王賀元,高焱

(1.遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧錦州121001;2.遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧錦州121001)

同心球間流動三模類Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)行為及數(shù)值仿真

王賀元1,高焱2

(1.遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧錦州121001;2.遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧錦州121001)

討論了同心球間旋轉(zhuǎn)流動的類Lorenz型方程組的動力學(xué)行為及其數(shù)值模擬問題,求出了該方程組平衡點,并對其穩(wěn)定性進行了分析,證明了該方程組吸引子的存在性,對類Lorenz方程組的動力學(xué)行為進行了數(shù)值模擬,數(shù)值試驗表明此類Lorenz型方程組存在極限環(huán)和奇怪吸引子.

Navier-Stokes方程;球Couette流;Lorenz系統(tǒng)

1 引言

兩個同心旋轉(zhuǎn)球之間的流動簡稱為球Couette流動,作為一個簡單的模型,研究它能夠為揭示流動失穩(wěn)轉(zhuǎn)捩至湍流這一重大理論課題的規(guī)律提供線索.由于球Couette流動更象全球大氣流動,研究它也能成為研究大氣物理提供一個粗略的模型,并提供一些理論指導(dǎo).因此,球Couette流動的研究有很大的理論價值,長期以來它一直是人們普遍關(guān)注的熱點問題,相關(guān)文獻非常豐富[1-7].文獻[2-3]通過實驗發(fā)現(xiàn),在低Reynolds數(shù)下的球Couette流是軸對稱和關(guān)于赤道反射對稱的,當(dāng)內(nèi)外球之間的間隙η介于(0.12,0.24)時(這里的間隙是指：通過無量綱化而使內(nèi)球半徑化為1后,內(nèi)外球之間的距離),球Couette流在子午面上存在三種形式,即0-渦,1-渦和2-渦.文獻[4-5]利用擬譜方法和配置法驗證了前面的實驗結(jié)果.文獻[6]的實驗首次驗證了球Couette并不是η和Reynolds的唯一函數(shù),流動的最終的平衡狀態(tài)還依賴于流動的過去狀態(tài),特別是在趨向最終狀態(tài)時的內(nèi)球加速度.文獻[2-3,6]中發(fā)現(xiàn)存在一個臨界Reynolds數(shù)Rec,當(dāng)Re≥Rec時才會出現(xiàn)Taylor渦,文獻[7]進一步利用各種方法,如具有差分,擬譜或配置法的弧長連續(xù)算法分別得到:當(dāng)η=0.18時,Rec1=645±0.05, Rec2=740±0.05,即當(dāng)ReRec時,出現(xiàn)2-Taylor渦,如圖1所示.綜上可以看出,對兩同心旋轉(zhuǎn)球間流動的研究一直還停留在實驗和數(shù)值模擬上,由于該問題雖是軸對稱的,但它畢竟還是一個三維問題,而且在球坐標(biāo)系下的Navier-Stokes方程非常復(fù)雜,所以理論上探討同心旋轉(zhuǎn)球間流動的Navier-Stokes方程解的存在,唯一及正則性等問題極為困難.

圖1 Couette流

文獻[1]對同心旋轉(zhuǎn)球間流動的Navier-Stokes方程譜展開后進行三模態(tài)截斷,得到一個類似于Lorenz系統(tǒng)[8-9]的類Lorenz方程組,討論了這個類Lorenz方程組的靜態(tài)分叉問題,給出其奇異點存在的條件,并計算出了解分支.本文選取不同的截斷模式,獲得一個新三模類Lorenz方程組,給出該方程組平衡點及其穩(wěn)定性的討論,證明了該方程組吸引子的存在性,數(shù)值模擬了雷諾數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時類Lorenz方程組的動力學(xué)行為.

2 三模類Lorenz型方程組的平衡點及其穩(wěn)定性分析

為獲得流體系統(tǒng)的動力學(xué)行為,對其進行低模分析是非常有意義的.作為較早發(fā)現(xiàn)的混沌模型Lorenz系統(tǒng)只包含三個模態(tài),但它的形式簡單,內(nèi)容豐富,不僅開辟了數(shù)學(xué)上一些振奮人心的新領(lǐng)域,而且還與湍流現(xiàn)象密切相關(guān).由于它是非線性的,純粹分析還是困難的,許多結(jié)果是通過數(shù)值分析在計算機上算出來的.對兩球間的旋轉(zhuǎn)流動,也存在類似于Lorenz方程組的典型方程組,即在譜展開式中,取少數(shù)幾個主要模式(基函數(shù)),得到一個類Lorenz型方程組,進而討論其平衡點的穩(wěn)定性、吸引子的存在性、分歧、混沌等非線性現(xiàn)象.本文選取如下截斷模式:

其中a,b,c,d1,d2,e,f,h1,h2,g為譜展開系數(shù),均為正常數(shù).這樣做的意義在于:不但克服了譜方法得到的龐大的常微分方程組性質(zhì)不好把握的困難,而且得到的類Lorenz型方程組包含了非常豐富而有意義的內(nèi)容,這對探討Navier-Stokes方程的分歧、湍流等非線性現(xiàn)象非常重要.由于采用Stokes算子的特征函數(shù)作為逼近子空間的基函數(shù),因此截斷法具有明顯的物理意義:每一個基函數(shù)都可以看成是一種基本的流動模式,實際的流動則可以看成是這些基本流動模式的迭加.

微分方程組(2.1)的平衡點應(yīng)滿足如下的代數(shù)方程組:

方程組(2.2)有三個解,

它們就是類Lorenz型方程組(2.1)的平衡點,這里Re1,Re2是方程的解, Re1≈3300,Re2≈608700.平衡點(2.3)代表了球Couette流的基本流,平衡點(2.4)式代表了球Couette流的另一種非基本流的流動狀態(tài).把方程組(2.1)在平衡點附近線性化,經(jīng)計算得

其中(X,Y,Z)分別為平衡點的三個分量.

下面討論平衡點S0,S±的穩(wěn)定性,將平衡點S0的三個分量(X,Y,Z)代入(2.5)式,則得

到矩陣(2.5)的特征方程:

即

設(shè)Re3,Re4為

的解,且Re3Re4時,方程有兩個負(fù)實部的根,此時S0穩(wěn)定.

對S±,將平衡點S±的各個分量(X,Y,Z)代入矩陣(2.5),與前面的做法相同,通過計算發(fā)現(xiàn),?Re>0所有特征值均為負(fù)實部,因此,平衡點S±穩(wěn)定.

3 吸引子的存在性

為了討論類Lorenz型方程組(2.1)的動力學(xué)行為,把它改寫成如下形式:

在以上三個方程兩邊分別乘以x,y,z相加后得:

利用Young不等式得,

所以,

由于正常數(shù)ε1,ε2可任意選取,故可以選到正數(shù)M0,M1,M2,滿足

即

再取M=min{M0,M1,M2},于是

令

不難驗證,|u|是一個范數(shù),于是從(3.2)-(3.4)式得到:

運用Gronwall不等式[11],有

故

不等式(3.5)說明,若記B(0,ρ)為H(H一般是Hilbert空間,這里就是普通的三維歐氏空間)中以0為中心,以ρ≥ρ0為半徑的球,則B(0,ρ)是方程組(2.1)的初值問題所確定的算子半群S(t)的一個不變集,即若u0∈B(0,ρ),

故S(t)B(0,ρ)?B(0,ρ).并且當(dāng)ρ>ρ0時,這些球是吸收集,實際上,任一有界集D,都有

故方程組(2.1)存在吸引子[10-11].

4 數(shù)值模擬

下面對類Lorenz型方程組(2.1)的動力學(xué)行為進行數(shù)值模擬,通過計算得方程組(2.1)的系數(shù)如下:

a=309.681,b=3.21,c=1.346,d1=1218.503,d2=1208.771,e=2.744,

h1=1.696,h2=3.305,f=0.11g=1.057.

隨著雷諾數(shù)Re的增大,類Lorenz方程組(2.1)的平衡點穩(wěn)定性發(fā)生了變化,出現(xiàn)了Hopf分岔和混沌等非線性現(xiàn)象.下面數(shù)值模擬系統(tǒng)(2.1)的動力學(xué)行為.

1)通過數(shù)值計算得方程組(2.1)在Re<7513.95···時,平衡點S0穩(wěn)定,解軌線為螺旋線趨于平衡點S0,見圖2.

2)當(dāng)Re≥7513.95···平衡點S0開始不穩(wěn)定,圍繞平衡點S0出現(xiàn)奇怪吸引子,如圖3,圖4.

圖2 Re=164.58

圖3 Re=194.43

3)當(dāng)Re進一步增大時,有一對特征值實部接近于0,即出現(xiàn)一對純虛特征值,系統(tǒng)(2.1)發(fā)生了Hopf分岔.解軌線為單閉軌線,即出現(xiàn)極限環(huán),如圖5.

圖4 Re=7835.76

圖5 Re=8132.69

參考文獻

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[11]李開泰,馬逸塵.數(shù)理方程Hilbert空間方法(下)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1992.

The dynamical behavior and the numerical simulation of the Lorenz system of the fl ow between two concentric rotating spheres

Wang Heyuan1,Gao Yan2
(1.School of Sciences,Liaoning University of Technology,Jinzhou121001,China; 2.Department of computer science,Liaoning Petro-Chemical Vocational Technology College, Jinzhou121001,China)

In order to study the problem of rotating fl ow we investigate the dynamical behavior and the numerical simulation of the model system similar to the Lorenz equations of the Navier-Stokes equations for the fl ow between two concentric rotating spheres.Its stationary points and the stability are presented,the existence of attractor is proved.Chaos behavior is simulated numerically by computer with the changing of Reynolds number,Numerical experiments show that the existence of limit cycles and strange attractors.

Navier-Stokes equations,spherical Couette fl ow,the Lorenz system

O357.1;O241.82

A

1008-5513(2014)01-0007-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.002

2013-09-20.

遼寧省教育廳科研基金(L2013248);錦州市科技專項基金(13A1D32).

王賀元(1963-),博士,教授,研究方向：非線性系統(tǒng)分歧混沌理論及其數(shù)值分析.

2010 MSC:65J15,47H15,65M60