劉慶，王昌

（1.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課部，河南 新鄉(xiāng) 453006；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

Zedeh于1965年首先提出了Fuzzy集理論［1］，一般稱為經(jīng)典模糊集.在隨后的幾十年中，它不斷得到完善和發(fā)展，并在多個(gè)領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，但不足之處是Fuzzy集是單值隸屬度，在表示不確定信息時(shí)有一定的局限性.為此，臺(tái)灣學(xué)者Gua和Buehrer于1993年推廣了Fuzzy集，提出了Vague集理論［2］，它有真假2個(gè)隸屬度，從支持和反對(duì)2方面來(lái)表達(dá)不確定信息，論域中的元素與論域上集合之間的關(guān)系從“一定程度上屬于”推廣到“在一定范圍內(nèi)的屬于”.這種對(duì)論域中的元素與論域上集合之間的新界定，可以更準(zhǔn)確、合理、廣泛的表示不確定信息.正是基于Vague集比較優(yōu)良的表述性，近些年，它在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、智能控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［3－8］.然而這2種模糊理論有1個(gè)共同的不足之處，就是只能處理部分的不確定信息，為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)者molodtsov在文獻(xiàn)［9］中提出了軟集的概念，接下來(lái)學(xué)者Wei在文獻(xiàn)［10］中將Vague集和軟集的概念結(jié)合起來(lái)，提出了Vague軟集的概念，王昌在文獻(xiàn)［11－12］中進(jìn)一步完善了Vague軟集的相關(guān)理論.本文在此基礎(chǔ)了，提出了一種新的計(jì)算Vague軟集間相似度量的公式，給出合理化的證明，并基于此建立了工程項(xiàng)目造價(jià)的1個(gè)快速估算模型.快速估算在很多領(lǐng)域具有重要作用，特別是建筑施工行業(yè)，無(wú)論是前期的投資估算還是招標(biāo)時(shí)價(jià)格的確定，都必須進(jìn)行較為精確的快速估算，因此全面準(zhǔn)確地估算工程項(xiàng)目造價(jià)，是整個(gè)決策階段造價(jià)管理的重要內(nèi)容.隨著現(xiàn)代建筑工程項(xiàng)目結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，規(guī)模也越來(lái)越大，造成準(zhǔn)確的快速估算越來(lái)越困難，因此迫切需要快速、實(shí)用、簡(jiǎn)捷的建筑工程快速估價(jià)模型.大量的工程實(shí)踐表明，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)理論建立的估算模型，對(duì)工程招標(biāo)等效果非常明顯，有利于節(jié)省人力物力，提高中標(biāo)率.Vague軟集作為一種優(yōu)良的模糊信息處理工具，對(duì)模糊信息的分析處理比普通模糊集更靈活，更強(qiáng)大.本文以Vague軟集理論為原理，根據(jù)Vague軟集的相似度量公式，構(gòu)造了1個(gè)工程項(xiàng)目造價(jià)的快速估算模型，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該模型的合理性和有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［2］設(shè)U 是一個(gè)點(diǎn)（對(duì)象）空間，其中任意一個(gè)元素用x表示，U 上的一個(gè)Vague集用一個(gè)真隸屬度函數(shù)tA（x）和一個(gè)假隸屬度函數(shù)fA（x）表示，tA（x）是從支持x 的證據(jù)導(dǎo)出的x 的肯定隸屬度的下界，fA（x）是從反對(duì)x的證據(jù)所導(dǎo)出的x 的否定隸屬度的下界.tA（x）和fA（x）將區(qū)間［0，1］中的一個(gè)實(shí)數(shù)和U中的每一點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，即

稱［tA（x），1－fA（x）］為x 在A 中的Vague值，記為A（x），論域U 上Vague集的全體用V（U）表示.

定義2 稱πA（x）＝1－tA（x）－fA（x）（0≤πA（x）≤1）為元素x對(duì)Vague集A 的未知度，它表征人們對(duì)事物認(rèn)識(shí)的不確定度，未知度越大，認(rèn)識(shí)的精度越低.

定義3［9］設(shè)U 是一個(gè)論域，P（U）是U 的冪集，E 是一個(gè)參數(shù)集，A ?E，且F：A →P（U）是一個(gè)映射，稱（F，A）為U 上的一個(gè)軟集.

定義4［10］設(shè)U 是一個(gè)論域，E 是一個(gè)參數(shù)集，A ?E，且F：A →V（U）是一個(gè)映射，即?e∈A，F(xiàn)（e）是U 上的一個(gè)Vague集，稱（F，A）為U 上的一個(gè)Vague軟集，用VSS（U）表示.

例：令（F，E）為Vague軟集，論域U ＝｛x1，x2，x3，x4｝表示父輩4個(gè)人的集合，而參數(shù)E＝｛e1，e2，e3｝為子輩的集合，Vague軟集（F，E）表示父輩和子輩的相像程度.

論域U 上的參數(shù)集族｛F（ei），i＝1，2，3｝即為Vague軟集，用矩陣形式表示為

2 Vague軟集的相似度量

Vague集的相似度量已發(fā)展得比較成熟，不少學(xué)者都提出了比較合理的相似度量公式［3－4，13－17］，Vague軟集作為一種處理模糊信息的工具，是Vague集的一種推廣，所以研究Vague軟集的相似度量公式時(shí)，可以借鑒Vague集的相似度量公式.目前提出Vague軟集相似度量公式的很少［12］，Vague軟集具有真、假隸屬度和未知度3個(gè)重要特征，所以考慮Vague軟集相似度量的時(shí)候，必須同時(shí)考慮這3種因素，結(jié)合Vague集相似度量方面的共識(shí)，提出Vague軟集相似度量的一般準(zhǔn)則.

VSS（U）表示論域U 上的Vague軟集，E 是參數(shù)集，（F，E），（G，E），（H，E）∈VSS（U），函數(shù)M：VSS（U）×VSS（U）→［0，1］稱為Vague軟集間的相似度量［12］，若其滿足以下準(zhǔn)則：

準(zhǔn)則1 有界性 0≤M（（F，E），（G，E），≤1.

準(zhǔn)則2 對(duì)稱性 M（（F，E），（G，E））＝M（（G，E），（F，E））.

準(zhǔn)則3 歸一性 M（（F，E），（G，E））＝1?（F，E）＝（G，E）

準(zhǔn)則4 單調(diào)性 若（F，E）?（G，E）?（H，E），則

M（（F，E），（H，E））≤min（M（（F，E），（G，E）），M（（G，E），（H，E）））.

文獻(xiàn)［12］給出了2個(gè)Vague軟集間的相似度量，但是不足之處是沒(méi)有考慮參數(shù)權(quán)重，造成結(jié)果與實(shí)際有一定偏差.接下來(lái)，結(jié)合各參數(shù)的權(quán)重，給出Vague軟集間的一種比較合理的相似度量公式.

定理1 設(shè)U ＝｛x1，x2，…，xn｝是一個(gè)論域，E＝｛e1，e2，…，en｝是一個(gè)參數(shù)集，VSS（U）表示論域U 上的Vague軟集.已知（F，E），（G，E）∈VSS（U），則稱

為Vague軟集（F，E），（G，E）的相似度量，其中λi是ei的權(quán)重，且其 中tF（ei）（xj），fF（ei）（xj），πF（ei）（xj）分別是Vague軟集（F，E）中元素xj的真、假隸屬度和未知度，tG（ei）（xj），fG（ei）（xj），πG（ei）（xj）分別是Vague軟集（G，E）中元素xj的真、假隸屬度和未知度.

證明：接下來(lái)證明滿足Vague軟集間相似度量的一般準(zhǔn)則

準(zhǔn)則1 由于0≤｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜≤1，0≤｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜≤1，

故

所以 0≤｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜≤4，

即 0≤M（（F，E），（G，E））≤1.

準(zhǔn)則2 由于｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝｜tG（ei）（xj）－tF（ei）（xj）｜＋｜fG（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜＋｜πG（ei）（xj）－πF（ei）（xj）｜，故M（（F，E），（G，E））＝M（（G，E），（F，E））.

準(zhǔn)則3 由于M（（F，E），（G，E））＝1，所以

｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝0，故｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＝｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＝｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝0，

所以tF（ei）（xj）＝tG（ei）（xj），fF（ei）（xj）＝fG（ei）（xj），πF（ei）（xj）＝πG（ei）（xj），即（F，E）＝（G，E）.

準(zhǔn)則4 證明M（（F，E），（H，E））≤M（（F，E），（G，E））.

因（F，E）?（G，E）?（H，E），故tF（ei）（xj）≤tG（ei）（xj）≤tH（ei）（xj），fF（ei）（xj）≥fG（ei）（xj）≥fH（ei）（xj），｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜≤｜tF（ei）（xj）－tH（ei）（xj）｜，｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜≤｜fF（ei）（xj）－fH（ei）（xj）｜，

又 ｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝｜（1－tF（ei）（xj）－fF（ei）（xj））－（1－tG（ei）（xj）－fG（ei）（xj））｜＝｜tG（ei）（xj）－tF（ei）（xj）＋fG（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜≤｜tH（ei）（xj）－tF（ei）（xj）＋fH（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜＝｜（1－tF（ei）（xj）－fF（ei）（xj））－（1－tH（ei）（xj）－fH（ei）（xj））｜＝｜πF（ei）（xj）－πH（ei）（xj）｜.

故 ｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜≤

｜tF（ei）（xj）－tH（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fH（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πH（ei）（xj）｜.

即 M（（F，E），（H，E））≤M（（F，E），（G，E））.

同理可得 M（（F，E），（H，E））≤M（（H，E），（G，E））.

故 M（（F，E），（H，E））≤min（M（（F，E），（G，E）），M（（G，E），（H，E）））.

3 基于Vague軟集相似度的快速估價(jià)模型

快速估價(jià)在房地產(chǎn)、工程項(xiàng)目、企業(yè)投資咨詢、控制決策等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.接下來(lái)，以Vague軟集的相似度量為依據(jù)建立快速估價(jià)模型，進(jìn)行模糊估價(jià).

3.1 構(gòu)造工程造價(jià)特征因素集的特征值矩陣

雖然2個(gè)完全一致的工程是不存在的，但是決定其造價(jià)的主要特征因素卻是相同的，令C 代表特征因素集合，則工程項(xiàng)目的主要特點(diǎn)可以用特征因素集C ＝｛基礎(chǔ)類型，結(jié)構(gòu)類型，門窗工程，層數(shù)層高，內(nèi)外墻裝飾，樓地面工程｝來(lái)反映.盡管不存在2個(gè)完全相同的工程，但在大量已完成的建筑工程中，總可以找到與擬建工程項(xiàng)目相似的工程，稱為典型工程.它們?cè)跇?gòu)造、材料、建設(shè)施工方法等方面有很多相似之處，所以根據(jù)已有典型工程項(xiàng)目的單方造價(jià)可以快速估算出擬建項(xiàng)目的單方造價(jià)，進(jìn)而由建筑面積估算出總造價(jià).

為了反映各特征因素對(duì)工程項(xiàng)目造價(jià)影響的大小，各特征因素應(yīng)賦予不同權(quán)重.賦權(quán)的方法很多，筆者根據(jù)文獻(xiàn)［18］采用經(jīng)典的層次分析法（AHP），根據(jù)典型工程、擬建工程項(xiàng)目的特征因素?cái)?shù)據(jù)，以及綜合單價(jià)和權(quán)重等數(shù)據(jù)，計(jì)算各建筑工程對(duì)應(yīng)的特征值［19］

如果有n個(gè)典型工程項(xiàng)目的造價(jià)資料，每個(gè)典型工程有m 個(gè)特征因素，則可以構(gòu)建如下的特征矩陣：

3.2 建立典型與擬建項(xiàng)目的Vague集矩陣

根據(jù)經(jīng)典模糊集理論確定工程隸屬度［19］，在這里，工程隸屬度是指典型工程的特征值隸屬于擬建項(xiàng)目特征值的大小程度，計(jì)算公式如下：

其中，rij為典型工程j的特征因素i對(duì)擬估項(xiàng)目的隸屬度；Cij為典型工程j的特征因素i的特征值；Cj為擬估工程元素i的特征值.根據(jù)式（2）可將式（1）的特征值矩陣Cij轉(zhuǎn)化為典型工程對(duì)擬估項(xiàng)目的隸屬度矩陣rij，因隸屬度矩陣R 是普通模糊集，故需構(gòu)造對(duì)應(yīng)的Vague集矩陣.一般情況下，分項(xiàng)工程在分部工程所占比例是由設(shè)計(jì)單位決定的確定值，而分項(xiàng)工程的單價(jià)則存在一定的不確定性，且有相應(yīng)的上下限，也就是一個(gè)區(qū)間數(shù).故根據(jù)式（1）和式（2）所得到的特征值矩陣也是區(qū)間數(shù)矩陣，對(duì)應(yīng)式（3）求出的隸屬度矩陣也是區(qū)間數(shù)矩陣.設(shè)m，n為區(qū)間數(shù)，根據(jù)區(qū)間數(shù)除法定義：m／n＝［m－／n＋，m＋／n－］，可以把隸屬度矩陣rij轉(zhuǎn)換成Vague集矩陣Aij.

其中rij為典型工程j 的特征因素i對(duì)擬估工程的真隸屬度tij，r′ij＝1－fij，其計(jì)算公式為

建立Vague集矩陣Aij之后，就可以按照前面所定義的Vague軟集間相似度量公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算.最后，求出全部典型工程與擬估工程的相似度后，取相似度最大的典型工程造價(jià)作為擬估工程項(xiàng)目估價(jià)的基數(shù).

3.3 估算擬建項(xiàng)目的造價(jià)

設(shè)相似度值最大的典型工程單方造價(jià)為E′，造價(jià)指數(shù)為e＊，擬建工程的單方造價(jià)是E，造價(jià)指數(shù)為e，則

4 模型應(yīng)用實(shí)例分析

某地欲新建一綜合辦公樓，擬定特征元素集C ＝｛層高，基礎(chǔ)形式，門窗類型，內(nèi)墻及裝飾，外墻及裝飾，樓地面工程｝，詳細(xì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.根據(jù)快速估價(jià)的要求，先從當(dāng)?shù)氐慕ㄖこ添?xiàng)目中選取4個(gè)典型項(xiàng)目，按照上述的估價(jià)方法和步驟對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行快速估算.

表1 某辦公樓特征因素?cái)?shù)據(jù)表Tab.1 Table of feature factors of a building

步驟1 根據(jù)公式（2），構(gòu)造特征值矩陣

類似可得擬建工程特征因素集向量

C′＝（［3.2，3.2］［2456，2922］［975，1102.5］［6500，7200］［760，850］［1368，1668］）T.

步驟2 根據(jù)公式（3），（4），（5）以及區(qū)間數(shù)除法規(guī)則構(gòu)造典型工程項(xiàng)目對(duì)擬建工程的Vague集矩陣

顯然擬建工程H 全部特征值對(duì)自身的Vague集隸屬度向量為

A′＝（［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］）T.

步驟3 根據(jù)Vague軟集相似度量公式

其中，（F，E）相當(dāng)于Vague集矩陣A 的每一列，（G，E）相當(dāng)于擬建工程的隸屬度向量.計(jì)算典型工程項(xiàng)目H1，H2，H3，H4和擬建項(xiàng)目H 的的相似度分別為M1＝0.918 3，M2＝0.937 5，M3＝0.924 2，M4＝0.915 4，可見(jiàn)典型工程H4與擬建項(xiàng)目相似程度最大.

步驟4 估算擬建工程項(xiàng)目的造價(jià)

查詢典型工程項(xiàng)目H3當(dāng)時(shí)的單方造價(jià)為E′＝1 140.86元／m2，造價(jià)指數(shù)e＊＝1.26，而擬建工程當(dāng)前的造價(jià)指數(shù)e＝1.44，則根據(jù)公式（7），可得擬建工程單方造價(jià)為

E ＝E′·（e／e＊）＝1 140.86×（1.44／1.26）＝1 303.84元／m2.

根據(jù)建筑面積還可進(jìn)一步估出總價(jià).

5 結(jié)束語(yǔ)

目前，快速估算是數(shù)學(xué)與工程、管理等交叉學(xué)科的一個(gè)重要研究方向，特別是在建筑工程和投資預(yù)算領(lǐng)域.用傳統(tǒng)的Fuzzy數(shù)學(xué)、灰色數(shù)學(xué)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等進(jìn)行的估價(jià)模型已經(jīng)取得了明顯的效果，其特征是速度快，應(yīng)用范圍較廣.在現(xiàn)實(shí)工作中，往往需要在還不清楚設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，估算出建筑工程項(xiàng)目的造價(jià)，若采用一般的預(yù)算方法，很難做到，但如果采用模糊數(shù)學(xué)方法，只需要要知道幾個(gè)主要參數(shù)，便可估算出其造價(jià)，而且估算出的結(jié)果比經(jīng)驗(yàn)推算出的造價(jià)結(jié)果要準(zhǔn)確科學(xué)，更具有實(shí)用價(jià)值.然而傳統(tǒng)模糊理論在處理數(shù)據(jù)方面，存在信息不全面、中間值容易丟失等不足.為此本文引入了Vague軟集相似度量公式來(lái)建立快速估價(jià)模型，Vague軟集是模糊數(shù)學(xué)近幾年發(fā)展的一個(gè)重要分支，該方法具有良好的動(dòng)態(tài)和信息全面性，借助區(qū)間數(shù)可以精確表達(dá)綜合單價(jià)的不確定性，為快速估價(jià)研究領(lǐng)域提供了一種新的視角和途徑.從應(yīng)用實(shí)例模型分析可以看出，本文建立的快速估價(jià)模型對(duì)于工程項(xiàng)目的預(yù)算快速報(bào)價(jià)，是一種可行有效的方法.方法不足之處在于Vague集的運(yùn)算量比較大，構(gòu)造隸屬度矩陣的過(guò)程比普通模糊集復(fù)雜，但是若能借助于計(jì)算機(jī)，通過(guò)編制待估算工程造價(jià)的電算化程序，把大量典型工程的主要特征值整理后輸入計(jì)算機(jī)，通過(guò)電腦在眾多的典型工程中查找與擬建工程項(xiàng)目相似度最大的工程，可以大量簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，更快速地估算出擬建工程項(xiàng)目的單方造價(jià)，更好地?cái)U(kuò)大它的應(yīng)用范圍.

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