孫廣人

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246011）

二分系數(shù)作用下的線性齊次型

孫廣人

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246011）

本文引入了一族置換對線性齊次型的系數(shù)作用，推廣了M.Bras-Amorós等人提出線性齊次型的概念。特別地，研究了一族置換對一個型的作用為二分系數(shù)作用時線性齊次型的基本結(jié)構(gòu)。

型；數(shù)字半群；二分系數(shù)作用

一個數(shù)字半群S是非負(fù)整數(shù)集合N的非空子集，包含0，加法封閉，且余集G（S）∶=NS有限。記g=#G（S），稱之為S的虧格。

Arf半群是數(shù)字半群中較為著名的一種類型，它的定義為：對于任意的s1≥s2≥s3∈S，s1+s2-s3∈S；換句話說，對于線性齊次多項式p（x1，x2，x3）=x1+x2-x3，以及任意的s1≥s2≥s3∈S，有p（s1，s2，s3）∈S。文［1］把這一描述推廣為關(guān)于數(shù)字半群線性齊次型的概念：設(shè)p（x1，…，xn）為n元整系數(shù)線性齊次多項式，S稱為承認(rèn)型p的數(shù)字半群，如果對于任意的s1≥…≥sn∈S，有p（s1，…，sn）∈S。

對于型p，一個重要結(jié)論為：

滿足上述三個條件的型稱為容許型。

在文獻(xiàn)［1］基礎(chǔ)上，本文將考慮和一個型相關(guān)的多個型的情況。為此引入n次對稱群Sn的一個子集對型p的系數(shù)作用：

為H對p的系數(shù)作用。一個數(shù)字半群S稱為承認(rèn)系數(shù)作用PH的，如果對于任意的σ∈H，以及s1≥…≥sn∈S都有p（s1，…，sn）σ∈S。

注1設(shè)承認(rèn)型p的一切數(shù)字半群為S（p）。根據(jù)定理1（2）可知承認(rèn)PH的一切數(shù)字半群的集合為

本文感興趣的子集H在于其中所有置換對p的系數(shù)作用都是二分的情況。在該作用下描述穩(wěn)固型與脆弱型的基本結(jié)構(gòu)。

1 二分作用下的穩(wěn)固型與脆弱型

定義2一個置換σ對于型p的作用如果滿足σ（A）?A，則稱σ對p的作用為二分的。

例1令p=x1+x2-x3，顯然σ1=（12）的作用是二分的，而σ2=（13）的作用是非二分的。

定義3設(shè)p是容許型，H為對p二分的全部置換。H1為H中一切保持B中數(shù)字不動置換，H2為H中一切保持A中數(shù)字不動置換，則

（1）如果N承認(rèn)系數(shù)作用PH，則稱p為穩(wěn)固型。反之，若對于任意非恒等置換σ∈H，S（pσ）=?，則稱p為脆弱型；

（2）如果N承認(rèn)系數(shù)作用PH1，則稱p為非負(fù)穩(wěn)固型。反之，若對于任意非恒等置換σ∈H1，S（pσ）=?，則稱p為非負(fù)脆弱型；

（3）如果N承認(rèn)系數(shù)作用PH2，則稱p為負(fù)穩(wěn)固型。反之，若對于任意非恒等置換σ∈H2，S（pσ）=?，則稱p為負(fù)脆弱型。

注2顯然H，H1和H2都是Sn的子群。

例2由定理1的條件（3），容易判斷p=x1+x2-x3，p2=2x1-x2+x3都是穩(wěn)固的型，p3= 3x1-2x2+x3是脆弱型。

例3p3=2x1-x2+4x3-5x4是非負(fù)穩(wěn)固的，也是負(fù)脆弱的。

例4p3=2x1-x2+x3-2x4既是非負(fù)穩(wěn)固型，也是負(fù)穩(wěn)固型，但不是穩(wěn)固型。

2 等價描述

本節(jié)給出穩(wěn)固型與脆弱型的等價描述。

定理2設(shè)p是容許型，集合A與B非空且#A =l，#B=m。令A(yù)，B中數(shù)按升序排列為：

再令A(yù)=｛αi∶i∈A｝，B=｛αj∶j∈B｝，A，B中數(shù)分別按升序排列為：

（1）p為穩(wěn)固型當(dāng)且僅當(dāng)pα是容許型；

（2）p為非負(fù)穩(wěn)固型當(dāng)且僅當(dāng)pβ是容許型；

（3）p為負(fù)穩(wěn)固型當(dāng)且僅當(dāng)pγ是容許型。

證明只證（1），其余兩個證明類似。顯然α∈H，所以p為穩(wěn)固型時自然pα是容許型。反之，如果pα是容許型，根據(jù)定理1（3）只需證明對于任意的即可。下面證明根據(jù)pα是容許型，即證結(jié)論。

把集合C=｛ασ（u）∶ασ（u）≥0，1≤u≤n′｝，D=｛ασ（v）∶ασ（v）＜0，1≤v≤n′｝分別按照升序排列

左右兩邊分別求和后即得。

定理3設(shè)p是容許型，集合A與B，A，B如定理2所設(shè)。令A(yù)，B中數(shù)按升序排列為

（1）p為脆弱型當(dāng)且僅當(dāng)p=α1x1+α2x2+ α3x3，其中α1，α3，α1+α2＞0，α2+α3＜0；

（2）p為非負(fù)脆弱型當(dāng)且僅當(dāng)A是1到n之間一些互不相鄰的數(shù)，αi1＞…＞αil，且對于任意1≤k≤l-1，存在ik≤uk≤ik+1-1，使得Auk＜αik-αik+1；

（3）p為負(fù)脆弱型當(dāng)且僅當(dāng)B是1到n之間一些互不相鄰的數(shù)，αj1＞…＞αjm，且對于任意1≤k≤m-1，存在jk≤vk≤jk+1-1，使得Avk＜αjkαjk+1。

證明先證明（2），（3）的證明與之類似。

必要性如果αi1＞…＞αil不成立，則存在1≤x＜y≤l，使得αix≤αiy，這時置換αix，αiy，顯然定理1的條件（3）仍然成立，矛盾。其次，如果存在兩個下標(biāo)相鄰，形如ix+1=ix+1，由定理1的條件（3）已知Aix-1≥0，所以交換αix，αix+1，條件（3）仍然滿足，矛盾。同樣原理，如果存在1≤k≤l，使得Ajk+1-1≥αik-αik+1，只要置換αik，αik+1即可。

充分性對于一個非恒等置換（1）≠σ∈H1，必然存在1≤x＜y≤l，σ（ix）＞σ（iy），即ασ（ix）≤ασ（iy），設(shè)y0是出現(xiàn)該情況的最小數(shù)，x0是對于y0最小滿足該關(guān)系的數(shù)，則有

由于ασ（ix0）＜ασ（iy0）及αi1＞…＞αil，可知存在整數(shù)k，滿足1≤k≤y0-1，使得

否則任意1≤k≤y0-1，都有σ（ik）=i，特別的σ（ix0）=ix0≤iy0-1＜σ（iy0），與假設(shè)矛盾。因此存在整數(shù)q，滿足1≤q≤y0-1，使得σ（iq）?｛i1，…，iy0-1｝，或者說由已知條件即得

再由定理1的（3）即得。

對于（1），由（2）和（3）可知A即為1到n之間的所有奇數(shù)，并且αi1＞…＞αil，αj1＞…＞αjm，A2k＜α2k-1-α2k+1，A2k+1＜α2k-α2k+2，但是如果n≥4，即有α1+α3+α4＜0，而α2＜0，因此α1+α2+α3+α4＜0，矛盾。即證結(jié)論。

［1］M.Bras-Amorós，P.A.García-Sánchez.Patterns on numerical semigroups［J］.Linear Algebra Appl.，2006，414（2-3）：652–669.

［2］M.Bras-Amorós，P.A.García-Sánchez and A.Vico-Oton，Nonhomogeneous patterns on numerical semigroups［J］，Internat.J.Algebra Comput.，2013，23（6）：1469-1483.

［3］J.C.Rosales，P.A.García-Sánchez.Numerical semigroups［M］.Volume20 of Developments in Mathematics，Springer，New York，2009：96-98.

Bipartite Act on Coefficients of a Linear Homogeneous Pattern

SUN Guang-ren
（School of Mathematics and Computational Science，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China）

This paper introduces acts of a setof permutations on coefficients of a linear homogeneous pattern.This notion generalizes linear homogeneous pattern，which was put forward by M.Bras-Amorós et al..Especially，we investigate basic constructions of patterns when acts of a set of permutations are bipartite.

pattern，numerical semigroups，bipartite acts on coefficients

O151.2

A

1007-4260（2014）03-0007-03

時間：2014-9-15 16：07 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2014.03.003.html

2014-02-23

孫廣人，男，河北唐山人，博士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向為代數(shù)與編碼。