鄒連龍，叢 明，何一冉

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

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基于灰色-馬爾科夫理論的加工誤差預(yù)測(cè)*

鄒連龍，叢 明，何一冉

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

為了預(yù)測(cè)加工誤差，采用灰色系統(tǒng)理論GM(1,1)模型對(duì)高速加工中心連續(xù)鉆削并鉸孔的12個(gè)mm孔的相對(duì)誤差進(jìn)行了建模，求解得到時(shí)間響應(yīng)序列模型及灰色預(yù)測(cè)值；采用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行狀態(tài)劃分并修正，并建立預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比曲線圖；采用方差比與小概率誤差對(duì)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行檢驗(yàn)。結(jié)果證明，采用灰色系統(tǒng)理論與馬爾科夫概率矩陣修正方法相結(jié)合，對(duì)加工誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的，為相關(guān)誤差補(bǔ)償技術(shù)的研究奠定了良好的基礎(chǔ)。

誤差預(yù)測(cè)；灰色系統(tǒng)理論；馬爾科夫；概率轉(zhuǎn)移矩陣；

0 引言

加工誤差會(huì)降低工件的精度，影響工件的使用性能，過(guò)大的誤差甚至?xí)?dǎo)致工件報(bào)廢[1]，所以加工精度是保證工件性能的重要因素。對(duì)加工誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)在提高機(jī)床加工精度，降低生產(chǎn)成本方面可以起到關(guān)鍵的作用?，F(xiàn)有的誤差預(yù)測(cè)方法主要集中在對(duì)機(jī)床部件誤差的離線分析、刀齒軌跡分析、對(duì)加工過(guò)程進(jìn)行仿真分析及預(yù)測(cè)等，并不能充分考慮加工過(guò)程中的外部影響因素，如環(huán)境溫度變化、機(jī)床振動(dòng)、甚至機(jī)床擺放位置的影響等。實(shí)際上，影響加工誤差的因素有很多，包括已知因素與未知因素，因此可以將其視為灰色系統(tǒng)，可以采用灰色系統(tǒng)理論對(duì)誤差的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

灰色系統(tǒng)理論是由我國(guó)學(xué)者鄧聚龍于1982年創(chuàng)立的。它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成和開(kāi)發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為的正確認(rèn)識(shí)和有效控制[2-4]。GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基本模型，根據(jù)此模型可準(zhǔn)確預(yù)知信息的變化趨勢(shì)，但針對(duì)振幅較大的隨機(jī)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)并不準(zhǔn)確。馬爾科夫預(yù)測(cè)方法是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)發(fā)展[5]，是以隨機(jī)變化的數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ)，對(duì)序列的變化進(jìn)行修正預(yù)測(cè)。

本文將灰色系統(tǒng)理論與馬爾科夫(Markov)理論相結(jié)合，采用灰色系統(tǒng)理論的GM(1,1)模型對(duì)加工中心連續(xù)加工的φ12mm孔x軸向誤差值進(jìn)行建模，對(duì)后續(xù)數(shù)值進(jìn)行預(yù)測(cè)并還原原始序列值，將預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相比較，得出預(yù)測(cè)誤差，并運(yùn)用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)誤差分布規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而修正由灰色系統(tǒng)理論得出的預(yù)測(cè)結(jié)果，通過(guò)精度檢驗(yàn)證明該模型可靠，可以進(jìn)行加工誤差預(yù)測(cè)。

1 加工誤差數(shù)據(jù)的采集及灰色預(yù)測(cè)

1.1 加工誤差數(shù)據(jù)的采集

本文采用某機(jī)床廠的高速四軸加工中心對(duì)鋁合金材料進(jìn)行連續(xù)鉆削并鉸孔，孔徑均為12mm，采用三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量各個(gè)孔的x軸向誤差值。共連續(xù)加工16個(gè)孔，取前12個(gè)孔的x軸向誤差值為原始數(shù)據(jù)，如表1所示。對(duì)其余四個(gè)孔的x軸向誤差值進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 原始數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差值

為避免不同參數(shù)對(duì)不同孔的加工誤差的影響，應(yīng)使每個(gè)孔的加工誤差影響因子大體相同，因此在加工過(guò)程中，各個(gè)孔應(yīng)保持各項(xiàng)參數(shù)一致，如進(jìn)給量、切削速度、切削時(shí)間等，并在過(guò)程中無(wú)換刀動(dòng)作。在測(cè)量時(shí)，同樣為避免不同的測(cè)量參考點(diǎn)對(duì)孔精度的影響，要以同一個(gè)銷(xiāo)孔作為測(cè)量的坐標(biāo)原點(diǎn)。

1.2 加工誤差的灰色GM(1,1)建模及預(yù)測(cè)

灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在的規(guī)律[2]?；疑獹M(1,1)模型通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加(或累減)處理，將信息變化規(guī)律白化，可以更清楚地看到信息變化的情況，進(jìn)而對(duì)信息變化進(jìn)行預(yù)測(cè)。

加工誤差的灰色預(yù)測(cè)建模過(guò)程如下：

x(0)為原始非負(fù)序列為：

x(0)=[0.0036,0.0056,0.0078,0.0070,0.0025,0.0074, 0.0023,0.0090,0.0091,0.0026, 0.0017,0.0108]

對(duì)x(0)進(jìn)行一階累加處理，得到x(1)為：

x(1)=[0.0036,0.0092,0.0170,0.0240,0.0265,0.0339, 0.0362,0.0452,0.0543,0.0569,0.0586,0.0694]

對(duì)x(1)建立白化方程，即GM(1,1)模型：

(1)

(2)

求解得到時(shí)間響應(yīng)序列為：

(3)

其中，k=1,2…,n。

對(duì)其做累減處理后，得其預(yù)測(cè)模型為：

(4)

其中，k=1,2,…，n。

一次殘差序列w(i)與相對(duì)誤差序s(i)列分別為：

(5)

(6)

其中，i=1，2，…，n。

灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)結(jié)果如下表2所示。

表2 灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

灰色GM(1,1)模型實(shí)現(xiàn)了利用離散數(shù)據(jù)序列建立連續(xù)動(dòng)態(tài)微分方程模型的過(guò)程，通過(guò)模型可看出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，并對(duì)下一部分?jǐn)?shù)據(jù)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。該模型對(duì)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減序列的預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確，但在對(duì)隨機(jī)序列預(yù)測(cè)方面，尚存在欠缺。

2 馬爾科夫理論對(duì)灰色預(yù)測(cè)值的修正

2.1 馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移理論

由于灰色模型預(yù)測(cè)要求其累加生成序列具有指數(shù)性質(zhì)，這樣才能用微分方程擬合[6-7]，但在原始數(shù)列隨機(jī)性較強(qiáng)、振幅較大的情況下，累加序列未必會(huì)有指數(shù)性質(zhì)，故此時(shí)灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)誤差較大。馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣是隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型[8]，通過(guò)馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)灰色預(yù)測(cè)所產(chǎn)生的誤差進(jìn)行修正，可以提高灰色預(yù)測(cè)精度，滿(mǎn)足預(yù)測(cè)要求。

根據(jù)馬爾科夫理論，將數(shù)據(jù)序列分為若干狀態(tài)[9]，以E1，E2，…En來(lái)表示，Pij(k)表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過(guò)k步變?yōu)镋j的概率，即：

(7)

其中，nij(k)表示Ei狀態(tài)經(jīng)過(guò)k步變?yōu)镋j的次數(shù)；Ni表示Ei出現(xiàn)的總次數(shù)。

則k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(8)

若初始狀態(tài)Ei的初始向量為V(0)，則經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移后，向量V(k)為：

V(k)=V(0)·R(k)

(9)

2.2 加工誤差灰色預(yù)測(cè)結(jié)果的馬爾科夫修正

根據(jù)灰色預(yù)測(cè)結(jié)果，將前12組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差情況依次分為編號(hào)為1～6的六個(gè)狀態(tài)區(qū)間：[-0.759,-0.4)，[-0.4,-0.2)，[-0.2,0)，[0,0.2)，[0.2,0.4)，[0.4,0.73)。相對(duì)誤差所在的狀態(tài)區(qū)間如表3所示。

表3 預(yù)測(cè)誤差概率狀態(tài)劃分

依據(jù)馬爾科夫預(yù)測(cè)方法，取7步概率轉(zhuǎn)移矩陣，其中：

同理可得其余步數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣R(k)其中k=2，3，…，7。

取預(yù)測(cè)序列的最后7組預(yù)測(cè)值，根據(jù)以上7步概率轉(zhuǎn)移矩陣，預(yù)測(cè)第13組數(shù)據(jù)的誤差概率轉(zhuǎn)移過(guò)程如表4所示。

表4 馬爾科夫預(yù)測(cè)概率轉(zhuǎn)移過(guò)程

根據(jù)式(9)對(duì)其他3組預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行馬爾科夫修正，并對(duì)其他還原值進(jìn)行相應(yīng)步數(shù)的馬爾科夫修正，得到新的修正值及誤差如表5所示。

表5 馬爾科夫理論修正的預(yù)測(cè)結(jié)果

由馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法修正原始灰色預(yù)測(cè)值后，將原始值與灰色預(yù)測(cè)值、馬爾科夫修正值擬合成同一坐標(biāo)系內(nèi)的曲線，如圖1所示。

圖1 原始值與灰色預(yù)測(cè)值、馬爾科夫修正值擬合曲線圖

由圖中可見(jiàn)，真實(shí)值波動(dòng)較大，采用灰色系統(tǒng)理論得出的預(yù)測(cè)值較平滑，近似于一條平滑直線，反映了真實(shí)值的緩慢上升的變化趨勢(shì)，這也符合實(shí)際的加工情況，由刀具磨損帶來(lái)的誤差會(huì)隨著加工次數(shù)的增多而加大，但加工誤差的灰色預(yù)測(cè)值較原始值偏差較大。由馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法修正后的預(yù)測(cè)值波動(dòng)趨勢(shì)與原始值相似，預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確，得到修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果較原預(yù)測(cè)值在精度上有了很大的提高。

2.3 預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)

以后驗(yàn)指標(biāo)均方差比c與小誤差概率P來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)精度[10]。原始序列x(0)及一次殘差序列w'(i)的標(biāo)準(zhǔn)差S1和S2分別為：

均方差比與小誤差概率分別為：

c=S2/S1=0.2374

由c<0.35，P>0.95可知，精度等級(jí)為1級(jí)，該模型可靠，所以對(duì)加工誤差的預(yù)測(cè)可以根據(jù)灰色-馬爾科夫理論進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用灰色GM(1,1)模型對(duì)加工中心連續(xù)鉆削并鉸孔的16個(gè)φ12孔x軸向誤差的大小進(jìn)行了建模與預(yù)測(cè)，并用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法對(duì)灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行了修正，使精度有所提高。精度檢驗(yàn)結(jié)果表明，采用灰色-馬爾科夫理論方法對(duì)加工誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的，效果理想。通過(guò)對(duì)加工誤差的預(yù)測(cè)，可預(yù)知加工誤差的大小，提前采取相應(yīng)的誤差補(bǔ)償措施，提高加工精度。

[1] 黨建衛(wèi),張衛(wèi)紅,萬(wàn)敏，等.周銑過(guò)程中加工誤差預(yù)測(cè)新模型[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011,47(17)：150-155.

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(編輯 李秀敏)

Machining Error Prediction Based on Grey-Markov Theory

ZOU Lian-long, CONG Ming, HE Yi-ran

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116023, China)

In order to predict machining error, the model of relative error of 12 holes, which were drilled and reamed with machining center and the diameter of each one is 12, was made with the GM (1, 1) model of grey system theory and the time response sequence of the model and grey prediction results were achieved. Using Markov probability transfer matrix, the classification of grey prediction results were stated and modified and the graph of comparison of prediction results was established. The accuracy was tested based on the variance ratio and small error probability. The results prove that the combination of the grey theory and Markov probability matrix correction method is feasible to the machining error prediction, laid a good foundation for error compensation.

error prediction; grey system theory; markov; transfer matrix;

1001-2265(2014)01-0014-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.004

2013-04-01

國(guó)家“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造設(shè)備”科技重大專(zhuān)項(xiàng)課題(2011ZX04015-021)

鄒連龍(1988—)，男，長(zhǎng)春人，大連理工大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)楦咚偾邢髋c精密加工技術(shù)， (E-mail)zll114@hotmail.com。

TH161; TG65

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