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        球與平面彈塑性接觸的計算分析

        2014-07-22 00:43:34官春平金宏平
        軸承 2014年8期
        關(guān)鍵詞:塑性變形彈塑性屈服

        官春平,金宏平

        (1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣州 510300;2.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機械工程學(xué)院,湖北 十堰 442002)

        滾動軸承作為機械設(shè)備的關(guān)鍵部件,其運行狀態(tài)直接影響到整個機械系統(tǒng)的性能。據(jù)統(tǒng)計,約30%的旋轉(zhuǎn)機械故障由滾動軸承的損傷造成。對于小型軸承,由于承受的載荷較小,通常假定軸承的內(nèi)、外圈為完全剛性,而滾動體為彈性變形,然后采用Hertz接觸理論研究軸承的接觸應(yīng)力和變形等。但對于大型軸承,如風(fēng)力發(fā)電機軸承、工程機械的轉(zhuǎn)盤軸承等,由于其支承結(jié)構(gòu)本身受載變形較大,內(nèi)、外圈滾道與滾動體在接觸點會發(fā)生一定程度的塑性變形,這種情況超出了Hertz彈性接觸理論的適用范圍,因此必須采用彈塑性接觸分析來研究軸承的接觸載荷、接觸應(yīng)力和接觸變形等。

        由于軸承的結(jié)構(gòu)和所承受的工作載荷均具有對稱性,因此可以將其等效為單個滾動體與內(nèi)、外圈的接觸問題。而對于球軸承,為了便于分析,一般將其簡化為球與平面的接觸。根據(jù)接觸力學(xué)理論,在球與平面的接觸過程中,當接觸變形較小時,接觸體處于完全彈性接觸狀態(tài),可以采用Hertz接觸理論進行分析。當接觸變形超過某一值后,接觸體將發(fā)生屈服而出現(xiàn)彈塑性變形。最初的塑性變形出現(xiàn)在接觸體內(nèi)部,塑性區(qū)域位于接觸中心的正上方,而接觸區(qū)域仍然處于彈性變形階段。隨著外部載荷增加,接觸變形進一步增大,接觸體的塑性變形區(qū)域逐漸擴大,處于接觸區(qū)域的材料也會發(fā)生屈服,此時,接觸區(qū)域處于彈塑性變形階段[1]。由于材料的彈塑性變形使得球與平面的接觸問題復(fù)雜化,不僅存在接觸的非線性和幾何變形的非線性,還存在材料塑性變形的非線性,以致無法用解析模型來描述球與平面的接觸過程。為此,不少學(xué)者根據(jù)接觸力學(xué)和變形機理推導(dǎo)了多種近似解析模型,但由于目的不同,這些模型之間存在較大差別[2-6]。如果滾動體長期處于彈塑性或塑性接觸狀態(tài),會嚴重影響軸承的壽命和旋轉(zhuǎn)精度。因此,有必要對球與平面發(fā)生彈塑性接觸時的參數(shù)進行研究,以便為軸承的設(shè)計或選用提供技術(shù)支持。

        1 球與平面彈塑性接觸理論分析

        根據(jù)Tabor理論[1],當球與平面的接觸狀態(tài)從完全彈性接觸階段轉(zhuǎn)變到完全塑性變形階段,即處于彈塑性變形階段時,其最大接觸應(yīng)力p0將從0.6H增加到3H(H為材料的硬度)。由于該階段接觸區(qū)域既有彈性變形又有塑性變形,因此接觸半徑a、接觸載荷F與接觸變形δ之間的關(guān)系比較復(fù)雜,此時接觸應(yīng)力分布也不能用Hertz接觸應(yīng)力分布公式來描述。針對這種情況,文獻[7]將接觸應(yīng)力進行分區(qū)假設(shè):接觸區(qū)域的中間部分存在塑性變形,其接觸應(yīng)力均勻分布且等于完全塑性變形時的接觸應(yīng)力;而接觸區(qū)域的其他部分處于彈性變形階段,其接觸應(yīng)力為Hertz接觸應(yīng)力分布,并從最大接觸應(yīng)力逐漸變?yōu)?。文獻[8]在此基礎(chǔ)上提出了“有限接觸應(yīng)力”的接觸應(yīng)力分布模型,如圖1所示,其接觸應(yīng)力表達式為

        圖1 沿接觸面的接觸應(yīng)力分布

        (1)

        式中:E1,E2分別為球與平面材料的彈性模量;ν1,ν2分別為球與平面的泊松比;Re為材料的屈服強度;R為球的半徑;a為接觸半徑;b為接觸區(qū)域中心到彈塑性接觸應(yīng)力分界點的徑向距離。

        根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件,在分界點處有

        p(b)=CRe。

        (2)

        接觸半徑a遠小于球半徑R, 因此可得C的近似值為2.8,即在彈塑性變形階段,接觸區(qū)域中塑性變形部分的接觸應(yīng)力為常量。然而,根據(jù)文獻[9]可知,在發(fā)生初始屈服時,p0=1.6Re。根據(jù)Tabor理論[1],當球與平面接觸處于完全塑性變形時,p0=(2.8~3)Re。因此C應(yīng)該是與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的變量,有必要對“有限應(yīng)力分布”的假設(shè)進行適當修正,即

        (3)

        式中:k為與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的函數(shù)。

        將(3)式在整個接觸區(qū)域進行積分,可以得到球與平面接觸的接觸載荷為

        (4)

        根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件,當r=b時,由(3)式可得

        (5)

        對(5)式進行數(shù)學(xué)變換可得

        (6)

        由(4)和(6)式可得

        (7)

        在(7)式右邊,只有k和a是未知數(shù),而k無法通過解析法求得,a無法準確測量,因而通過有限元仿真對其進行求解。

        根據(jù)(7)式計算出球與平面接觸的平均接觸應(yīng)力pm為

        (8)

        當球與平面的接觸狀態(tài)從彈性變形轉(zhuǎn)變到彈塑性變形時[9],其臨界點的平均接觸應(yīng)力pmy為

        (9)

        式中:Fy和ay分別為接觸變形處于臨界屈服狀態(tài)時的接觸載荷和接觸半徑。

        將(9)式代入(8)式,計算得到臨界點處的接觸應(yīng)力系數(shù)k=1.466,因此k的取值范圍為1.466~3。

        2 有限元仿真

        為提高有限元仿真的效率,減小工作量,在建模時將球與平面的接觸模型簡化為軸對稱平面結(jié)構(gòu)并采用圓柱坐標進行分析,如圖2所示。在ABAQUS中采用解析剛體來模擬球。球與平面在對稱軸上為軸對稱約束,平面底部施加水平約束。通過對球施加z向位移來實現(xiàn)加載,根據(jù)球上的反作用力獲得接觸載荷。在仿真中,模型材料采用理想彈塑性材料。

        圖2 壓痕模型圖

        3 仿真結(jié)果分析

        根據(jù)Hertz接觸理論[1],球與平面彈性接觸的接觸半徑與接觸變形的關(guān)系為

        (10)

        式中:δy為接觸處于臨界屈服點時的接觸變形。

        球與平面的接觸處于完全塑性變形階段時,接觸半徑與接觸變形之間的關(guān)系式為[10]

        (11)

        根據(jù)有限元仿真分析得到的接觸半徑與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖3所示。從圖中可以看出,當接觸變形較小時,球與平面的接觸處于彈性變形階段,接觸半徑和接觸變形之間的關(guān)系與(10)式相符。隨著接觸載荷的增大,接觸變形增大,球與平面的接觸半徑也迅速增大。當接觸半徑a/ay=18.1時,接觸面積A/Ay=2δ/δy(Ay為臨界屈服時的接觸面積),此時δ/δy=163。

        對圖3所示的接觸半徑與接觸變形的曲線進行擬合可得

        圖3 接觸半徑與接觸變形的關(guān)系圖

        (12)

        由此可知,當δ=δy,a/ay=0.961時,與(10)式的計算結(jié)果相比較,擬合誤差為3.9%;當δ/δy=162,a/ay=17.97時,與(11)式的計算結(jié)果相比較,擬合誤差為0.17%。可見,其擬合精度可以滿足工程需要。

        有限元仿真分析得到的最大接觸應(yīng)力與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖4所示。從圖中可以看出,當球與平面的接觸處于彈性變形階段,即δ/δy<5.4時,最大接觸應(yīng)力隨接觸變形的增大呈線性增大趨勢;當δ/δy>5.4時,球與平面的接觸進入到彈塑性變形階段,接觸應(yīng)力增速變慢,其主要原因是接觸面積快速增大。當δ/δy=163時,球與平面的接觸進入到完全塑性變形階段,此時p0/Re=2.82。

        圖4 最大接觸應(yīng)力與接觸變形的關(guān)系圖

        對圖4的曲線進行分析,并結(jié)合(3)式得到k與接觸變形間的擬合函數(shù)為

        (13)

        平均接觸應(yīng)力和屈服強度之比F/(ARe)與接觸變形的變化關(guān)系如圖5所示。從圖中可以看出,當1<δ/δy<2.55時,球與平面接觸中彈性變形占主要部分,因此,可以用Hertz接觸模型進行分析。當δ/δy>2.55時,球與平面接觸中的塑性變形區(qū)域擴大,由于接觸面積比接觸載荷增大的快,因此其平均接觸應(yīng)力小于Hertz接觸應(yīng)力。

        圖5 平均接觸應(yīng)力和屈服強度之比與接觸變形的關(guān)系圖

        根據(jù)(7)~(9)式及臨界參數(shù)值,在彈塑性變形階段有

        (14)

        聯(lián)立(12)~(14)式,可得到彈塑性變形階段接觸載荷與接觸變形間的計算關(guān)系。有限元仿真結(jié)果和Hertz接觸模型計算結(jié)果對比如圖6所示。從圖中可以看出,當δ/δy=1時,二者誤差不超過7%。

        圖6 仿真結(jié)果與Hertz接觸模型計算結(jié)果對比圖

        對于半徑為10 mm的GCr15鋼球,其彈性模量E=210 GPa,泊松比ν=0.3,屈服強度Re=520 MPa,當其接觸變形δ=0.002 7 mm時,根據(jù)(9),(12)~(14)式,可以得到其與剛性平面發(fā)生彈塑性接觸的參數(shù),計算結(jié)果見表1。

        表1 彈塑性接觸參數(shù)計算結(jié)果

        4 結(jié)束語

        以彈性接觸理論和彈塑性力學(xué)為基礎(chǔ),分析了球與平面發(fā)生彈塑性接觸時的應(yīng)力分布。采用有限元分析方法獲得了彈塑性接觸時的接觸半徑、接觸應(yīng)力與接觸變形之間的關(guān)系?;凇坝邢迲?yīng)力分布”假設(shè),建立了球與平面彈塑性接觸的半解析模型,可獲得二者間的接觸半徑、最大接觸應(yīng)力和接觸載荷等參數(shù),為球軸承的設(shè)計與選型提供參考。

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