìn)行混沌分析之前先對采集到的信號進(jìn)行小波包變換。其處理方案如圖4所示。

根據(jù)表1可知軸承外圈的故障頻率主要在100～140 Hz之間，因此在小波分解時我們可以將其它頻段的波過濾掉?，F(xiàn)采用Daubechies小波對故障原始數(shù)據(jù)進(jìn)行6層分解[10]，由于采樣頻率為12 000 Hz，故通過小波分解后留下94 Hz～187 Hz頻率的數(shù)據(jù)帶入Duffing振子方程進(jìn)行混沌分析。小波分解前后數(shù)據(jù)時域波形圖如圖5所示。

圖4 信號處理方案

分別利用wolf方法對傳統(tǒng)Duffing振子和改進(jìn)Duffing振子進(jìn)行最大Lyapunov指數(shù)計算，得到兩方程的臨界閾值：fr傳統(tǒng)=0.731 4，fr改進(jìn)=0.717 286。根據(jù)軸承的參數(shù)，傳統(tǒng)Duffing方程和改進(jìn)Duffing方程分別為式（4）、（5）。

將小波降噪后的數(shù)據(jù)分別利用傳統(tǒng)Duffing方程和改進(jìn)Duffing方程進(jìn)行進(jìn)一步的分析，得到的相軌跡圖如圖6、圖7所示。圖6是利用傳統(tǒng)Duffing方程進(jìn)行分析得到的相軌跡，圖7是利用改進(jìn)Duffing方程進(jìn)行分析得到的相軌跡，兩圖中(a)表示系統(tǒng)未加待測信號時Duffing振子相軌跡，(b)表示系統(tǒng)加入待測信號后Duffing振子相軌跡。通過比較發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)Duffing方程在加入待測信號后由臨界狀態(tài)進(jìn)入到大尺度周期狀態(tài)，而傳統(tǒng)Duffing方程在加入待測信號后仍然處于混沌狀態(tài)。

圖5 軸承小波降噪前后時域波形圖

圖6 傳統(tǒng)Duffing振子檢測軸承故障相軌跡圖

圖7 改進(jìn)Duffing振子檢測軸承故障相軌跡圖

通過比較發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)Duffing方程在加入待測信號后由臨界狀態(tài)進(jìn)入到大尺度周期狀態(tài)，而傳統(tǒng)Duffing方程在加入待測信號后仍然處于混沌狀態(tài)。上述實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文改進(jìn)的Duffing振子方程可應(yīng)用于滾動軸承故障診斷。

3 結(jié)語

通過對傳統(tǒng)Duffing方程和改進(jìn)Duffing方程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對比，并利用兩種方法對軸承外圈故障信號進(jìn)行檢測。結(jié)果表明改進(jìn)Duffing方程能夠很好的反映軸承外圈確實(shí)存在故障狀態(tài)，而傳統(tǒng)Duffing方程無法將軸承故障顯現(xiàn)出來。從而驗(yàn)證了改進(jìn)Duffing系統(tǒng)對于軸承故障微弱信號檢測的有效性。該方法具有簡單、直觀、便于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，在軸承故障診斷方面具有很好的應(yīng)用前景。

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[10]Case western reserve university bearing data center website[OL].http://www.eecs.case.edu/laboratory/ bearing,2013-02-19.

Detection of Weak Fault Signals of Bearings Based on the Improved Duffing Theory

REN Xue-ping,LIU Tong-tong

(Mechanical Engineering School,Inner Mongolia University of Science and Technology, Baotou 014010,Neimenggu China)

The shortcom ing of the fundamental theory of traditional Duffing oscillator chaotic system for weak signal detection is analyzed,and a new method for the detection based on improved Duffing oscillator is proposed.This method can break through the limitation of natural frequency in the traditional method.It can detect the weak signal with large natural frequencies.In this paper,the fault signal of the outer ring of a bearing is analyzed using the traditional and the current improved method respectively.The results show that the improved method can find the weak fault signal better than the other one.The results from simulation signal analysis and bearing fault diagnosis experiments are in good agreement, which shows that the method proposed in this paper is effective.

vibration and wave;chaos theory;Duffing oscillator;improved algorithm;signal detection;bearing fault

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.039

1006-1355(2014)01-0173-05

2013-03-19

內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金項(xiàng)目（基金編號：2012MS0717）

任學(xué)平(1963-)，男，河北省陽原人，博士，主要從事機(jī)械工程測試與故障診斷研究。

劉桐桐(1988-)，男，濟(jì)南人，在讀研究生，主要從事機(jī)械故障診斷與混沌理論研究。

E-mail:liuxiaohang1314277@126.com