葉華聰，王曉宏，張沛峰

(1.貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽 550025；2.貴州虹山虹飛軸承有限責(zé)任公司，貴州 安順 561000)

深溝球軸承主要承受徑向載荷，還可以承受一定的軸向載荷。當(dāng)其承受軸向載荷時，隨著軸向載荷的增大，接觸橢圓的面積將會增大，并向擋邊移動。如果軸向載荷大于許用軸向載荷，接觸角大于安全接觸角，接觸橢圓的邊緣會超出擋邊，此時會產(chǎn)生應(yīng)力集中，致使軸承早期疲勞失效，大大縮短軸承的使用壽命[1]。因此，作為深溝球軸承設(shè)計(jì)的可靠理論依據(jù)，有必要對其安全接觸角進(jìn)行精確計(jì)算。

1 安全接觸角的計(jì)算方法

1.1 臨界狀態(tài)分析

隨著軸向載荷的增大，鋼球與內(nèi)、外圈間的接觸橢圓會向擋邊方向移動，軸承的接觸角也會隨之增大，當(dāng)接觸角增大到接觸橢圓剛好處于爬越擋邊的臨界狀態(tài)，即接觸橢圓的長軸剛好達(dá)到擋邊邊緣，此時的接觸角即為安全接觸角α(圖1)。如果軸向載荷過大，接觸橢圓將被套圈擋邊截去一部分，在鋼球和擋邊附近的接觸處會產(chǎn)生應(yīng)力集中，加速軸承的疲勞失效。因此，深溝球軸承軸向承載能力的限制條件為軸向載荷作用下鋼球和溝道間的接觸橢圓不可爬越擋邊邊緣[2]。

圖1中，α為極限軸向載荷Fa作用下產(chǎn)生的安全接觸角；φ為接觸橢圓長半軸a相對于鋼球中心形成的角度；θ為極限軸向載荷Fa作用下接觸橢圓所在側(cè)擋邊邊緣和鋼球中心的連線與軸承徑向的夾角；F，E分別為軸承內(nèi)、外溝道直徑；d2，D2分別為內(nèi)、外圈擋邊直徑；Dpw為球組節(jié)圓直徑；Dw為鋼球直徑。

圖1 純軸向載荷下深溝球軸承的幾何關(guān)系示意圖

1.2 相關(guān)計(jì)算公式

為了便于理論計(jì)算和分析，在不考慮軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時離心力對接觸角的影響下，給出安全接觸角的計(jì)算參數(shù)及相關(guān)公式[1-2]。

1.2.1θ的計(jì)算

對于外圈

(1)

對于內(nèi)圈

(2)

式中：fi，fe分別為內(nèi)、外溝曲率系數(shù)。

1.2.2 安全接觸角和極限軸向載荷

由上述約束條件得

θ-α≥φ，

(3)

當(dāng)φ很小時，可以近似為

(4)

接觸橢圓長半軸為

(5)

當(dāng)軸承承受極限軸向載荷Fa時，有如下關(guān)系

(6)

式中：Z為鋼球數(shù)。

由(3)～(6)式可得

(7)

又有

(8)

(8)式可變?yōu)?/p>

(9)

式中：α0為與徑向游隙有關(guān)的原始接觸角；c為接觸變形系數(shù)；Gr為徑向游隙。

由(7)和(9)式整理可得

(10)

由(10)式可以計(jì)算安全接觸角α。

2 MATLAB算例分析

以深溝球軸承6206為例計(jì)算極限軸向載荷。設(shè)計(jì)參數(shù)如下：E=55.54 mm，F(xiàn)=36.46 mm，D2=51.84 mm，d2=40.1 mm，Dw=9.525 mm，fe=0.52，fi=0.515，Z=9，Gr=0.014 mm。

2.1 程序編寫

2.1.1 定義參數(shù)

將設(shè)計(jì)參數(shù)通過賦值的方式進(jìn)行定義，例如給E賦值的語句為

E=55.54;

其后的分號表示不在命令窗口中顯示賦值結(jié)果，其余參數(shù)的賦值方法與此類似。這種方法還可以將已經(jīng)賦值的變量通過多項(xiàng)式計(jì)算賦值給新的變量。例如求解極限軸向載荷的公式可以通過如下賦值語句實(shí)現(xiàn)

Fa=Z*Dw^2*sin(alpha)*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)/cos(alpha)-1))^1.5

其中包含的特定標(biāo)記都是已經(jīng)賦予值的變量。

2.1.2 函數(shù)計(jì)算

利用MATLAB的底層程序，可以采用命令語句快速進(jìn)行方程的數(shù)值計(jì)算。例如計(jì)算θe的命令語句為

theta_e=acos(1-(E-D2)/(2*fe*Dw))

語句末尾沒有標(biāo)點(diǎn)符號，其計(jì)算結(jié)果將顯示在命令窗口中。其余函數(shù)計(jì)算方法與此類似，需要注意的是方程中用到的標(biāo)記必須是已定義的。

2.1.3 擬合曲線

對于需查表的參數(shù)，可以利用擬合語句進(jìn)行曲線擬合以及定點(diǎn)計(jì)算。首先需要截取表中的參數(shù)，并賦值給某一個參數(shù)；然后利用MATLAB的擬合命令進(jìn)行求解。例如求eae的擬合命令語句為

A=[0.900,0.073 05;0.910,0.076 41;0.920,0.080 23;0.930,0.084 80;0.940,0.090 35;0.950,0.097 33;0.960,0.106 6;0.970,0.119 7;0.980,0.140 4;0.990,0.183 1];

x1=A(:,1);y1=A(:,2);

n1=10;

p1=polyfit_ye(x1,y1,n1);

ea_e=polyval(p1,F_rho_e)

程序中語句1是截取表中的參數(shù)，并賦值給某一個參數(shù)A；語句2是將矩陣A的第1列和第2列分別賦值給x1和y1；語句4中x1，y1為已知數(shù)據(jù)，n1為擬合多項(xiàng)式的階次，p1為返回所得多項(xiàng)式的系數(shù)向量，通常多項(xiàng)式擬合中階數(shù)越大，擬合的精度就越高；語句5為當(dāng)x1取F(ρe)時，由系數(shù)向量p1=polyfit_ye(x1,y1,n1)代表的擬合多項(xiàng)式計(jì)算得到的函數(shù)值，也就是表中F(ρe)所對應(yīng)的eae。其他查表值的計(jì)算與此類似。

2.1.4 子程序調(diào)用

根據(jù)(10)式得

安全接觸角α可以通過此方程求解得到，而且適合的解必然處于(0,1)區(qū)間。例如求內(nèi)圈安全接觸角αi的主程序語句為

alpha_i=fzero(′sub_i′,1);

其中fzero為求方程零點(diǎn)的命令；sub_i為調(diào)用的子程序，1為求解初始值，所求解應(yīng)為1附近的方程之根。

子程序應(yīng)單獨(dú)進(jìn)行設(shè)計(jì)、保存，以備調(diào)用，如

function fx=sub_i(x)

fx=sin(theta_i-x)-2*ea_i*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)./cos(x)-1)).^(1/2)/(Dw*sigma_rho_i)^(1/3);

使用時，須在語句1，2之間添加語句2中所用到的變量賦值語句。其他子程序調(diào)用語句與此類似。

2.2 程序運(yùn)行結(jié)果

內(nèi)、外圈安全接觸角αi，αe的求解曲線分別如圖2和圖3所示。從MATLAB的命令窗口中會自動顯示出相關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，內(nèi)、外圈與鋼球形成的安全接觸角分別為26.763 9°，28.490 2°。設(shè)計(jì)應(yīng)用時應(yīng)以內(nèi)、外圈安全接觸角中的最小者作為深溝球軸承極限軸向載荷的計(jì)算參數(shù)。

圖2 內(nèi)圈安全接觸角αi求解曲線

圖3 外圈安全接觸角αe求解曲線

3 結(jié)束語

通過MATLAB編寫程序，可以實(shí)現(xiàn)深溝球軸承安全接觸角的快速求解，而且求解精度較高。當(dāng)軸承型號變更之后，只需在程序中修改相關(guān)的尺寸參數(shù)就可以快速求解出對應(yīng)軸承的安全接觸角。另外，可以利用程序?qū)λO(shè)計(jì)的尺寸參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比與分析，從而對深溝球軸承的安全接觸角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。