胡鳳蓮，馬大柱

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施 445000)

不同于插值法(拉格朗日插值、牛頓差值、埃爾米特插值等)［1］必須經(jīng)過每一對數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，基于最小二乘法原理［2］構(gòu)造的擬合法可以避免由于偶然誤差導(dǎo)致兩個(gè)物理量之間的不確定性，因此能更為客觀地反應(yīng)物理量之間的真實(shí)函數(shù)關(guān)系.在單擺法測重力加速度實(shí)驗(yàn)［3］中，該方法是一種求擬合直線斜率最直接有效的方式.本文基于擬合法和插值法的構(gòu)造特點(diǎn)，提出以多種方式將兩者結(jié)合使用，力圖找到最簡單有效的數(shù)據(jù)處理方法.

1 實(shí)驗(yàn)原理及數(shù)據(jù)

2 數(shù)據(jù)處理方法

2.1 原理

表1 實(shí)驗(yàn)記錄數(shù)據(jù)Tab.1 Experiment data

1)擬合法(m=0，1，2，3，…，k)，解出系數(shù)A0，A1，A2，…，Ak帶回到擬合方程.線性擬合法是其中最簡單的一種.

2)拉格朗日線性插值

兩點(diǎn)線性拉格朗日插值的構(gòu)造形式簡單.用通過點(diǎn)A(x0，f(x0))和B(x1，f(x1))的直線近似的代替曲線y=f(x)，直線的點(diǎn)斜式表示為:

于是線性插值函數(shù)可以表示為:p(x)=l0(x)y0+l1(x)y1.

2.2 數(shù)據(jù)處理

2.2.1 線性擬合法 Excel軟件的擬合方式即為線性擬合方法，直接將實(shí)驗(yàn)記錄數(shù)據(jù)導(dǎo)入，可得函數(shù)表達(dá)式為y=3.9967x+0.0231，通過直線的斜率可以計(jì)算出重力加速度g=9.878 m/s2.

2.2.2 二次多項(xiàng)式擬合與線性擬合組合 首先用上述6組數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，可設(shè)擬合方程為Y=A0+A1x+A2x2，并利用最小二乘法原理計(jì)算出 A0，A1，和A2.通過 Matlab［5］軟件求出擬合方程為:

其次將6個(gè)節(jié)點(diǎn)確定的5條線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到擬合方程，得出5個(gè)點(diǎn)分別是(0.75，3.019 637 5)，(0.85，3.423804)，(0.95，3.8216495)，(1.05，4.2208495)，(1.15，4.61884565).最后對這五對數(shù)據(jù)用 Matlab［6］進(jìn)行線性擬合，得出其擬合方程為y=3.9980x+0.0223，通過直線的斜率算出重力加速度g=9.875m/s2.

2.2.3 三次多項(xiàng)式擬合與一次擬合組合 類似的，假設(shè)三次多項(xiàng)式的基本形式為Y=A0+A1x+A2x2+A3x3，得出擬和方程為 Y=2.0864－2.7515x+7.2144x2－2.5231x3，將6 個(gè)節(jié)點(diǎn)確定的5 條線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)代入擬合方程，得出 5 個(gè)點(diǎn)分別為(0.75，3.016 442 19)(0.85，3.410 530)(0.95，3.820 228 14)(1.05，4.230 397 36)(1.15，4.62589929).在此基礎(chǔ)上，對上述數(shù)據(jù)再進(jìn)行線性擬合得出方程 y=4.0388x－0.0161，計(jì)算得到重力加速度 g=9.775 m/s2.

2.2.4 線性插值與線性擬合組合 將6組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)軸上描出，L與T2成直線關(guān)系，可以利用拉格朗日線性插值公式.6組數(shù)據(jù)選擇其中任意兩組數(shù)據(jù)均可以得到1個(gè)線性插值函數(shù)，都可以作為所求的L與T2之間的關(guān)系式，但由于沒有涉及到所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，偶然誤差很大.為了盡可能地減少數(shù)據(jù)處理方法對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，建議采用分段線性插值的方法，分別將相鄰的兩點(diǎn)作為插值點(diǎn)，一共可以得到5個(gè)線性插值函數(shù):

容易得出 AB，BC，CD，DE，EF 的中點(diǎn)坐標(biāo)為:G(0.761 05，3.064 4)，H(0.861 05，3.457 95)，I(0.961 05，3.862)，J(1.061 05，4.274 15)，K(1.161 05，4.665 95).如果以這 5 條線段的斜率求平均值，其誤差比較大.但只要將5條線段的中點(diǎn)作為已知點(diǎn)(表2)，可對這5對數(shù)據(jù)再進(jìn)行線性擬合，得出的線性方程y=4.019 3x+0.002 1，最后求出重力加速度 g=9.822 m/s2.

表2 五條線段的中點(diǎn)值及對應(yīng)函數(shù)Tab.2 Midpoint value and correspondence function for five line segments

3 百分誤差對比

設(shè)當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭=9.799 m/s2，根據(jù)上述分析結(jié)果可求出各種方法的百分誤差.從表3中可以看出，直接采用線性擬合法的百分誤差最大，拉格朗日插值與線性擬合組合方法的百分誤差最小，三次多項(xiàng)式擬合與線性擬合組合要比二次多項(xiàng)式擬合與線性擬合組合方法的百分誤差要小很多.

表3 百分誤差對比Tab.3 Percentage error comparison

4 結(jié)論

本文主要考慮基本數(shù)據(jù)處理方法在實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用問題.基于曲線擬合和拉格朗日線性插值基本原理，采用多種組合方式處理了單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)中所得數(shù)據(jù)，并以Matlab作為輔助工具，得到了各種方法的擬合表達(dá)式，根據(jù)線性關(guān)系計(jì)算出了重力加速度值.通過比較百分誤差，發(fā)現(xiàn)線性擬合與拉格朗日插值組合方法的百分誤差最小.

本文的討論方法在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中有一定的應(yīng)用價(jià)值.對于大量數(shù)據(jù)得到的近似線性關(guān)系，推薦采用線性擬合與拉格朗日插值組合方法.對于非線性關(guān)系的擬合，有待進(jìn)一步討論.

［1］李紅.數(shù)值分析［M］.2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2010.

［2］黨興菊，吳文良.最小二乘法擬合直線公式的初等推導(dǎo)［J］.重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010(4):185－187.

［3］丁紅旗.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［4］黃云清.數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京:科學(xué)出版社.2010.

［5］宋益榮，萬冬梅.四種插值法的特點(diǎn)比較［J］.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，12(2):9－11.

［6］周建興.MATLAB從入門到精通［M］.北京:人民郵電出版社，2008.