段樹金, 王 冉,2， 金坎輝,3

(1.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.聊城市規(guī)劃建筑設(shè)計院有限公司，山東 聊城 252000;3.河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校，河北 滄州 061001)

一般半剛性節(jié)點連接框架結(jié)構(gòu)分析方法

段樹金1, 王 冉1,2， 金坎輝1,3

(1.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.聊城市規(guī)劃建筑設(shè)計院有限公司，山東 聊城 252000;3.河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校，河北 滄州 061001)

研究對象為任意節(jié)點連接和任意支撐的平面框架。一般梁單元由等截面直桿及其桿端的軸向彈簧、切向彈簧和轉(zhuǎn)動彈簧組成，推導(dǎo)得到此類單元的剛度矩陣、單元在8種基本荷載作用下的等效節(jié)點荷載。采用Matlab語言編寫了適用于一般節(jié)點非線性連接框架的靜力分析程序，非線性形式為指數(shù)函數(shù)或多項式函數(shù)，可以得到結(jié)構(gòu)不同連接剛度下的節(jié)點位移、桿端位移和桿端力。算例顯示出節(jié)點柔度對結(jié)構(gòu)受力和變形的影響。

平面框架；半剛性節(jié)點；三彈簧模型；單元剛度矩陣；等效節(jié)點荷載；非線性分析

0 引言

焊接節(jié)點鋼結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下易發(fā)生脆性破壞，而采用角鋼、螺栓端板、T形板等半剛性節(jié)點連接形式替代剛性連接節(jié)點，可以優(yōu)化分配結(jié)構(gòu)體系的內(nèi)力、增大結(jié)構(gòu)阻尼、減小結(jié)構(gòu)振幅、降低地震作用對結(jié)構(gòu)的危害[1]。目前，國內(nèi)外關(guān)于鋼結(jié)構(gòu)半剛性連接的研究主要集中在框架梁柱連接節(jié)點的轉(zhuǎn)動半剛性方面。王新堂[2]在梁單元桿端引入虛擬旋轉(zhuǎn)彈簧推導(dǎo)單元剛度，得到了平面桿系結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一計算模型。

劉洋 等[3]認(rèn)為實際結(jié)構(gòu)中半剛性節(jié)點不僅具有轉(zhuǎn)動半剛性，而且沿切向和軸向也有一定半剛性，并推導(dǎo)得到了考慮節(jié)點轉(zhuǎn)動半剛性和切向半剛性的單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。胡吉安等研究了梁段拼接問題，將拼接節(jié)點設(shè)計成半剛性，提出的耗能拼接節(jié)點具有和梁相同的初始轉(zhuǎn)動剛度，在正常使用階段不允許拼接處高強(qiáng)螺栓出現(xiàn)滑移，而在彈塑性階段利用拼接處的高強(qiáng)螺栓滑移耗能，可以提高框架結(jié)構(gòu)整體抗震性能[4]。長孔螺栓節(jié)點可用于鋼框架中的梁柱連接，代替焊接，提高節(jié)點處的延性，避免節(jié)點處的應(yīng)力集中和脆性破壞，梁柱連接處的轉(zhuǎn)動變形帶動長孔螺栓節(jié)點產(chǎn)生摩擦耗能。在風(fēng)荷載和小震作用下，高強(qiáng)螺栓拼接節(jié)點不發(fā)生滑移，主體結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，滿足正常使用要求；在大震作用下，拼接板產(chǎn)生滑動，不僅消耗大量地震能量，而且在滑動過程中還改變了原結(jié)構(gòu)的自振頻率和基本振型，減小結(jié)構(gòu)振幅[5]。

柱的拼接研究方面，Snijder et al[6]進(jìn)行的分析與試驗研究結(jié)果表明拼接柱的承載力低于完整柱的承載力；Lindner[7]討論了柱的3種拼接方式(端板連接、翼緣腹板蓋板連接、翼緣蓋板連接)，進(jìn)行模型試驗和有限元數(shù)值分析，將拼接處的不完全連接用傾角和滑移缺陷表示，給出了承載力計算的近似公式。Baniotopoulos[8]研究了螺栓端板拼接的分離問題，建立了數(shù)學(xué)力學(xué)模型和有限元數(shù)值模型。

Ihaddoudene et al[9]在有限元模式中提出采用三彈簧模型，但在推導(dǎo)單元剛度矩陣和載常數(shù)時只考慮了節(jié)點的轉(zhuǎn)動半剛性，而并未計及切向和軸向半剛性的影響。Coelho et al[10]研究了拼接柱的穩(wěn)定問題，采用了考慮轉(zhuǎn)動和切向半剛性的兩彈簧模型，得到了拼接鋼柱的臨界荷載。

Landon et al[11]將半剛性節(jié)點的概念引入支座，把雙角鋼焊接連接歸結(jié)為半剛性支撐，并采用三彈簧表示，通過試驗確定了彈簧參數(shù)。Duan et al[12]提出的榫卯連接鋼框架體系在動載作用下節(jié)點處會產(chǎn)生滑移、擠壓和碰撞，從而起到耗能減震的作用，可以模型化為半剛性節(jié)點連接框架。另外，切向半剛性連接的概念已被引入鋼-混凝土組合梁界面的連接[13-14]；而柔性支座(包括轉(zhuǎn)動、切向和軸向)與半剛性節(jié)點連接屬于同一類問題，可以一并研究，有利于結(jié)構(gòu)體系的優(yōu)化。

因此，建立一種統(tǒng)一的節(jié)點為任意連接的平面桿系計算模型具有重要的理論和現(xiàn)實意義。從平面桿單元的剛度方程出發(fā)，通過在桿端引入虛擬轉(zhuǎn)動、切向和軸向彈簧，由嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法得到一般平面桿系結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一計算模型。

1 單元剛度矩陣和等效節(jié)點荷載推導(dǎo)

1.1 單元模型和基本假定

圖1為具有一般半剛性連接的平面梁單元，即在梁端引入了一個轉(zhuǎn)動彈簧和兩個線彈簧來模擬節(jié)點處的轉(zhuǎn)動、軸向和切向半剛性，K(θ)、K(x)和K(y)分別表示轉(zhuǎn)動剛度、軸向剛度和切向剛度與對應(yīng)位移的關(guān)系函數(shù)，其關(guān)系可以是線性的，也可以是非線性的；剛度無窮大代表剛接，剛度為零代表鉸接。圖1中梁單元，E為彈性模量，I為截面慣性矩，A為截面面積，l為桿長,i為線剛度。

圖1 一般半剛性連接平面梁單元 圖2 桿端力及桿端位移

1.2 單元剛度矩陣

1.2.1 軸向剛度

設(shè)單元桿端分別發(fā)生軸向位移ΔA、ΔB，軸向彈簧線位移ΔUA、ΔUB，連接剛度UKA、UKB與單元端部軸力NA、NB的關(guān)系為ΔUA=NA/UKA，ΔUB=NB/UKB, 忽略剪力和彎矩對軸力的影響，可得軸力與節(jié)點軸向位移的關(guān)系為

(1)

由此可得

(2)

1.2.2 剪切和彎曲剛度

同時考慮單元的節(jié)點轉(zhuǎn)動和切向半剛性。

(1)設(shè)單元桿端分別發(fā)生轉(zhuǎn)角位移θA、θB，螺旋彈簧相對轉(zhuǎn)角θrA和θrB，連接剛度RKA、RKB以及單元端部彎矩MA、MB的關(guān)系為θrA=MA/RKA,θrB=MB/RKB；豎向彈簧的線位移ΔrA、ΔrB，連接剛度KA、KB以及單元端部剪力QA、QB的關(guān)系為ΔrA=QA/KA,ΔrB=QB/KB，可得剛度方程

(3)

(4)

化簡可得

(5)

式中，

(2)設(shè)單元兩端發(fā)生相對線位移Δ，考慮節(jié)點轉(zhuǎn)動和剪切半剛性的剛度方程為

(6)

即，

(7)

式中，

因此，一般半剛性節(jié)點連接單元的剛度矩陣可以表示為

(8)

1.3 單元固端力

基于1.1的假設(shè)，可以得到任意荷載作用下一般半剛性連接單元兩端的固端力。

(1)集中荷載(圖3)。

(9)

(10)

式中，

D1=pRKA(KAKBRKBl2ab2+2iKAKBl2a2b+4iKAKBl2ab2+6iKBRKBab2-6iKARKBa2b+

6iKARKBal2+6iKARKBa2b+6iKARKBab2-6iKBRKBl2b-12i2KBl2b+12i2KAl2a);

D2=-pRKB(KAKBRKAl2a2b+2iKAKBl2ab2+4iKAKBl2a2b-6iKARKAal2+6iKBRKAl2b+

6iKARKAa2b+6iKARKAab2+6iKBRKAa2b+6iKBRKAab2+12i2KBl2b-12i2KAl2a);

D=l2(RKAKAl2KBRKB+4RKBiKAl2KB+4iRKAKAl2KB+12KARKBi2+12KBRKBi2+

12KAi2RKA+12KAKBi2l2+12RKBiRKAKA+12RKBiRKAKB+12KBi2RKA)。

(2)均布荷載(圖4)。

圖3 集中荷載作用 圖4 均布荷載作用

(11)

(12)

式中，

D1=ql2RKA(KKAl2KBRKB+6iKAl2KB-24iKBRKB+48iKARKB+72i2KA-72i2KB);

D2=ql2RKB(-KAl2KBRKA-6iKAl2KB+24iKARKA-48iKBRKA+72i2KA-72i2KB);

D=12(12i2KBRKB+12i2KARKB+12i2KBRKA+12i2KARKA+12i2KAl2KB+

KAl2KBRKARKB+12RKBiKBRKA+12RKBiKARKA+4RKBiKAl2KB+4iRKAKAl2KB)。

(3)三角形分布荷載(圖5)。

(13)

MA=D12D,MB=D2D

式中，

(14)

D1=ql2RKA(3KAKBRKBl2+16iKAKBl2+90iKARKB-90iKBRKB+120i2KA-240i2KB);

D2=ql2RKB(-KAKBRKBl2-7iKAKBl2+15iKARKA-75iKBRKA+60i2KA-120i2KB);

D=30(12i2KBRKB+12i2KARKB+12i2KBRKA+12i2KARKA+12i2KAl2KB+

KAl2KBRKARKB+12RKBiKBRKA+12RKBiKARKA+4RKBiKAl2KB+4iRKAKAl2KB)。

(4)集中力偶(圖6)。

圖5 三角形分布荷載作用 圖6 集中力偶作用

(15)

MA=D1D,MB=D2D

式中，

(16)

D1=mRKA(-l2bKAKBRKB+2l2KAKBia-6liKBRKB+3lbKAKBRKBa+6ilKAKBba+6KBiaRKB-

4l2KAKBib-6KAibRKB-12lKAi2-12lKBi2-6liKARKB+6KAiaRKB-6KBibRKB);

D2=-mRKB(4l2KAKBia+l2KAKBRKAa-2lKAKBib-6lKAKBiba-3lKAKBRKAba+

6liKARKA+12lKAi2+6liKBRKA+12lKBi2+6KAiRKAa-6KAiRKAb+6iRKAKBa-6iRKAKBb);

D=l(12i2KBRKB+12i2KARKB+12i2KBRKA+12i2KARKA+12i2KAl2KB+

KAl2KBRKARKB+12RKBiKBRKA+12RKBiKARKA+4RKBiKAl2KB+4iRKAKAl2KB)。

(5)分布力偶(圖7)。

(17)

MA=D1D,MB=D2D

(18)

式中，

D1=mRKA(2l3KAKBRKB+8l3KAKBi-12i2lKA-12i2lKB+6ilKARKB+6ilRKBKB);

D2=-mRKB(18ilKA+18ilKB+24i2lKA+24i2lKB+2l3iKAKB);

D=12i2KBRKB+12i2KARKB+12i2KBRKA+12i2KARKA+12i2l2KAKB+

l2KAKBRKARKB+12iRKARKBKB+12iRKARKBKA+4iRKBKAKBl2+4iRKAKAKBl2。

(6)軸向集中荷載(圖8)。

圖7 分布力偶作用 圖8 軸向集中荷載作用

(19)

式中，

(7)軸向均布荷載(圖9)。

(20)

式中，

(8)溫差(圖10)。

圖9 軸向均布荷載作用 圖10 溫差作用

(21)

MA=EIα(t2-t1)(RKARKB+6iRKA)h(4RKBi+4RKBi+RKARKB+12i2),MB=-EIα(t2-t1)(RKARKB+6iRKA)h(4iRKB+4iRKB+RKARKB+12i2)(22)

2 算例

采用Matlab語言編寫了適用于非線性節(jié)點連接框架靜力問題的一般分析程序，非線性形式為指數(shù)函數(shù)或多項式函數(shù)，可以得到結(jié)構(gòu)不同連接剛度下的節(jié)點位移、桿端位移和桿端力。

分別對以上3種連接方式的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行加載計算，求得結(jié)構(gòu)在各個荷載步下的水平位移，如圖12所示。從中可以看出，柱腳處采用半剛性連接的結(jié)構(gòu)在滑移出現(xiàn)前，表現(xiàn)出近乎剛接的特性，呈現(xiàn)直線變化，當(dāng)荷載增加到一定值時，柱腳開始滑動，剛度降低，呈現(xiàn)出非線性；而梁柱節(jié)點采用轉(zhuǎn)動半剛性連接的結(jié)構(gòu)其各個荷載步下的位移都比較大，只有在加載初期呈現(xiàn)線性，之后呈現(xiàn)非線性變化。

圖11 結(jié)構(gòu)形式及節(jié)點單元編號圖(單位：m) 圖12 不同連接方式下結(jié)構(gòu)的荷載位移曲線

當(dāng)水平荷載為310 kN時，以上三種連接方式的結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖13所示。可以看出，柱腳采用切向半剛性連接以后結(jié)構(gòu)的彎矩圖與完全剛接的結(jié)構(gòu)彎矩圖相近，各個梁柱的彎矩大小以及變化趨勢幾乎是相同的,橫梁上的彎矩均比較大，整個結(jié)構(gòu)的最大值598 kN·m出現(xiàn)在柱腳處。梁柱節(jié)點考慮了轉(zhuǎn)動半剛性以后橫梁上的彎矩大大減小，梁端彎矩約為剛接時彎矩的1/3，但是柱子上的彎矩逐步增大，特別是在柱腳處，彎矩達(dá)到998 kN.m，相比剛性連接的情況彎矩大幅度增加，整個結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了內(nèi)力重分布。

圖13 三種節(jié)點連接形式下的結(jié)構(gòu)彎矩圖(單位:kN·m)

采用ANSYS軟件中的Combin39非線性彈簧單元模擬節(jié)點的半剛性連接[15]，對算例進(jìn)行驗證，得到了完全相同的結(jié)果，在此不予贅述。

3 結(jié)論

(1)提出了可以同時考慮節(jié)點軸向、剪切和彎曲變形性能的三彈簧梁單元模型，推導(dǎo)得到了單元剛度矩陣以及不同荷載作用下的單元固端力。模型適用于所有節(jié)點連接形式和各種支座；進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時不會增加結(jié)構(gòu)單元的數(shù)量或方程的階數(shù)。

(2)運用Matlab語言編寫了節(jié)點半剛性連接非線性分析通用程序。算例表明節(jié)點或支座為半剛性連接時對結(jié)構(gòu)受力的影響不容忽視；可以構(gòu)造初期為剛性、后期為半剛性的節(jié)點連接，以對應(yīng)不同的受力階段。

(3)這一算法的提出為完善半剛性節(jié)點連接鋼框架設(shè)計及結(jié)構(gòu)減震耗能優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

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(責(zé)任編輯 劉憲福)

Analysis Method for Planar Frames with Generalized Semi-Rigid Connections

Duan Shujin1, Wang Ran1,2， Jin Kanhui1,3

(1.School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043,China;2.Liaocheng city planning and Architectural Design Institute Co., Ltd，Liaocheng 252000, China;3.Hebei Engineering and Technical College,Cangzhou 061001,China)

The planar frame with arbitrary connections and supports is studied. A new beam element is proposed, which consists of uniform bar and three null length springs (along rotational, transverse and axial direction) at each end. The stiffness matrix of the element and equivalent nodal forces subjected to eight kinds of different loads are derived. A program is compiled in Matlab language for calculation of static mechanical behaviour of generalized frame, in which the connection nonlinear relationship is expressed as exponential function or polynomial function. the results of the rigid frame and the semi-rigid frames are Compared, showing the influence of connection flexibilities on structure forces and deformation.

planar frame; semi-rigid joint; three-springs mechanical model; stiffness matrix of element; equivalent nodal force vector;non-linear analysis

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2014.03.01

2013-06-04

段樹金 男 1955年出生 教授

TU311

A

2095-0373(2014)03-0001-08