畢然,武東

(1.愛荷華州立大學統(tǒng)計系,愛荷華州艾姆斯50011;2.安徽農(nóng)業(yè)大學理學院,安徽合肥230036)

Weibull 分布恒定應力加速壽命試驗的Bayes估計

畢然1,武東2

(1.愛荷華州立大學統(tǒng)計系,愛荷華州艾姆斯50011;2.安徽農(nóng)業(yè)大學理學院,安徽合肥230036)

對定時和定數(shù)截尾樣本情形CE模型下Weibull分布場合恒定應力加速壽命試驗進行了Bayes統(tǒng)計分析,利用Laplace方法給出了該模型的近似Bayes估計.最后通過模擬實例表明該Bayes估計是有效的.

CE模型;Weibull分布;恒定應力加速壽命試驗;Bayes估計;Laplace方法

1 引言

在評定高可靠性、長壽命產(chǎn)品的可靠性時,常采用加速壽命試驗[1-2].加速壽命試驗按照施加應力方式的不同主要分為三種類型:恒定應力加速壽命試驗,步進應力加速壽命試驗和序進應力加速壽命試驗(簡稱恒加試驗、步加試驗和序加試驗).恒加試驗是先選一組加速應力水平,然后將一定數(shù)量的樣品分為若干組,每組在一個加速應力水平下進行壽命試驗,直到各組均有一定數(shù)量的產(chǎn)品發(fā)生失效為止.為了縮短壽命試驗時間,通常對各應力水平下壽命試驗采用定數(shù)截尾和定時截尾.恒加試驗相對于其它兩種加速壽命試驗具有以下優(yōu)點[3]:試驗方法簡單,試驗設備要求不高;試驗理論較為成熟,試驗容易取得成功;試驗中得到的信息最多,試驗結果較為準確.

在Weibull分布恒定應力加速壽命試驗的統(tǒng)計分析方面.文獻[4]給出了Weibull分布基于恒加壽命試驗的近似無偏估計和近似區(qū)間估計.文獻[5]利用逆矩估計方法給出了Weibull分布場合具有非常數(shù)形狀參數(shù)恒加試驗的點估計和區(qū)間估計.文獻[6]對Weibull分布場合恒加壽命試驗的參數(shù)估計進行了討論,在文獻[4]的基礎上得到了更優(yōu)的參數(shù)估計方法.但以上方法均沒有考慮到未知參數(shù)的先驗信息,文獻[7]對Weibull分布場合恒定應力加速壽命試驗進行了Bayes分析,但僅考慮了形狀參數(shù)的先驗取離散均勻分布.文獻[8]對Weibull分布的形狀參數(shù)考慮了均勻分布給出了Weibull分布恒加試驗的Bayes估計.文獻[9-10]采用最小二乘估計和最大似然估計對Weibull分布恒加試驗進行了參數(shù)估計,并對真空熒光顯示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的壽命進行了預測和可靠性壽命評估.

但上述方法均沒考慮到產(chǎn)品在正常應力水平下的先驗信息.本文討論了CE模型下定時和定數(shù)截尾兩種情形Weibull分布場合恒定應力加速壽命試驗的Bayes分析.使用加速系數(shù)將產(chǎn)品壽命換算為正常應力水平下的壽命,從而能有效使用正常應力下產(chǎn)品的先驗信息.在Bayes分析中,對后驗分布參數(shù)進行了重參數(shù)化,并利用Laplace方法進行了Bayes估計的近似.最后,利用蒙特卡羅方法對定數(shù)截尾情形Weibull分布恒加試驗阿侖尼斯模型進行了仿真,通過仿真得到該Bayes估計是有效而實用的.

2 基本假設與試驗安排

假設1在正常應力水平S0和加速應力水平S1

其中mi>0和ηi分別稱為應力水平Si下的形狀參數(shù)和特征壽命,i=1,···,k.

假設2[2]在各種應力水平下產(chǎn)品的失效機理相同,由于Weibull分布的形狀參數(shù)反映了失效機理,因此,此假定等價于:

假設3產(chǎn)品的特征壽命ηi與加速應力水平Si滿足下列加速模型,即

其中a,b為參數(shù),?(Si)是應力Si的已知減函數(shù).當應力Si是溫度時,

此時模型為阿倫尼斯模型;當應力Si是電壓時,?(Si)=lnSi;此時模型為逆冪律模型.

上述三個基本假設都是在一定的物理背景下建立起來的,在實際應用中一般可以用專業(yè)知識,工程經(jīng)驗和統(tǒng)計檢驗等方法來判斷是否成立.

定時和定數(shù)截尾情形Weibull分布恒加試驗的具體安排如下:

(1)確定正常應力水平S0和k個加速應力水平S1,S2,···,Sk,這些應力水平一般應滿足如下關系:

(2)取n個產(chǎn)品分為k組,在加速應力水平Si下有ni個產(chǎn)品進行定數(shù)或定時截尾恒加試驗,設在加速應力水平Si下產(chǎn)品的失效時間為:

在定時截尾試驗場合,τi為加速應力水平Si下預先給定的試驗中止時間,ri為在加速應力水平Si下時間τi之前產(chǎn)品的失效數(shù);在定數(shù)截尾試驗場合,ri為預先給定的中止試驗的樣本數(shù).

3 Bayes估計

由假設3,知

其中

為產(chǎn)品在應力S1和S0之間的加速系數(shù)[2].

為了方便,現(xiàn)在記

為了獲得參數(shù)的Bayes估計,先研究一下Weibull分布恒加試驗參數(shù)的先驗分布.根據(jù)工程經(jīng)驗得到加速系數(shù)c的取值范圍為1≤c1

m為Weibull分布的形狀參數(shù),根據(jù)專家經(jīng)驗,可以設定m為區(qū)間[m1,m2]上的均勻分布,即

產(chǎn)品在應力水平S0下,m已知時,取ηm的自然共軛分布為逆Gamma分布,其概率密度為:

其中η>0,α>0,β>0,α和β為超參數(shù).當α=β=0時,為無信息先驗.

定理3.1現(xiàn)對n個壽命服從Weibull分布的產(chǎn)品按上述試驗安排進行試驗得到數(shù)據(jù)(3),參數(shù)η,m,c的先驗取上述分布,并對參數(shù)按(7)式進行重參數(shù)化,即

記θ=(λ,μ,m),θ的參數(shù)空間為:

若g(θ)為待估參數(shù),則在平方損失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估計為:

其中

證明對于(3)式的數(shù)據(jù),可以得到似然函數(shù)為:

至此,得到m,η,c的聯(lián)合后驗密度為:

對參數(shù)η,c,m按(7)式進行重參數(shù)化,該變換的Jacobi行列式為:

從而得到θ的聯(lián)合密度為

在平方損失下,g(θ)的Bayes估計(后驗均值)為:

由于上式兩個積分之比無顯示表達,可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes估計,即

分別取g(θ)為λ,μ,m,利用定理3.1可分別得到三個參數(shù)的Bayes估計.下面僅給出λ的Bayes估計,其它可類似討論.取g(θ)=λ,則得到L的Hessian矩陣為:

式中

L?的Hessian矩陣為:

式中

對于L和L?的極大值

可采用帶約束條件的非線性規(guī)劃算法進行求解.

4 仿真例子

以上已經(jīng)得到Weibull分布恒加試驗的λ,μ,m的Bayes估計,現(xiàn)用Monte Carlo方法進行模擬.步驟如下:

(1)正常應力水平S0=313K(表示絕對溫度),選取應力為

S1=358K,S2=398K,S3=448K,

加速方程為

形狀參數(shù)m=1.5.此時正常應力水平S0下的特征壽命η=2422.24,而加速系數(shù)c=1.8265.

(2)產(chǎn)生ni個服從U(0,1)分布的相互獨立的隨機變量Ui1,···,Uini,令

(3)利用本文方法可得到λ,μ,m的Bayes估計,η的取無信息先驗,c的先驗取U(1,5),m的先驗取U(1,3).利用(10)式的變換可得到η,c,m的Bayes估計?η,?c,?m.

(4)重復上述模擬100次,然后計算Bayes估計的均值和相對均方誤差.

表1給出了Weibull分布恒加試驗的基于Laplace方法的近似Bayes估計的均值和相對均方誤差(簡寫為均方誤差).模擬結果表明:

其一,在各種情形下,相對均方誤差均較小,說明該Bayes估計的效果均較好;

其二,隨著試驗產(chǎn)品數(shù)量和失效數(shù)的增加,相對均方誤差有下降趨勢,說明Bayes估計隨著產(chǎn)品數(shù)據(jù)和失效數(shù)的增加效果更好,因為在Bayes估計中獲得的產(chǎn)品信息也隨之增加.

其三,該方法的最大優(yōu)點是避免了大量的數(shù)值積分,從而獲得高效的Bayes估計.

表1 Bayes估計的均值和相對均方誤差

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Bayesian estimation of constant stress accelerated life testing with Weibull distribution

Bi Ran1,Wu Dong2

(1.Department of Statistics,Iowa State University,Ames50011,USA; 2.The Science Institute of Anhui Agricultural University,Hefei230036,China)

In this paper,we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model.Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method.Finally,we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.

CE model,Weibull distribution,constant stress accelerated life testing,Bayesian estimation, Laplace method

O213.2

A

1008-5513(2014)01-0093-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.014

2010-11-09.

國家社科基金青年項目(12CGL041);安徽農(nóng)業(yè)大學學科建設項目(XKXWD2013021).

畢然(1990-),碩士生,研究方向：應用統(tǒng)計.

武東(1976-),碩士,副教授,研究方向:應用統(tǒng)計.

2010 MSC:62N05