胡林林，徐權(quán)，易奔，郭長(zhǎng)建，張鋼

(1.人本集團(tuán) 技術(shù)中心，上海 201411；2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 軸承研究所，上海 200072)

高速主軸軸承的動(dòng)態(tài)性能直接影響電主軸單元的工作質(zhì)量。實(shí)際使用表明，絕大多數(shù)高速電主軸軸承的損壞形式為保持架損壞[1]，因此，對(duì)保持架運(yùn)行穩(wěn)定性進(jìn)行分析至關(guān)重要。

文獻(xiàn)[2]用ADAMS對(duì)存在缺陷的深溝球軸承進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，主要分析徑向游隙對(duì)軸承自然頻率的影響。文獻(xiàn)[3]利用ADAMS對(duì)角接觸球軸承進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[4]利用ADAMS參數(shù)化功能以及二次開(kāi)發(fā)，建立了滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)分析模塊，與傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析軟件相比，分析效率顯著提高。

分形理論從非線性復(fù)雜系統(tǒng)自身入手，以自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的幾何形體以及社會(huì)活動(dòng)中廣泛存在的無(wú)序而具有自相似性的系統(tǒng)為研究對(duì)象[5]，并以一種定量的方法將其展現(xiàn)出來(lái)，在諸多領(lǐng)域中均得到了廣泛應(yīng)用[6-8]。在實(shí)際應(yīng)用中，通常所說(shuō)的分形維數(shù)是指盒維數(shù)。下文借助盒維數(shù)法來(lái)定量描述在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)及軸向載荷下的保持架質(zhì)心軌跡圖像，并通過(guò)計(jì)算盒維數(shù)值來(lái)反映軌跡的不規(guī)則程度，比較保持架的運(yùn)行穩(wěn)定性，以確定最佳的保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 ADAMS碰撞力的定義

ADAMS根據(jù)Hertz接觸理論，采用impact函數(shù)提供的非線性等效彈簧阻尼模型作為接觸力的計(jì)算模型。在ADAMS中，碰撞力定義為[9]

(1)

式中：q0為2個(gè)碰撞物體的初始距離；q為2物體碰撞過(guò)程中的實(shí)際距離；dq/dt為2個(gè)物體間距離隨時(shí)間的變化率，即速度；K為接觸剛度；e為碰撞指數(shù)；cmax為最大阻尼系數(shù)；d為刺入深度，其決定了何時(shí)阻尼達(dá)到最大。

當(dāng)利用ADAMS對(duì)軸承進(jìn)行分析時(shí)，需要確定的輸入?yún)?shù)有K，e，cmax和d。

1.1 接觸剛度

已知軸承工況及轉(zhuǎn)速，通過(guò)Newton迭代法求解由鋼球平衡方程、變形相容方程以及軸承平衡方程組成的非線性方程組[10]，即可求出鋼球與內(nèi)、外圈溝道的接觸載荷與接觸角。

已知接觸載荷與接觸角，根據(jù)Hertz接觸理論可得鋼球與軸承內(nèi)、外溝道的接觸剛度為[11]

(2)

(3)

式中：k為橢圓率參數(shù)；Γ為第一類(lèi)橢圓積分；ε為第二類(lèi)橢圓積分；E′為等效彈性模量；Q為兩接觸物體的接觸載荷；Σρ為兩接觸物體主曲率和。

通過(guò)Hertz接觸簡(jiǎn)化解[12]的方法，即可求得k，Γ和ε。

1.2 碰撞指數(shù)

由(1)式可知，碰撞指數(shù)e反映了材料的非線性程度，推薦金屬與金屬材料為1.5；橡膠材料為2，文中取1.5。

1.3 最大阻尼系數(shù)

最大阻尼系數(shù)cmax表征碰撞能量的損失。其實(shí)際值需通過(guò)試驗(yàn)獲得，通常取值為接觸剛度的0.1%～1%。

1.4 刺入深度

刺入深度d表征在最大阻尼時(shí)，鋼球侵入內(nèi)、外圈溝道的深度。剛碰撞時(shí)，沒(méi)有阻尼力，隨著侵入深度增大，阻尼力加大，直到出現(xiàn)最大阻尼力。

由碰撞動(dòng)力學(xué)模型可知，當(dāng)2個(gè)物體發(fā)生接觸時(shí)就會(huì)產(chǎn)生阻尼,并且阻尼系數(shù)在一次完整的碰撞過(guò)程中是不變的,故d的取值應(yīng)該越小越好。同時(shí)考慮到ADAMS中的數(shù)值收斂性,一般可采用ADAMS中的推薦值，d=0.01 mm。

2 分形維數(shù)的計(jì)算

隨著信息處理技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量的圖形圖像是以數(shù)字圖像的形式獲得的，并且可以轉(zhuǎn)化為數(shù)字圖像，最終得到由一系列二進(jìn)制數(shù)字(0或1)表示的二維矩陣(二值圖)，可以對(duì)二值圖進(jìn)行分析求數(shù)字圖像的盒維數(shù)。

求解盒維數(shù)的具體步驟[13]是：(1) 將圖像二值化處理，使圖像上的每個(gè)像素點(diǎn)轉(zhuǎn)換為白或黑色，得到1個(gè)數(shù)據(jù)文件，其行列數(shù)分別對(duì)應(yīng)于二值圖的行列數(shù)；(2) 將得到的數(shù)據(jù)文件劃分為若干塊，并使每塊的行數(shù)和列數(shù)均為k，把所有包含(0或1)的塊的個(gè)數(shù)記作Nk。通常取k=1，2，4，…，2i，即以1，2，4，…，2i個(gè)像素點(diǎn)的尺寸為邊長(zhǎng)做塊劃分，從而得到盒子數(shù)N1，N2，N4，…，N2i。

由于像素點(diǎn)的尺寸δ= 圖像長(zhǎng)度L/圖像一行中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以行和列都由k個(gè)像素點(diǎn)組成的塊的邊長(zhǎng)為δk=kδ(k=1，2，4，…，2i)。對(duì)于一個(gè)具體的圖像，δ為常數(shù)，因此在具體計(jì)算時(shí)可以直接用k值代替δk。在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)平面內(nèi)，以最小二乘法用直線擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)(logδk，logNk)，所得到的直線斜率的負(fù)值就是該圖像的盒維數(shù)。

3 實(shí)例分析

以高速內(nèi)圓磨床電主軸支承軸承為例，利用ADAMS建立的參數(shù)化模型，對(duì)不同的保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)及工況進(jìn)行分析。圖1為支承軸承的參數(shù)化模型，該三維模型已添加了各種驅(qū)動(dòng)、約束和作用力。表1為支承軸承的參數(shù)。表2為通過(guò)第1小節(jié)計(jì)算得出的ADAMS中所施加的鋼球與內(nèi)、外圈的接觸參數(shù)。將接觸參數(shù)賦予ADAMS中的碰撞力公式，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。

表1 支承軸承參數(shù)

表2 鋼球與內(nèi)、外圈接觸參數(shù)

3.1 保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

保持架質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡可以反映出保持架在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性較好的保持架質(zhì)心軌跡應(yīng)為清晰規(guī)則的圓形。

軸承徑向載荷20 N，軸向載荷70 N，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min條件下，不同引導(dǎo)間隙值時(shí)保持架質(zhì)心軌跡如圖2所示，其中Cg=0.13 mm為原始設(shè)計(jì)值。

圖2 不同引導(dǎo)間隙時(shí)保持架質(zhì)心軌跡圖

軸承徑向載荷20 N，軸向載荷70 N，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min條件下，不同兜孔間隙值時(shí)保持架質(zhì)心軌跡如圖3所示，其中Cs=0.274 mm為原始設(shè)計(jì)值。

從圖2和圖3中可以看出，在軸承初始啟動(dòng)時(shí)，鋼球與保持架之間由靜止到碰撞，從圖像中的(0,0)點(diǎn)開(kāi)始，會(huì)導(dǎo)致保持架質(zhì)心有一段不規(guī)則的曲線。而在正常運(yùn)行狀態(tài)下，保持架質(zhì)心軌跡的理想圖像應(yīng)為：軌跡曲線重合度高，疊加而成的圓形圖案規(guī)則。

圖3 不同兜孔間隙時(shí)保持架質(zhì)心軌跡圖

從圖2和圖3可見(jiàn)，Cg和Cs值不同時(shí)保持架的質(zhì)心軌跡比較相似，很難用肉眼分辨出優(yōu)劣。故通過(guò)分形理論的盒維數(shù)來(lái)定量描述其不規(guī)則程度，計(jì)算出的盒維數(shù)值越小，表明保持架質(zhì)心軌跡越規(guī)則，保持架運(yùn)行穩(wěn)定性越好；反之，保持架運(yùn)行穩(wěn)定性越差。根據(jù)盒維數(shù)的原理，采用MATLAB編制程序，對(duì)圖2和圖3中的保持架質(zhì)心軌跡進(jìn)行圖像處理和計(jì)算，得到表3中的盒維數(shù)值。

表3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下保持架質(zhì)心軌跡盒維數(shù)值

從表3可以看出，隨著Cg的逐漸增大，其盒維數(shù)值先減小后增大再減小，呈波動(dòng)趨勢(shì)，說(shuō)明引導(dǎo)間隙過(guò)大或過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致保持架的不穩(wěn)定性。隨著Cs的逐漸增大，其盒維數(shù)值同樣呈現(xiàn)波動(dòng)狀態(tài)。

從仿真結(jié)果看，當(dāng)保持架與外圈引導(dǎo)間隙取0.13 mm、保持架與鋼球的兜孔間隙取0.20 mm時(shí)，其盒維數(shù)值最小，即保持架運(yùn)行最穩(wěn)定，這與文獻(xiàn)[1]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合，從而證明ADAMS仿真方法是相對(duì)可靠的。

3.2 工況參數(shù)的影響

徑向載荷為0，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min時(shí)，不同軸向載荷條件下軸承保持架的質(zhì)心軌跡如圖4所示。

圖4 不同軸向載荷下保持架質(zhì)心軌跡圖

由圖4可以看出，當(dāng)軸承只受軸向力時(shí)，保持架的質(zhì)心運(yùn)行軌跡均比較規(guī)則。通過(guò)計(jì)算各個(gè)軸向力下的盒維數(shù)值(表4)可知，適當(dāng)增大軸承的軸向力，保持架不穩(wěn)定程度會(huì)減小，這是由于大的軸向力可以保證鋼球始終都能與套圈保持接觸，限制了球的滑動(dòng)，進(jìn)而減少了鋼球與保持架間的碰撞，使保持架運(yùn)行趨于穩(wěn)定。但是軸向力不能過(guò)大，如仿真中200 N時(shí)，其軌跡圖盒維數(shù)值較大，保持架質(zhì)心軌跡相對(duì)不規(guī)則。由表4中的盒維數(shù)值可知，軸向力150 N時(shí)保持架的穩(wěn)定性?xún)?yōu)于200 N時(shí)。

表4 不同軸向力下保持架質(zhì)心軌跡盒維數(shù)值

4 結(jié)論

(1) 利用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件可以較為準(zhǔn)確地研究軸承的動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)后處理模塊更便于觀察保持架的運(yùn)行軌跡及軸承受力情況，大大提高了分析效率。

(2) 利用ADAMS進(jìn)行軸承仿真的難點(diǎn)在于對(duì)接觸的設(shè)置和接觸參數(shù)的確定，準(zhǔn)確的工況參數(shù)及接觸參數(shù)能夠使仿真更加接近實(shí)際。

(3) 保持架兜孔間隙和引導(dǎo)間隙對(duì)其運(yùn)行穩(wěn)定性有很大影響，過(guò)大或過(guò)小都會(huì)使保持架穩(wěn)定性變差。通過(guò)仿真確定引導(dǎo)間隙取0.13 mm，兜孔間隙取0.20 mm較佳。

(4) 分形理論能夠定量描述保持架質(zhì)心運(yùn)行軌跡的不規(guī)則性，可為判定保持架運(yùn)行穩(wěn)定性提供參考。