肖 勇，戴躍洪，張 睿，陳 易

(電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731)

不確定微機(jī)電混沌系統(tǒng)的反演自適應(yīng)控制

肖 勇，戴躍洪，張 睿，陳 易

(電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731)

簡(jiǎn)單分析了靜電力驅(qū)動(dòng)微機(jī)電諧振器的混沌特性，給出了系統(tǒng)位移隨電壓變化的分岔圖及典型的混沌吸引子。針對(duì)含有不確定的微機(jī)電混沌系統(tǒng)，結(jié)合反演與自適應(yīng)控制技術(shù)，提出了一種自適應(yīng)反演混沌控制策略。該策略通過自適應(yīng)方法在線估計(jì)系統(tǒng)中的不確定性，并通過反演控制來(lái)快速實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。最后，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的策略的有效性。

微機(jī)電系統(tǒng)；混沌；自適應(yīng)反演控制；不確定性

0 引言

微機(jī)電系統(tǒng)是由彈簧、電阻、電容、電感及阻尼器等非線性元器件構(gòu)成，是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[1-3]。已經(jīng)有許多有關(guān)學(xué)者進(jìn)行了有關(guān)微機(jī)電系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)行為研究，諸如微機(jī)電系統(tǒng)頻域響應(yīng)曲線的彎曲度及躍變現(xiàn)象等[4]?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的一種特殊現(xiàn)象，它同樣存在于微機(jī)電系統(tǒng)中[5]。文獻(xiàn)[6]通過建模的方法來(lái)預(yù)測(cè)微機(jī)電系統(tǒng)中的混沌行為。文獻(xiàn)[7]分析了響應(yīng)共振條件下接近特定諧振分界線的微機(jī)電諧振系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[9]通過Mathieu方程來(lái)對(duì)微機(jī)電振蕩器進(jìn)行建模，并對(duì)其非線性混沌特性進(jìn)行了數(shù)字仿真與實(shí)驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[10]發(fā)現(xiàn)在開環(huán)和閉環(huán)的微機(jī)電懸臂梁系統(tǒng)中同樣存在混沌現(xiàn)象。混沌現(xiàn)象表現(xiàn)為對(duì)初始條件的敏感性和不可預(yù)測(cè)性，在許多實(shí)際場(chǎng)合是有害的，必須得到抑制。文獻(xiàn)[8]已成功將最優(yōu)反饋控制控制策略應(yīng)用于微機(jī)電諧振混沌系統(tǒng)，將其快速鎮(zhèn)定到期望的周期軌道。文獻(xiàn)[11]結(jié)合滑?？刂婆c模糊控制，提出了一種存在不確定性的微機(jī)電系統(tǒng)諧振系統(tǒng)模糊滑?？刂撇呗?，該策略利用模糊方法在線估計(jì)系統(tǒng)的不確定性，并進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋補(bǔ)償。文獻(xiàn)[12]將模糊控制與快速終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合，利用快速終端滑?？刂七M(jìn)一步改善上文的相應(yīng)能力。文獻(xiàn)[13]成功將模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了微機(jī)電諧振混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制。由于模糊控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且模糊規(guī)則的選擇對(duì)人類的經(jīng)驗(yàn)具有較強(qiáng)的依賴性，因此，該方法在實(shí)際的物理系統(tǒng)應(yīng)用中有一定的難度。

針對(duì)含有不確定性的微機(jī)電諧振系統(tǒng)，綜合自適應(yīng)控制和反演控制的優(yōu)點(diǎn)，提出一種微機(jī)電諧振混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)反演控制方法。該方法利用自適應(yīng)控制來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)不確定性的在線估計(jì)，并通過反演控制來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速鎮(zhèn)定。

1 系統(tǒng)描述

圖1 靜電力驅(qū)動(dòng)微機(jī)械諧振器示意圖

圖1是靜電力驅(qū)動(dòng)微機(jī)電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中，d代表的是微梁間距的初始寬度，z是橫梁的垂直偏移量。作用在諧振器上的交流驅(qū)動(dòng)電壓和電極與諧振器之間直流偏置電壓一起產(chǎn)生靜電力驅(qū)動(dòng)力。Vi=Vb+VAC·sinΩτ，其中Vb是直流偏置電壓，VAC和Ω分別是交流電壓幅值和頻率。

假設(shè)交流驅(qū)動(dòng)電壓的幅值比偏置電壓小很多，根據(jù)動(dòng)力學(xué)平衡方程，微機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為如下的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

系統(tǒng)(1)可表示為：

(2)

上述無(wú)量綱的MEMS諧振系統(tǒng)模型(2)是一個(gè)多變量的非線性系統(tǒng)，在一些特定的參數(shù)和工作條件下會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)。例如，取α=1,β=12,γ=0.338,μ=0.01,Vb=3.8,ω=0.5，初始狀態(tài)為(x10,x20)=(0.01,0.1)，以交流電壓幅值VAC作為分岔參數(shù)[14]可作出MEMS諧振系統(tǒng)的二維相圖(圖2)和分岔圖(圖3)所示。從圖2可以看出，當(dāng)VAC=0.1時(shí)，系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)VAC=0.15時(shí)，系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)VAC=0.2時(shí)，系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)。圖3是以VAC作為分岔參數(shù)，x1和x2作為分岔參數(shù)作出的分岔圖。

圖2 MEMS諧振器的相圖

圖3 MEMS諧振器的分叉圖

2 反演自適應(yīng)混沌控制

考慮具有如下形式的MEMS混沌系統(tǒng)：

(3)

式中：u是控制輸入，δf=Δf(x1,x2)，Δf(x1,x2)為一與系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2有關(guān)的不確定項(xiàng)，它表示系統(tǒng)中未建模動(dòng)態(tài)或結(jié)構(gòu)的不確定性。一般假設(shè)此不確定項(xiàng)滿足條件：|Δf(y)|≤δ，δ為不確定上界，是一個(gè)正常數(shù)。

假設(shè)期望的軌跡為xr，下面設(shè)計(jì)反演自適應(yīng)混沌控制器，快速將狀態(tài)x1鎮(zhèn)定到期望軌跡xr，具體設(shè)計(jì)步驟如下：

又δf為不可確定的，故?。?/p>

則v3=-c1z12-c2z22≤0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論可知，所設(shè)計(jì)的控制器是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提出的反演自適應(yīng)控制策略的有效性，對(duì)上述微機(jī)電諧振混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真中采用四階Runge-Kutta法，采樣時(shí)間Ts=0.01s，初始條件(x10,x20)=(0.01,0.1)，其參數(shù)同第二部分，不再累述。本文的目的是控制狀態(tài)位置使x其能夠跟蹤期望軌跡xr=0.2sin(0.5τ)。假定不確定元素Δf(x1,x2)=-0.05sin(x1)受條件|Δf(y1,y2)|≤ρ=0.05所約束。

控制器參數(shù)選擇如下：c1=10,c2=2,γ=5。控制輸入u在τ=200時(shí)起作用，圖4給出了受控MEMS諧振混沌系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)及控制輸入曲線。

圖4 控制作用前后MEMS諧振系統(tǒng)的 狀態(tài)響應(yīng)及控制輸入曲線

從圖4可以看出，未加入控制作用時(shí)，系處于混沌狀態(tài)，在τ=200時(shí)加入控制作用，系統(tǒng)能快速的跟蹤輸入信號(hào)。即使系統(tǒng)中存在不確定性，所提出的控制策略仍能有效實(shí)現(xiàn)輸入信號(hào)的跟蹤。

4 總結(jié)

靜電力驅(qū)動(dòng)微諧振系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。本文首先對(duì)該系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析與仿真，其次，針對(duì)含有不確定性的MEMS諧振混沌系統(tǒng)，提出了一種反演自適應(yīng)控制策略。該方法不但結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，相應(yīng)速度快，而且對(duì)系統(tǒng)的不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性，能夠較好的滿足系統(tǒng)性能的要求。最后，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的控制策略的有效性，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯 李秀敏)

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——本刊編輯部

Back-stepping Adaptive Control of Uncertain Micro-electro-mechanical Chaos System

XIAO Yong，DAI Yue-hong，ZHANG Rui，CHEN Yi

(School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

The paper analyzes the chaotic behavior of the electrostatically actuated micro-electro-mechanical resonators. The bifurcation diagram about system displacement change with voltage and the typical chaotic attractor are given. Combined with adaptive control and back-stepping approach, an adaptive back-stepping control scheme is proposed for micro-electro-mechanical systems (MEMS) with uncertainties. The uncertainties of the system is estimated using adaptive approach, then back-stepping control is used to stabilize the system as quickly as possible. Finally, simulation results verify that the proposed method is effective.

micro-electro-mechanical systems; chaos; adaptive back-stepping control; uncertainty

1001-2265(2014)07-0106-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.030

2013-11-04;

2013-12-10

肖勇(1987—)，男，湖北襄陽(yáng)人，電子科技大學(xué)碩士研究生，研究方向機(jī)械制造及其自動(dòng)化，(E-mail)493290092@qq.com。

TH166;TG69

A