李鑌樺，譚青，蔡小華，任志湘

(中南大學(xué)機電工程學(xué)院，長沙410083)

安裝偏心距對球式自動平衡裝置減振的影響

李鑌樺，譚青，蔡小華，任志湘

(中南大學(xué)機電工程學(xué)院，長沙410083)

過臨界轉(zhuǎn)速下，影響球式自動平衡裝置減振效果的因素很多。通過建立存在安裝偏心距的球式自動平衡裝置的數(shù)學(xué)模型，并依據(jù)現(xiàn)有的實驗臺確定仿真參數(shù)進行數(shù)值仿真，分析安裝偏心距對球式自動平衡裝置減振效果的影響。結(jié)果表明，安裝偏心距越小，球式自動平衡裝置的減振效果越好；一定范圍內(nèi)，提高轉(zhuǎn)子的加工精度和安裝精度，減小安裝偏心距，球式自動平衡裝置的減振效果改善明顯；但過高的提高轉(zhuǎn)子的加工精度和安裝精度，球式自動平衡裝置的減振效果改善不明顯。分析結(jié)果對于球式自動平衡裝置的有效減振有一定的應(yīng)用價值。

振動與波；安裝偏心距；球式自動平衡裝置；數(shù)學(xué)模型；數(shù)值仿真；減振

對于回轉(zhuǎn)機械而言，轉(zhuǎn)子不平衡將導(dǎo)致回轉(zhuǎn)機械產(chǎn)生振動和噪聲，甚至?xí)l(fā)災(zāi)難性破壞，由此造成的損失不容忽視。目前，解決這一問題的一般方法是對其回轉(zhuǎn)部分（即轉(zhuǎn)子）進行高精度的動靜平衡[1]。但對于轉(zhuǎn)子質(zhì)量可能發(fā)生改變的回轉(zhuǎn)機械，如粉塵環(huán)境中的風(fēng)機，塵粒和水份附著于風(fēng)機的葉片上便引起轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布改變，經(jīng)常對其進行動靜平衡是很不方便的。由此，學(xué)術(shù)界展開了自動平衡課題的研究。自動平衡裝置分為兩大類：一類是自動定心型自動平衡裝置[2]；另一類是微機控制型自動平衡裝置[3,4]。

自動定心型自動平衡裝置的工作原理是：轉(zhuǎn)子在過臨界轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子內(nèi)可移動質(zhì)量的位置將自動的受轉(zhuǎn)子機械振動相位的影響，移動到偏心質(zhì)量的另一邊，一定程度上抵消偏心質(zhì)量所產(chǎn)的離心慣性力，從而起到減振的作用[2]。以往的研究中，通常認為自動平衡裝置的安裝是理想的（零偏差）。然而實際生產(chǎn)中，由于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸的塑性變形或者加工、安裝精度的影響，可能導(dǎo)致安裝后的自動平衡裝置的旋轉(zhuǎn)中心線與回轉(zhuǎn)機械的旋轉(zhuǎn)中心線不重合，即存在安裝偏心距。本文主要研究安裝偏心距對球式自動平衡裝置減振效果的影響。

1 建立數(shù)學(xué)模型

球式自動平衡裝置與待平衡的回轉(zhuǎn)機械裝配時經(jīng)常會出現(xiàn)如圖1所示的情況。

圖1 球式自動平衡裝置的安裝示意圖

如圖1所示，對于旋轉(zhuǎn)軸較長回轉(zhuǎn)機械的旋轉(zhuǎn)軸部分軸段常會出現(xiàn)塑性變形，理想旋轉(zhuǎn)軸線為z，實際旋轉(zhuǎn)軸線為z'。O'點為軸線z'與滾球式自動平衡裝置轉(zhuǎn)盤面的交點，O點為軸線z與轉(zhuǎn)盤面的交點，O與O'不重合，O與O'間的距離即為安裝偏心距。

現(xiàn)將球式自動平衡裝置的結(jié)構(gòu)簡化為轉(zhuǎn)盤和滾球兩部分，并做如下假定：（1）轉(zhuǎn)盤為均質(zhì)圓形薄盤；（2）電機驅(qū)動力矩足夠大，轉(zhuǎn)速不因阻力矩大小而變化；（3）滾球運動為純滾動；（4）轉(zhuǎn)盤及滾球的粘性阻力和速度成正比；（5）不考慮軸向運動和重力作用。

球式自動平衡裝置常用于單盤轉(zhuǎn)子的減振，其力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 存在安裝偏心距的球式自動平衡裝置的力學(xué)模型

本文所采用的符號如下：

O0XY：平面直角定坐標系；

O0：坐標原點，即系統(tǒng)靜止時圖1中z軸與轉(zhuǎn)盤面的交點；

O：圖1中z軸與轉(zhuǎn)盤面的交點，靜止時與O0重合；

O′：圖1中z'軸與轉(zhuǎn)盤面的交點；

G：轉(zhuǎn)盤的質(zhì)心，因為假定（1），所以G與O’是重合的；

E：偏心量的位置點；

Bi：第i個球的質(zhì)心（i=1，2，3...）；

e1：點G與點O的距離（即安裝偏心距），單位m；

e2：點E與點O的距離，單位m；

X,Y：O點的坐標；

CX,CY：系統(tǒng)X方向上的粘性阻力系數(shù)和Y方向上的粘性阻力系數(shù)，單位N·s/m；

Kx,KY：系統(tǒng)X方向上的剛度和Y方向上

的剛度，單位N/m；

n：滾球個數(shù)；

m1，m2，m3，m：轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量，偏心量的質(zhì)量，電動機質(zhì)量，單個滾球質(zhì)量，單位kg；

M：系統(tǒng)的總質(zhì)量，

單位kg，M=m1+m2+m3+nm；

r，R：滾球的半徑和公轉(zhuǎn)半徑，單位m；

I：滾球?qū)ζ滟|(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，單位Kg·m2；

θ：轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角即電動機主軸轉(zhuǎn)角，逆時針為正，單位rad；

ω：轉(zhuǎn)盤的角速度，ω=θ˙，單位rad/s；

θ1：偏心質(zhì)量的初始轉(zhuǎn)角，單位rad；

φi：第i個滾球的轉(zhuǎn)角（公轉(zhuǎn)）（i=1，2，3...），單位rad；

β0：滾球的滾動摩擦因數(shù)，單位m（長度綱量）；

β1：滾球粘性阻尼系數(shù)，單位N·s/(m·rad)；

FL，F(xiàn)M：系統(tǒng)的粘性阻尼力和滾動摩擦力。

如圖2所示，系統(tǒng)的運動限定在X O0Y平面內(nèi)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可利用拉格朗日方程[5]來描述

其中T表示系統(tǒng)的總動能，包括轉(zhuǎn)盤的動能T1、偏心量的動能T2、滾球的動能T3和電動機的動能T4；V表示系統(tǒng)的總勢能；qα表示系統(tǒng)的廣義坐標；Qα表示系統(tǒng)的廣義力；s表示廣義坐標個數(shù)。

系統(tǒng)的運動是限定在X O0Y平面內(nèi)的，屬于平面運動。要描述整個系統(tǒng)的位置，需確定轉(zhuǎn)盤、偏心量和滾球的位置，而轉(zhuǎn)盤和偏心量的相對位置是固定的，所以只需確定轉(zhuǎn)盤和滾球的位置。轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角即為電動機主軸的轉(zhuǎn)角，即θ是已知的，則廣義坐標個數(shù)s=n+2，因此系統(tǒng)的廣義坐標可表示為

考慮到轉(zhuǎn)盤和偏心量是相對靜止的，故可將二者視為一個整體，用T12表示該整體動能；G12表示該整體的質(zhì)心；I12表示該整體對其質(zhì)心G12的轉(zhuǎn)動慣量。

轉(zhuǎn)動中心O、轉(zhuǎn)盤質(zhì)心G、偏心量E、滾球質(zhì)心Bi及轉(zhuǎn)盤和偏心量的合成整體的質(zhì)心G12的位置矢量可表示為

其中，i，j分別為X軸和Y軸正方向上的單位矢量。

系統(tǒng)的總動能T

系統(tǒng)的總勢能

系統(tǒng)的廣義力Qα可以由式（14）求出

由此，推出系統(tǒng)的控制方程如下：

2 系統(tǒng)的數(shù)值仿真

2.1 數(shù)值計算方法

機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般都是微分方程或微分方程組，數(shù)值積分法是對其進行數(shù)值解析的重要方法之一，主要包括歐拉法、梯形法、龍格—庫塔法及亞當(dāng)姆斯法，其中四階龍格—庫塔法是最為常用的數(shù)值計算方法。

2.2 模型的降階和仿真程序流程圖

以兩滾球為例（n=2），對系統(tǒng)進行降階處理。設(shè)

降階后，系統(tǒng)1階微分方程組如下

基于4階龍格—庫塔法編寫仿真程序，流程圖如圖3所示。

2.3 數(shù)值仿真結(jié)果

實驗臺X方向的粘性阻尼系數(shù)與Y方向的粘性阻尼系數(shù)相等，即CX=CY=C；X方向的剛度與Y方向的剛度相等，即KX=KY=K；根據(jù)實驗臺的參數(shù)確定仿真參數(shù)，如表1所示。

由上述8組仿真仿真結(jié)果可知，安裝偏心距e1取不同值時，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)的時間基本相同，但隨著安裝偏心距e1的增加，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的振幅也在相應(yīng)的增大。當(dāng)e1＜200μm時，裝有球式自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅小于無自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅；當(dāng)e1=200μm時，裝有球式自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅（0.202 4 mm）與無自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅（0.213 8 mm）接近；當(dāng)e1＞200μm時，裝有球式自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅大于無自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅。

圖3 仿真程序流程圖

表1 仿真參數(shù)

圖4 不同安裝偏心距下，系統(tǒng)X方向的振動圖像

根據(jù)以上仿真數(shù)據(jù)繪制球式自動平衡裝置的減振倍數(shù)[6]曲線，如圖5所示。

圖5 減振倍數(shù)曲線

本文中減振前系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅即無自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅，減振后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅即裝有球式自動平衡裝置的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅。減振倍數(shù)大于1，說明球式自動平衡裝置對系統(tǒng)具有減振作用，且減振倍數(shù)越大，減振效果越明顯；減振倍數(shù)等于1，說明球式自動平衡裝置對系統(tǒng)無作用，反而增加了系統(tǒng)的負擔(dān)；減振倍數(shù)小于1，說明自動平衡裝置對系統(tǒng)起增振作用，加劇系統(tǒng)的振動，具有危險性。

如圖5所示，可得如下結(jié)論：

1)當(dāng)e1＜200μm，減振倍數(shù)大于1，球式自動平衡裝置對系統(tǒng)具有減振作用，隨著安裝偏心距的減小，減振效果越好；

(1)e1=0～50μm時，減振效果最好，在此范圍內(nèi)改變e1取值，減振倍數(shù)大小變化較慢；

(2)e1=50～100μm時，減振效果好，在此范圍內(nèi)改變e1取值，減振倍數(shù)大小變化快；

(3)e1=100～200μm時，減振效果一般，在此范圍內(nèi)改變e1取值，減振倍數(shù)大小變化緩慢；

2)當(dāng)e1=200μm，減振倍數(shù)約等于1，球式自動平衡裝置對系統(tǒng)減振作用不明顯，可以認為無減振作用；

3)當(dāng)e1＞200μm，減振倍數(shù)小于1，球式自動平衡裝置對系統(tǒng)不具有減振作用，相反起到增振作用。

3 結(jié)語

對于球式自動平衡裝置，安裝偏心距的大小將會影響其減振效果，安裝偏心距大可能起不到減振作用，甚至出現(xiàn)增振的現(xiàn)象。對于需要安裝球式自動平衡裝置的回轉(zhuǎn)機械而言，一定范圍內(nèi)提高待安裝部分的加工精度和安裝精度，減振效果將會得到明顯改善；但過高的提高加工和安裝精度，對減振效果的影響也不是很明顯，而且還會增加安裝費用。

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Influence of Installation Eccentricity on Vibration Reduction Effect of Ball-type Automatic Balancers

LI Bin-hua,TAN Qing,CAI Xiao-hua,REN Zhi-xiang

(School of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China)

There are many factors which influence the vibration reduction effect of the ball-type automatic balancer when it is operating at the over-critical speed.In this paper,the mathematical model of the ball-type automatic balancer with installation eccentricity is established and the numerical simulation is done using the parameters determ ined by the experimental testing.Influence of the installation eccentricity on the vibration reduction effect of the ball-type automatic balancer is analyzed.The results show that the smaller the installation eccentricity is,the better the vibration reduction effect is.Within a certain range,improving the accuracy of the rotor’s processing and installation can significantly raise the vibration reduction effect for the ball-type automatic balancer.But over high accuracy of processing and installation may not be necessary since it does not help too much for improving the vibration reduction effect further.Result of the analysis may have application significance for vibration reduction of ball-type automatic balancers.

vibration and wave;installation eccentricity;ball-type automatic balancer;mathematical model; numerical simulation;vibration reduction

TB52；TH113.1

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.019

1006-1355(2014)01-0082-06

2013-01-31

李鑌樺（1988-），男，湖南慈利縣人，在讀碩士，目前從事自動平衡裝置的減振研究。

E-mail:lbhailzx@qq.com