朱玉勝

(1.天津大學(xué) 管理學(xué)院，天津 300072；2.太重煤機(jī)有限公司，太原 030032)

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 概念

數(shù)學(xué)模型到目前還沒(méi)有統(tǒng)一定義。一般教科書(shū)認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是“根據(jù)對(duì)研究對(duì)象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法[1]”。數(shù)學(xué)學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數(shù)理邏輯等來(lái)描述系統(tǒng)特征及其內(nèi)部聯(lián)系或與外界聯(lián)系的模型。一些管理學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)變量間相互關(guān)系的動(dòng)態(tài)性能的運(yùn)動(dòng)方程。某些研究型學(xué)者則認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，其或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的直接翻版，其建立常常既需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的內(nèi)容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)模型的研究方法偏向于定量形式。

1.2 建模原則和過(guò)程

根據(jù)研究目的對(duì)所研究問(wèn)題過(guò)程和現(xiàn)象的主要特征及主要關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地、近似地表達(dá)出來(lái)的一種結(jié)構(gòu)(即數(shù)學(xué)模型)的過(guò)程是數(shù)學(xué)建模。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中一般遵循4項(xiàng)原則，即真實(shí)完整原則、簡(jiǎn)化實(shí)用原則、可推導(dǎo)原則和反映性原則。具體建模過(guò)程如圖1所示。

圖1 具體建模過(guò)程

1.3 種類(lèi)

數(shù)學(xué)模型主要有以下幾種：

(1)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)模型 靜態(tài)模型是指描述系統(tǒng)各量間的關(guān)系不隨時(shí)間的變化而變化，一般用代數(shù)方程表達(dá)；動(dòng)態(tài)模型是指描述系統(tǒng)各量間隨時(shí)間變化而變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一般用微分方程或差分方程表達(dá)。

(2)分布參數(shù)和集中參數(shù)模型 分布參數(shù)模型是用各類(lèi)偏微分方程描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；集中參數(shù)模型是用線性或非線性常微分方程描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

(3)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間模型 模型中的時(shí)間變量在一定區(qū)間內(nèi)變化的模型稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間模型，上述各類(lèi)用微分方程描述的模型都是連續(xù)時(shí)間模型；在處理集中參數(shù)模型時(shí)，也可將時(shí)間變量離散化，所獲得的模型稱(chēng)為離散時(shí)間模型，用差分方程描述。

(4)隨機(jī)性和確定性模型 隨機(jī)性模型中變量間關(guān)系以統(tǒng)計(jì)值或概率分布的形式給出；確定性模型中變量間關(guān)系是確定的。

(5)參數(shù)和非參數(shù)模型 參數(shù)模型是用代數(shù)方程、微分方程、微分方程組及傳遞函數(shù)等描述的模型；非參數(shù)模型是直接或間接從實(shí)際系統(tǒng)的試驗(yàn)分析中得到的響應(yīng)。運(yùn)用各種系統(tǒng)辨識(shí)的方法，可由非參數(shù)模型得到參數(shù)模型。

(6)線性和非線性模型 線性模型中各量間的關(guān)系是線性的，滿足疊加原理；非線性模型中各量間的關(guān)系不是線性的，不滿足疊加原理。

1.4 應(yīng)用

數(shù)學(xué)因其準(zhǔn)確性而成為最廣泛用于交流的語(yǔ)言，常對(duì)實(shí)際事物建立各種數(shù)學(xué)模型，以期通過(guò)對(duì)該模型的研究來(lái)描述、解釋、預(yù)計(jì)或分析與實(shí)際事物相關(guān)的規(guī)律。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用分為管理領(lǐng)域和技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。管理領(lǐng)域的應(yīng)用涉及企業(yè)管理、市場(chǎng)分類(lèi)、銷(xiāo)售策略、經(jīng)濟(jì)計(jì)量、投資決策、金融證券、數(shù)據(jù)挖掘與分析預(yù)測(cè)、物流管理、供應(yīng)鏈、信息系統(tǒng)等。技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用總被機(jī)械地認(rèn)為是除社會(huì)科學(xué)外的純技術(shù)范疇，這樣分類(lèi)并不十分科學(xué)。但當(dāng)需從定量角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是管理領(lǐng)域還是技術(shù)領(lǐng)域，一般會(huì)通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問(wèn)題，即對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)與決策、控制與優(yōu)化、規(guī)劃與管理[2]。管理領(lǐng)域一般要解決的問(wèn)題通常是一個(gè)非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，面對(duì)的變量類(lèi)別較多，要根據(jù)采集的原始數(shù)據(jù)量綱進(jìn)行無(wú)量綱化處理，因?yàn)閰?shù)選擇不同和研究的側(cè)重點(diǎn)不同，得出的測(cè)量結(jié)果相差較大，而在技術(shù)方面準(zhǔn)確性高，解決實(shí)際問(wèn)題的可行性強(qiáng)。

2 實(shí)例分析

2.1 軸承使用過(guò)程中的問(wèn)題及現(xiàn)象

據(jù)統(tǒng)計(jì)，30%的傳動(dòng)機(jī)械故障由軸承故障引起，其運(yùn)行狀態(tài)直接影響整臺(tái)設(shè)備的性能[3]。大量試驗(yàn)證明，軸承疲勞壽命非常離散。在相同的試驗(yàn)條件下，結(jié)構(gòu)、材質(zhì)和加工工藝相同的同一批軸承，其最長(zhǎng)與最短壽命可能相差數(shù)十倍甚至上百倍[4]?？赏ㄟ^(guò)軸承故障檢測(cè)技術(shù)最大限度地發(fā)揮軸承的工作潛力，提前更換有安全隱患的軸承，減少故障發(fā)生率，提高設(shè)備的運(yùn)行質(zhì)量和可靠性。

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

軸承故障診斷技術(shù)較多，主要有振動(dòng)診斷技術(shù)、鐵譜診斷技術(shù)、聲學(xué)診斷技術(shù)、油膜電阻診斷技術(shù)和溫度診斷技術(shù)等[5]。國(guó)內(nèi)對(duì)軸承振動(dòng)監(jiān)測(cè)與故障診斷的廣泛研究基本上從20世紀(jì)80年代開(kāi)始[6]。軸承振動(dòng)監(jiān)測(cè)過(guò)程就是當(dāng)軸承零件的工作表面出現(xiàn)疲勞剝落、壓痕或局部腐蝕時(shí)，軸承運(yùn)行中會(huì)出現(xiàn)周期性的脈沖信號(hào)，這種信號(hào)可由安裝在軸承座上的傳感器(速度型或加速度型)接收，并接入電流放大器進(jìn)行信號(hào)放大，再通過(guò)A/D卡轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)可識(shí)別和處理的數(shù)字信號(hào)，利用計(jì)算機(jī)程序?qū)υ撔盘?hào)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析并提取有效特征向量，應(yīng)用智能軟件判斷識(shí)別軸承狀態(tài)(故障或正常)，從而實(shí)現(xiàn)軸承在線監(jiān)測(cè)和智能化故障診斷[7]。試驗(yàn)流程如圖2所示。

圖2 試驗(yàn)流程

軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)域分析的主要任務(wù)是計(jì)算振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)，再與正常值對(duì)比確定軸承狀態(tài)。常用的特征參數(shù)可分為有量綱參數(shù)和無(wú)量綱參數(shù)[5]。

設(shè)采樣數(shù)據(jù)為xi(i=1，2，…，N)，其中，i為采樣數(shù)量；N為采樣總數(shù)。

有量綱參數(shù)如下：

(1)均值

均值表示隨機(jī)過(guò)程的中心趨勢(shì)，是隨機(jī)過(guò)程的靜態(tài)分量。其屬于靜態(tài)和隨機(jī)模型，優(yōu)點(diǎn)是故障診斷檢測(cè)值較峰值更穩(wěn)定。

(2)方差

方差描述隨機(jī)過(guò)程在均值周?chē)纳⒉汲潭龋请S機(jī)過(guò)程的動(dòng)態(tài)分量。其屬于動(dòng)態(tài)和隨機(jī)模型，主要體現(xiàn)信號(hào)的穩(wěn)定程度。

(3)均方根值

均方根值反映信號(hào)下x(t)相對(duì)于零值的波動(dòng)情況。其屬于連續(xù)時(shí)間模型，表示信號(hào)的平均能量。

(4)峰值

峰值是信號(hào)的最大瞬時(shí)幅值，反映信號(hào)的強(qiáng)度。其屬于隨機(jī)性、非參數(shù)和非線性模型，主要體現(xiàn)瞬時(shí)現(xiàn)象的指示值，適用于表面點(diǎn)蝕類(lèi)的具有瞬時(shí)沖擊的缺陷診斷。

無(wú)量綱參數(shù)如下：

(1)峰值因子

峰值因子是反映波形是否有沖擊的指標(biāo)，不受振動(dòng)信號(hào)的絕對(duì)水平所影響，所以傳感器的靈敏度即使有變動(dòng)，也不會(huì)出現(xiàn)測(cè)量誤差。

(2)峭度系數(shù)

峭度系數(shù)表示軸承工作表面出現(xiàn)疲勞故障時(shí)，每轉(zhuǎn)一周，工作表面缺陷處產(chǎn)生的沖擊脈沖。缺陷越大，沖擊響應(yīng)幅值越大，故障現(xiàn)象越明顯。

(3)波形因子

波形因子對(duì)各類(lèi)缺陷都有反應(yīng)，適用于軸承早期故障預(yù)測(cè)。

(4)脈沖因子

脈沖因子對(duì)沖擊脈沖類(lèi)缺陷較敏感，特別是出現(xiàn)早期缺陷時(shí)，其值明顯增加；當(dāng)上升到一定程度后，隨著缺陷的逐漸發(fā)展，其值反而會(huì)下降。

(5)裕度因子

裕度因子是反映信號(hào)沖擊程度的一個(gè)指標(biāo)，對(duì)軸承的沖擊故障較為敏感。

無(wú)量綱參數(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)是在分析軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)，能更有特點(diǎn)地體現(xiàn)軸承不同運(yùn)行狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)，得到便于計(jì)算機(jī)讀取和識(shí)別的語(yǔ)言。

2.3 數(shù)學(xué)模型的求解與分析

實(shí)例中，軸承有正常和故障2種狀態(tài)，在振源頻率為20，25，30，35 Hz下，測(cè)樣點(diǎn)數(shù)為2 000，2種狀態(tài)各測(cè)10組數(shù)據(jù)。將檢測(cè)到的振動(dòng)信號(hào)導(dǎo)入MATLAB，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行零均值化處理，然后進(jìn)行時(shí)域分析及特征值提取、頻域分析及特征值提取、特征值歸一化，最后實(shí)現(xiàn)智能軟件程序模式識(shí)別。

2.3.1 時(shí)域分析

通過(guò)編寫(xiě)并在MATLAB中運(yùn)行時(shí)域特征方程計(jì)算程序，可得軸承樣本的時(shí)域特征值，見(jiàn)表1。

表1 軸承樣本的時(shí)域特征值

由表1可知，故障和正常軸承的均方根值和波形因子無(wú)明顯差別，不能反映軸承狀態(tài)。

2.3.2 頻域分析

鑒于時(shí)域分析不能完全反映軸承狀態(tài)，故對(duì)軸承樣本進(jìn)行頻域分析。對(duì)零均值化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT后繪制頻譜圖。故障和正常軸承頻域如圖3～圖8所示。由圖3～圖8可知，故障和正常軸承的頻譜有明顯差別，可確定故障和正常軸承頻域值差異時(shí)頻段的大體位置。為進(jìn)一步識(shí)別故障和正常軸承的頻譜差異，采用重疊頻譜的方法得到頻域特征值的提取點(diǎn)和較小范圍，對(duì)不同樣本正常和故障軸承的頻譜進(jìn)行對(duì)比，提取5個(gè)頻域特征值，見(jiàn)表2。

表2 頻域特征值

圖3 故障和正常NJ226軸承頻域

圖4 故障和正常NJ230軸承頻域

圖5 故障和正常NU2232軸承頻域

圖7 故障和正常23130軸承頻域

圖8 故障和正常24060軸承頻域

2.3.3 歸一化處理

由于各特征值的幅值不同，不便于比較不同樣本間同一特征值的差異，并且考慮到后面的智能軟件程序輸入值，將所有特征值歸一化到0～1區(qū)間。

線性函數(shù)轉(zhuǎn)換表達(dá)式為

y=(x-minValue)/(maxValue-minValue)，

式中：x和y分別為轉(zhuǎn)換前、后的值；maxValue和minValue分別為樣本的最大值和最小值。正常軸承歸一化后特征值見(jiàn)表3。故障軸承歸一化后特征值見(jiàn)表4。

表3 正常軸承歸一化后特征值

表4 故障軸承歸一化后特征值

2.4 數(shù)學(xué)模型的檢驗(yàn)與調(diào)試

將正常和故障軸承歸一化后的特征值作為模式識(shí)別部分輸入智能軟件程序，智能軟件根據(jù)程序設(shè)定，在線實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)軸承狀態(tài)，軸承正常輸出0，軸承故障輸出1，并能夠?qū)崿F(xiàn)軸承故障報(bào)警和停機(jī)。該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)建立完成后，首先在試驗(yàn)臺(tái)上對(duì)正常和故障軸承進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行調(diào)試合格后，可將該系統(tǒng)應(yīng)用到絕大多數(shù)傳動(dòng)機(jī)械中，通過(guò)軸承的實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測(cè)可發(fā)現(xiàn)早期故障，并及時(shí)排除，避免造成設(shè)備及其他部件的損壞。

3 結(jié)論

研究數(shù)學(xué)模型在軸承振動(dòng)監(jiān)測(cè)過(guò)程中的應(yīng)用有利于為研究同類(lèi)技術(shù)問(wèn)題或新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)課題提供一種實(shí)用的研究方法和思路，便于設(shè)計(jì)部門(mén)應(yīng)用CAE技術(shù)根據(jù)監(jiān)測(cè)反饋數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，縮短研發(fā)周期，提升產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量。在產(chǎn)品應(yīng)用階段可實(shí)現(xiàn)軸承的實(shí)時(shí)在線振動(dòng)監(jiān)測(cè)，提前發(fā)現(xiàn)故障隱患并檢修、更換，有效避免機(jī)械事故發(fā)生，最大限度發(fā)揮軸承工作潛力，降低企業(yè)運(yùn)行成本，具有很好的推廣價(jià)值。