錢志祥

一類高階自共軛微分算子譜的定量分析*

錢志祥

（肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東肇慶526100）

定量研究了一類高階自共軛微分算子的譜，得到了這類算子的本質(zhì)譜充滿了正實(shí)軸，而在負(fù)半軸上只有離散譜.

微分表達(dá)式；對(duì)稱微分算子；自共軛微分算子；離散譜；本質(zhì)譜；譜分析

1 預(yù)備知識(shí)

微分算子理論是解決量子力學(xué)問(wèn)題的基本工具，量子力學(xué)的迅速發(fā)展也極大地推動(dòng)了微分算子理論的研究，在核物理學(xué)、電子學(xué)，以及許多其他數(shù)學(xué)分支中，微分算子理論也起到了重要的作用.自共軛微分算子譜理論是微分算子理論的重要內(nèi)容，它已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)多世紀(jì)，其譜理論成果十分豐富，尤其在自共軛微分算子譜的定性分析方面取得了突破性的進(jìn)展［1］，但是在自共軛微分算子譜的定量分析方面，結(jié)論卻寥寥無(wú)幾.自共軛微分算子譜的定性、定量研究是微分算子理論的重要組成部分，一個(gè)自共軛微分算子的譜不僅與其系數(shù)有關(guān)，還與它的定義域和自伴邊條件有關(guān)，因?yàn)樽怨曹椢⒎炙阕拥南禂?shù)、定義域和邊值條件的形式是復(fù)雜多樣的，所以這就給自共軛算子譜的定量研究帶來(lái)了很大的難度，本文目的是對(duì)2n階自共軛微分算子在其系數(shù)、定義域和邊值條件滿足特定條件時(shí)的譜進(jìn)行定量分析.

考慮2n階對(duì)稱微分表達(dá)式：

（I）其系數(shù)滿足：

（II）其定義域D（T）和邊值條件滿足：

1）y（2n－1）在［0，∞）上存在且在［0，∞）的每個(gè)稠密子集上絕對(duì)連續(xù)；

2）l（y）∈L2［0，∞）；

定義1.1［2］定義算子TM：TMy＝l（y），D（TM）＝｛y∈L2（a，b），y（k）在（a，b）上絕對(duì)連續(xù)，0≤k≤n－1，l（y）∈L2（a，b）｝，稱算子TM為由微分算式l（y）生成的最大算子.

定義算子T′0：T′0y＝l（y），D（T′0）＝｛y∈D（TM），y在（a，b）內(nèi)具有緊支柱｝，T′0的閉包記為T0，稱算子T0為由微分算式l（y）生成的最小算子.

定義1.2［3］對(duì)于定義在Hilbert空間X上的閉稠定線性算子T，若對(duì)任意λ∈C，存在常數(shù)K＝K（λ）＞0，使得對(duì)所有x∈D（T），（A－λI）x≥K x，則稱數(shù)λ為算子T的正則型點(diǎn)；T的所有正則型點(diǎn)的全體稱為算子的正則型域，記為Π（T），即Π（T）＝｛λ∈C｜?K（λ）＞0，使得A－λI）x≥K x，?x∈D（T）｝.

定義1.3［3］集合C＼Π（T）稱為算子T的譜核，記為σk（T）或kσ，即σk（T）＝C＼Π（T）.

定義1.4［4］T是Hilbert空間H上的自共軛算子，σ（T）中的全體聚點(diǎn)和無(wú)窮維的孤立的特征值點(diǎn)稱為T的本質(zhì)譜，記為σe（T）.本質(zhì)譜在譜集中的補(bǔ)集稱為T的離散譜，記為σd（T）＝σ（T）＼σe（T），即σd（T）是全體有限維的孤立的特征值點(diǎn).

定義1.5［4］令T Hilbert空間H上的閉的對(duì)稱算子，We（T）＝｛λ∈C｜（Tλ－λI）－1是無(wú)界的，或者dim N（T－λI）＝∞｝，稱為T的本質(zhì)譜核.

引理1［5］設(shè)函數(shù)區(qū)間［0，∞）上可積，且＞0，則方程（－1）k（pn－k（x）y（k））（k）＝λy，有這樣的2n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1，y2，…，y2n，當(dāng)x→＋∞時(shí)，它們的漸近性狀如下：yk＝eμkξ［1＋o（1）］，其中μk為（－1）nλ的所有不同的2n次方根，其實(shí)部是各不相同的，而

引理2［5］設(shè)函數(shù)′，p1，p2，…，pn在區(qū)間［0，∞）上可積，且＞0，則算子T0的虧指數(shù)為（n，n）.

引理3［5］一端奇異且虧指數(shù)為（n，n）的算子T0的任何自共軛擴(kuò)張T被線性無(wú)關(guān)的邊界條件

所確定，并且

反之，一切滿足條件（3）的線性無(wú)關(guān)條件（2），確定著算子T0的某個(gè)自共軛擴(kuò)張.

引理4［4］設(shè)算子T是Hilbert空間H中閉的對(duì)稱算子，則算子T是自共軛的充要條件是σ（T）?R.

引理5［4］算子T是Hilbert空間H上的自共軛算子，則σr（T）＝φ.

引理6［5］如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，方程l（y）＝λy在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)小于算子T0的虧指數(shù)，則這個(gè)值λ屬于算子T0的譜的核.因此，如果這個(gè)值λ不是算子T0的特征值，則它屬于T0的所有自共軛擴(kuò)展譜的連續(xù)部分.如果端點(diǎn)a或端點(diǎn)b中之一是正則的，那么，后者總是成立的.

引理7［5］設(shè)算子T是Hilbert空間H中閉的對(duì)稱算子，如果T是自共軛算子，則We（T）＝σe（T）＝｛λ∈C｜（Tλ－Iλ）－1是無(wú)界的，或者dim（T－λI）＝∞｝，即當(dāng)T是自共軛算子時(shí)，它的本質(zhì)譜核和本質(zhì)譜是重合的.

引理8［5］算子T0的任何自軛擴(kuò)張的豫解式Rλ是積分算子，它具如下形式：

其中

m為最小算子T0的虧指數(shù).

2 主要結(jié)論

定理若（1）式的系數(shù)滿足（I），定義域和邊值條件滿足（II），則由生成的算子T是一個(gè)自共軛算子，它的本質(zhì)譜充滿正實(shí)軸；而在負(fù)半軸R－［0，∞）上只有算子T的離散譜.

證明：根據(jù)引理1得，對(duì)?λ∈C，方程

有2n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解yk（k＝1，2，3，…，2n）；當(dāng)x→∞時(shí)，它們的漸近性狀如下：

其中μk為（－1）nλ的所有不同的2n次方根，其實(shí)部各不相同，而＝－λ，k＝1，2，…，n，從而當(dāng)x→∞時(shí)，

由引理2知微分算式（1）生成的最小算子T0的虧指數(shù)為（n，n），由引理3知微分算式（1）在邊界條件3）下生成的算子T是一個(gè)自共軛算子，由引理4和引理5知其譜分為：σ（T）＝σp（T）∪σc（T）?R，再由定義1.4知其譜分為：σ（T）＝σd（T）∪σe（T）?R，下面分情況討論上述自共軛算子T的譜分布：

（1）當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)

因Reλ＞0，且argλ＝0，則μk＝seiθk（k＝0，1，…∈，2n－1），其中

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k＝0，1，…，2n－1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，按μk的實(shí)部進(jìn)行排序.

Reμ1≤Reμ2≤…≤Reμn－1＜0≤Reμn＋1≤Reμn＋2…≤Reμ2n

設(shè)ρi＝Reμi.當(dāng)1≤i≤n－1時(shí)，ρi＝Reμi＜0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n≤i≤2n時(shí)，ρi＝Reμi≥0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］?L2［0，∞），故當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，方程（6）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)為n－1小于其最小算子T0的虧指數(shù)n，由引理6知這時(shí)λ屬于算子T譜的連續(xù)部分.為了證明定理的前半部分，由引理7知，只要證明當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，算子T的豫解算子無(wú)界即可.

由引理2可知其最小算子T0的虧指數(shù)為n，因此由引理8得到其任何自軛擴(kuò)張的算子豫解式Rλ是個(gè)積分算子，它具如下形式：

由上面推導(dǎo)過(guò)程可知，當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，方程（6）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)只有n－1個(gè)，小于最小算子T0的虧指數(shù)n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）中只有n－1個(gè)屬于L2［0，∞），有一個(gè)yk（x）?L2［0，∞），所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的任何線性組合也不屬于∞，所以當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，其豫解算子（Tλ－λI）－1是無(wú)界的，由引理7知λ∈［0，∞）時(shí)，屬于自共軛算子T的本質(zhì)譜，即算子T的本質(zhì)譜充滿正實(shí)軸，這就證得了定理的前半部分.

（2）當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)

因?yàn)镽eλ＜0，且argλ＝π，μk＝seiθk（k＝0，1，…∈，2n－1），其中所以

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k＝0，1，…，2n－1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，對(duì)μk的實(shí)部進(jìn)行排序.

Reμ1≤Reμ2≤…≤Reμn＜0≤Reμn＋1≤Reμn＋2…≤Reμ2n

設(shè)ρi＝Reμi.當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi＝Reμi＜0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n＋1≤i≤2n時(shí)，ρi＝Reμi＞0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］?L2［0，∞），故當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)，方程（6）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)等于其最小算子T0的虧指數(shù)n.下面我們證這時(shí)只有算子T的離散譜，即只要證當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)，算子T的豫解算子有界即可.

由引理8知算子T的豫解算子Rλ是個(gè)積分算子，它是以G（x，ξ，λ）＝k0（x，ξ，λ）為核的積分算子，對(duì)區(qū)間［0，∞）中的一切x，任意固定的ξ，當(dāng)x＞ξ時(shí)，核G（x，ξ，λ）為y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的線性組合，即

由上面推導(dǎo)過(guò)程可知，當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)，方程（6）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)等于其最小算子T0的虧指數(shù)n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）全部屬于L2［0，∞），故它們的線性組合也屬于L2［0，∞），故，所以當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)，算子T的豫解算子（Tλ－λI）－1有界，所以當(dāng)λ∈R－［0，∞）時(shí)，算子T只有離散譜，這就證得了定理的后半部分.

綜合（1）、（2），定理得證.

推論［2］微分表達(dá)式：

l（y）＝（－1）n（p（x）y（n）（x））（n）＋q（x）y（x）（10）當(dāng)p（x），q（x）均為實(shí)值函數(shù)，且p（x），q（x）∈L2［0，∞）時(shí)，那么由上式在L2［0，∞）內(nèi)生成的任何自伴算子是下有界的，它的本質(zhì)譜充滿正實(shí)軸，在負(fù)半軸上只有離散譜.

本文只是在特殊情形下對(duì)高階自共軛微分算子的譜進(jìn)行了定量分析，要想對(duì)任意自共軛微分算子譜進(jìn)行定量分析，是一件很不容易的事情；但是隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，我們可以借助于計(jì)算機(jī)模擬，這方面的研究將會(huì)取得很大的進(jìn)展.

［1］孫炯，王忠.常微分算子譜的定性分析［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1995，（24）：406－422.

［2］王忠.具有可積系數(shù)J－對(duì)稱微分算子的虧指數(shù)［J］.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，（5）：607.

［3］王忠，付守忠.線性算子譜理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2013.

［4］孫炯，王忠.線性算子的譜分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［5］Naimark M A.線性微分算子［M］.北京：科學(xué)出版社，1964.

Quantitative Analysis of the Spectrum of a Class of High Order Self Conjugate Differential Operators

QIAN Zhixiang
（The Department of Basic Education，Zhaoqing Science and Technology Polytechnic，Zhaoqing Guangdong 526100，China）

The paper quantitatively analyzes the spectrum of a class of high order self conjugate differential operators.It is indicated that their essential spectrum covers the entire positive semi－axisλ≥0 and there is only discrete spectrum in the negative semi－axis. Key W ords：differential expression；symmetric differential operator；self conjugate differential operator；discrete spectrum；essential spectrum；spectral analysis

O175.3

A

1008－4681（2014）02－0011－04

（責(zé)任編校：晴川）

2014－01－06

廣東省高層次人才培養(yǎng)項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：9251064101000015）.

錢志祥（1974－），男，安徽巢湖人，肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師，碩士.研究方向：微分算子理論.