官春平,金宏平
(1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣州 510300;2.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,湖北 十堰 442002)
滾動(dòng)軸承作為機(jī)械設(shè)備的關(guān)鍵部件,其運(yùn)行狀態(tài)直接影響到整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的性能。據(jù)統(tǒng)計(jì),約30%的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障由滾動(dòng)軸承的損傷造成。對(duì)于小型軸承,由于承受的載荷較小,通常假定軸承的內(nèi)、外圈為完全剛性,而滾動(dòng)體為彈性變形,然后采用Hertz接觸理論研究軸承的接觸應(yīng)力和變形等。但對(duì)于大型軸承,如風(fēng)力發(fā)電機(jī)軸承、工程機(jī)械的轉(zhuǎn)盤軸承等,由于其支承結(jié)構(gòu)本身受載變形較大,內(nèi)、外圈滾道與滾動(dòng)體在接觸點(diǎn)會(huì)發(fā)生一定程度的塑性變形,這種情況超出了Hertz彈性接觸理論的適用范圍,因此必須采用彈塑性接觸分析來研究軸承的接觸載荷、接觸應(yīng)力和接觸變形等。
由于軸承的結(jié)構(gòu)和所承受的工作載荷均具有對(duì)稱性,因此可以將其等效為單個(gè)滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈的接觸問題。而對(duì)于球軸承,為了便于分析,一般將其簡(jiǎn)化為球與平面的接觸。根據(jù)接觸力學(xué)理論,在球與平面的接觸過程中,當(dāng)接觸變形較小時(shí),接觸體處于完全彈性接觸狀態(tài),可以采用Hertz接觸理論進(jìn)行分析。當(dāng)接觸變形超過某一值后,接觸體將發(fā)生屈服而出現(xiàn)彈塑性變形。最初的塑性變形出現(xiàn)在接觸體內(nèi)部,塑性區(qū)域位于接觸中心的正上方,而接觸區(qū)域仍然處于彈性變形階段。隨著外部載荷增加,接觸變形進(jìn)一步增大,接觸體的塑性變形區(qū)域逐漸擴(kuò)大,處于接觸區(qū)域的材料也會(huì)發(fā)生屈服,此時(shí),接觸區(qū)域處于彈塑性變形階段[1]。由于材料的彈塑性變形使得球與平面的接觸問題復(fù)雜化,不僅存在接觸的非線性和幾何變形的非線性,還存在材料塑性變形的非線性,以致無法用解析模型來描述球與平面的接觸過程。為此,不少學(xué)者根據(jù)接觸力學(xué)和變形機(jī)理推導(dǎo)了多種近似解析模型,但由于目的不同,這些模型之間存在較大差別[2-6]。如果滾動(dòng)體長(zhǎng)期處于彈塑性或塑性接觸狀態(tài),會(huì)嚴(yán)重影響軸承的壽命和旋轉(zhuǎn)精度。因此,有必要對(duì)球與平面發(fā)生彈塑性接觸時(shí)的參數(shù)進(jìn)行研究,以便為軸承的設(shè)計(jì)或選用提供技術(shù)支持。
根據(jù)Tabor理論[1],當(dāng)球與平面的接觸狀態(tài)從完全彈性接觸階段轉(zhuǎn)變到完全塑性變形階段,即處于彈塑性變形階段時(shí),其最大接觸應(yīng)力p0將從0.6H增加到3H(H為材料的硬度)。由于該階段接觸區(qū)域既有彈性變形又有塑性變形,因此接觸半徑a、接觸載荷F與接觸變形δ之間的關(guān)系比較復(fù)雜,此時(shí)接觸應(yīng)力分布也不能用Hertz接觸應(yīng)力分布公式來描述。針對(duì)這種情況,文獻(xiàn)[7]將接觸應(yīng)力進(jìn)行分區(qū)假設(shè):接觸區(qū)域的中間部分存在塑性變形,其接觸應(yīng)力均勻分布且等于完全塑性變形時(shí)的接觸應(yīng)力;而接觸區(qū)域的其他部分處于彈性變形階段,其接觸應(yīng)力為Hertz接觸應(yīng)力分布,并從最大接觸應(yīng)力逐漸變?yōu)?。文獻(xiàn)[8]在此基礎(chǔ)上提出了“有限接觸應(yīng)力”的接觸應(yīng)力分布模型,如圖1所示,其接觸應(yīng)力表達(dá)式為
圖1 沿接觸面的接觸應(yīng)力分布
(1)
式中:E1,E2分別為球與平面材料的彈性模量;ν1,ν2分別為球與平面的泊松比;Re為材料的屈服強(qiáng)度;R為球的半徑;a為接觸半徑;b為接觸區(qū)域中心到彈塑性接觸應(yīng)力分界點(diǎn)的徑向距離。
根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件,在分界點(diǎn)處有
p(b)=CRe。
(2)
接觸半徑a遠(yuǎn)小于球半徑R, 因此可得C的近似值為2.8,即在彈塑性變形階段,接觸區(qū)域中塑性變形部分的接觸應(yīng)力為常量。然而,根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知,在發(fā)生初始屈服時(shí),p0=1.6Re。根據(jù)Tabor理論[1],當(dāng)球與平面接觸處于完全塑性變形時(shí),p0=(2.8~3)Re。因此C應(yīng)該是與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的變量,有必要對(duì)“有限應(yīng)力分布”的假設(shè)進(jìn)行適當(dāng)修正,即
(3)
式中:k為與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的函數(shù)。
將(3)式在整個(gè)接觸區(qū)域進(jìn)行積分,可以得到球與平面接觸的接觸載荷為
(4)
根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件,當(dāng)r=b時(shí),由(3)式可得
(5)
對(duì)(5)式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換可得
(6)
由(4)和(6)式可得
(7)
在(7)式右邊,只有k和a是未知數(shù),而k無法通過解析法求得,a無法準(zhǔn)確測(cè)量,因而通過有限元仿真對(duì)其進(jìn)行求解。
根據(jù)(7)式計(jì)算出球與平面接觸的平均接觸應(yīng)力pm為
(8)
當(dāng)球與平面的接觸狀態(tài)從彈性變形轉(zhuǎn)變到彈塑性變形時(shí)[9],其臨界點(diǎn)的平均接觸應(yīng)力pmy為
(9)
式中:Fy和ay分別為接觸變形處于臨界屈服狀態(tài)時(shí)的接觸載荷和接觸半徑。
將(9)式代入(8)式,計(jì)算得到臨界點(diǎn)處的接觸應(yīng)力系數(shù)k=1.466,因此k的取值范圍為1.466~3。
為提高有限元仿真的效率,減小工作量,在建模時(shí)將球與平面的接觸模型簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱平面結(jié)構(gòu)并采用圓柱坐標(biāo)進(jìn)行分析,如圖2所示。在ABAQUS中采用解析剛體來模擬球。球與平面在對(duì)稱軸上為軸對(duì)稱約束,平面底部施加水平約束。通過對(duì)球施加z向位移來實(shí)現(xiàn)加載,根據(jù)球上的反作用力獲得接觸載荷。在仿真中,模型材料采用理想彈塑性材料。
圖2 壓痕模型圖
根據(jù)Hertz接觸理論[1],球與平面彈性接觸的接觸半徑與接觸變形的關(guān)系為
(10)
式中:δy為接觸處于臨界屈服點(diǎn)時(shí)的接觸變形。
球與平面的接觸處于完全塑性變形階段時(shí),接觸半徑與接觸變形之間的關(guān)系式為[10]
(11)
根據(jù)有限元仿真分析得到的接觸半徑與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖3所示。從圖中可以看出,當(dāng)接觸變形較小時(shí),球與平面的接觸處于彈性變形階段,接觸半徑和接觸變形之間的關(guān)系與(10)式相符。隨著接觸載荷的增大,接觸變形增大,球與平面的接觸半徑也迅速增大。當(dāng)接觸半徑a/ay=18.1時(shí),接觸面積A/Ay=2δ/δy(Ay為臨界屈服時(shí)的接觸面積),此時(shí)δ/δy=163。
對(duì)圖3所示的接觸半徑與接觸變形的曲線進(jìn)行擬合可得
圖3 接觸半徑與接觸變形的關(guān)系圖
(12)
由此可知,當(dāng)δ=δy,a/ay=0.961時(shí),與(10)式的計(jì)算結(jié)果相比較,擬合誤差為3.9%;當(dāng)δ/δy=162,a/ay=17.97時(shí),與(11)式的計(jì)算結(jié)果相比較,擬合誤差為0.17%??梢?,其擬合精度可以滿足工程需要。
有限元仿真分析得到的最大接觸應(yīng)力與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖4所示。從圖中可以看出,當(dāng)球與平面的接觸處于彈性變形階段,即δ/δy<5.4時(shí),最大接觸應(yīng)力隨接觸變形的增大呈線性增大趨勢(shì);當(dāng)δ/δy>5.4時(shí),球與平面的接觸進(jìn)入到彈塑性變形階段,接觸應(yīng)力增速變慢,其主要原因是接觸面積快速增大。當(dāng)δ/δy=163時(shí),球與平面的接觸進(jìn)入到完全塑性變形階段,此時(shí)p0/Re=2.82。
圖4 最大接觸應(yīng)力與接觸變形的關(guān)系圖
對(duì)圖4的曲線進(jìn)行分析,并結(jié)合(3)式得到k與接觸變形間的擬合函數(shù)為
(13)
平均接觸應(yīng)力和屈服強(qiáng)度之比F/(ARe)與接觸變形的變化關(guān)系如圖5所示。從圖中可以看出,當(dāng)1<δ/δy<2.55時(shí),球與平面接觸中彈性變形占主要部分,因此,可以用Hertz接觸模型進(jìn)行分析。當(dāng)δ/δy>2.55時(shí),球與平面接觸中的塑性變形區(qū)域擴(kuò)大,由于接觸面積比接觸載荷增大的快,因此其平均接觸應(yīng)力小于Hertz接觸應(yīng)力。
圖5 平均接觸應(yīng)力和屈服強(qiáng)度之比與接觸變形的關(guān)系圖
根據(jù)(7)~(9)式及臨界參數(shù)值,在彈塑性變形階段有
(14)
聯(lián)立(12)~(14)式,可得到彈塑性變形階段接觸載荷與接觸變形間的計(jì)算關(guān)系。有限元仿真結(jié)果和Hertz接觸模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖6所示。從圖中可以看出,當(dāng)δ/δy=1時(shí),二者誤差不超過7%。
圖6 仿真結(jié)果與Hertz接觸模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖
對(duì)于半徑為10 mm的GCr15鋼球,其彈性模量E=210 GPa,泊松比ν=0.3,屈服強(qiáng)度Re=520 MPa,當(dāng)其接觸變形δ=0.002 7 mm時(shí),根據(jù)(9),(12)~(14)式,可以得到其與剛性平面發(fā)生彈塑性接觸的參數(shù),計(jì)算結(jié)果見表1。
表1 彈塑性接觸參數(shù)計(jì)算結(jié)果
以彈性接觸理論和彈塑性力學(xué)為基礎(chǔ),分析了球與平面發(fā)生彈塑性接觸時(shí)的應(yīng)力分布。采用有限元分析方法獲得了彈塑性接觸時(shí)的接觸半徑、接觸應(yīng)力與接觸變形之間的關(guān)系?;凇坝邢迲?yīng)力分布”假設(shè),建立了球與平面彈塑性接觸的半解析模型,可獲得二者間的接觸半徑、最大接觸應(yīng)力和接觸載荷等參數(shù),為球軸承的設(shè)計(jì)與選型提供參考。