李思琪，閆 鐵，王希軍，喬 勇，楊 敏

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.中國(guó)石油渤海鉆探工程公司，天津300457；3.中國(guó)石油塔里木油田分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，新疆庫(kù)爾勒841000）

在石油鉆井中，沖擊破巖一直是巖石破碎的主要形式，無(wú)論是技術(shù)較為成熟的旋沖鉆井［1］，還是目前尚處于研究階段的高頻諧波振動(dòng)沖擊鉆井［2－3］，亦或是新興的高頻扭轉(zhuǎn)沖擊器鉆井［4－5］，都與鉆具沖擊引起的巖石振動(dòng)息息相關(guān)。在沖擊鉆井方面，前人對(duì)沖擊引起的鉆柱振動(dòng)方向進(jìn)行了較多研究［6－8］，包括鉆柱的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、縱向振動(dòng)以及橫向振動(dòng)等；也有學(xué)者對(duì)沖擊作用下巖石的力學(xué)性能進(jìn)行了相關(guān)研究［9－11］；還有學(xué)者對(duì)鉆具沖擊振動(dòng)巖石的過(guò)程進(jìn)行了模擬研究［12－13］。但在現(xiàn)有的研究成果中，并沒(méi)有對(duì)鉆具沖擊巖石過(guò)程建立相關(guān)的巖石振動(dòng)分析模型。然而，在沖擊破巖過(guò)程中，鉆具的沖擊頻率、巖石的振動(dòng)位移等因素都會(huì)對(duì)振動(dòng)沖擊效率和巖石破碎效果起關(guān)鍵作用。為此，筆者結(jié)合沖擊振動(dòng)的特點(diǎn)，利用力學(xué)中的最小作用量原理，建立了相應(yīng)的巖石微振動(dòng)模型，以期為振動(dòng)沖擊作用下巖石的運(yùn)動(dòng)過(guò)程提供理論依據(jù)。

1 最小作用量原理

對(duì)于力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，最一般的形式可以由最小作用量原理給出。根據(jù)該原理，每一力學(xué)體系可由拉格朗日函數(shù)L（t）來(lái)描述其特征，該函數(shù)可縮寫(xiě)為L(zhǎng)（q，，t）。

假定在t＝t1和t＝t2時(shí)刻，體系占有2個(gè)確定的位置，則在這2個(gè)位置之間有作用量最小的運(yùn)動(dòng)方式，可表示為：

式（1）為運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的作用量，因而，最小作用量原理可以寫(xiě)成：

2 巖石微振動(dòng)模型的建立

基于最小作用量原理，建立了多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的一般形式，在此基礎(chǔ)上根據(jù)巖石實(shí)際振動(dòng)的特點(diǎn)，建立了巖石的微振動(dòng)模型。

2.1 多自由度的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)拉格朗日最小作用量原理，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程即為使式（1）在運(yùn)動(dòng)時(shí)間段內(nèi)積分取極小值所確定的方程。對(duì)式（1）進(jìn)行變分得：

由于模型由多個(gè)彈簧連接而成，彈簧不能自由振動(dòng)，之間存在干擾，所以振動(dòng)存在耦合。對(duì)于多自由度振動(dòng)，形變所產(chǎn)生的勢(shì)能的一般形式為：

動(dòng)能的一般形式為：

把平衡位置的坐標(biāo)定義為0，則勢(shì)能的極小值為0，根據(jù)動(dòng)力學(xué)的對(duì)稱性概念可得：

所以，拉格朗日方程可以寫(xiě)為：

將式（4）和式（5）代入式（8），并由拉格朗日方程的可加性得：

由式（9）可得拉格朗日方程的全微分方程：

由于式（10）中求和部分是對(duì)稱的二次型矩陣，將i和j對(duì)調(diào)，并考慮m和k的對(duì)稱性得：

根據(jù)開(kāi)始的變分理論可得：

由傅里葉級(jí)數(shù)理論，可以得到：

2.2 巖石的微振動(dòng)方程

假設(shè)巖石是各向同性的均勻介質(zhì)，忽略地層壓力與溫度對(duì)巖石的影響，將鉆頭與巖石的作用簡(jiǎn)化為平底壓頭與巖石的作用。用多個(gè)彈簧疊加模擬平底壓頭建立巖石振動(dòng)模型，壓頭對(duì)巖石施加的能量為U′（x，t），巖石的振動(dòng)位移為x，如圖1所示。

圖1 巖石振動(dòng)模型Fig.1 The model of rock vibration

將壓頭下面的區(qū)域無(wú)限分割，單獨(dú)提取一個(gè)小微元進(jìn)行分析，壓頭對(duì)質(zhì)量為m、固有頻率為ω的巖石施加頻率為ω1的沖擊力F（如圖2所示）。由于平底壓頭與巖石作用面上壓頭各點(diǎn)對(duì)巖石的作用力相同，因此可用平底壓頭上一點(diǎn)與巖石平面上微元的作用關(guān)系代替整個(gè)平底壓頭與巖石的作用，考慮壓頭與巖石的實(shí)際作用特點(diǎn)，忽略耦合力，對(duì)多自由度振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。

圖2 平底壓頭與巖石作用微元分析Fig.2 The infinitesimal analysis unit of flat indenter and rock

對(duì)于鉆頭的外加能量U′（x，t），將其在x＝0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)并舍去x的2階無(wú)窮小量，得：

式（14）等號(hào)右端第一項(xiàng)只是時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，變分時(shí)消失，由勢(shì)能的定義得拉格朗日方程為：

變分得出相應(yīng)的微分方程為：

因?yàn)閴侯^施加的力具有周期性，因此可以寫(xiě)成以下形式：

將式（17）代入式（16），可得其通解為：

由于壓頭巖石作用面上的區(qū)域振動(dòng)狀態(tài)是相同的，所以所取微元就可以代表整個(gè)區(qū)域，因此式（18）即為平底壓頭下巖石的微振動(dòng)方程。

當(dāng)ω1＝ω時(shí)，系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，此時(shí)振動(dòng)不再微弱，式（18）不再適用于巖石振動(dòng)位移的求解。共振時(shí)，式（18）可改寫(xiě)為：

式（20）即為共振狀態(tài)下巖石的振動(dòng)位移方程。

3 巖石微振動(dòng)模型的影響因素分析

結(jié)合巖石微振動(dòng)模型，應(yīng)用東北石油大學(xué)自主研發(fā)的巖石振動(dòng)激勵(lì)模擬測(cè)試系統(tǒng)，分析了巖石的固有頻率、密度、壓頭沖擊力等因素對(duì)巖石振動(dòng)的影響規(guī)律。

在巖石固有頻率和壓頭沖擊頻率一定的條件下，僅改變壓頭的沖擊力，得到巖石在不同時(shí)刻下的振動(dòng)位移變化曲線（見(jiàn)圖3）。

圖3 不同壓頭作用力下巖石在不同時(shí)刻產(chǎn)生的振動(dòng)位移Fig.3 The relationship between vibration displacement and time under different impact

由圖3可知，巖石振動(dòng)位移路徑是由2個(gè)余弦函數(shù)組成的上下往復(fù)曲線，壓頭的沖擊力越大，巖石產(chǎn)生的最大位移越大。

圖4為同一時(shí)刻不同密度的巖石在不同沖擊頻率下的振動(dòng)位移，圖5為相同條件下不同密度的巖石在受迫振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)位移曲線。由圖4、圖5可知，巖石密度越小，越容易產(chǎn)生振動(dòng)，相應(yīng)的振動(dòng)位移也越大，越容易被破碎，這與室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)規(guī)律相符（見(jiàn)表1）。

圖4 不同密度巖石在不同沖擊頻率下的振動(dòng)位移Fig.4 The relationship between vibration displacement and impact frequency with different density of rock

圖5 不同密度巖石在不同時(shí)刻產(chǎn)生的振動(dòng)位移Fig.5 The relationship between vibration displacement and time with different density of rock

表1 致密砂巖巖心試樣的測(cè)試數(shù)據(jù)Table 1 The test data of core samples of tight sandstone

由于巖石在實(shí)際振動(dòng)中上下振動(dòng)的幅度很微弱，因此曲線中巖石振動(dòng)產(chǎn)生的最大位移的變化幅度也很小。

圖6為用1 000Hz的壓頭頻率沖擊巖石得到的不同時(shí)刻下不同固有頻率巖石的振動(dòng)位移。由圖6可知，固有頻率為1 300Hz的巖石能夠產(chǎn)生最大的振動(dòng)位移。圖7為對(duì)固有頻率2 000Hz的巖石施加不同的沖擊頻率時(shí)，不同時(shí)刻下巖石振動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)位移。由圖7可知，沖擊頻率為1 500和2 500Hz時(shí)，巖石能夠產(chǎn)生最大的振動(dòng)位移。

圖7 不同沖擊頻率下巖石在不同時(shí)刻產(chǎn)生的振動(dòng)位移Fig.7 The relationship between vibration displacement and time with different impact frequency

圖8 不同固有頻率的巖石在不同沖擊頻率下巖石的振動(dòng)位移Fig.8 The relationship between vibration displacement and impact frequency with different natural frequency of rock

圖8為t＝2s時(shí)不同固有頻率的巖石在不同沖擊頻率下產(chǎn)生的振動(dòng)位移。由圖8可知，固有頻率為1 000，1 500和2 000Hz的巖石，分別在1 000，1 500和2 000Hz左右沖擊頻率下產(chǎn)生最大位移，且?guī)r石的振動(dòng)位移明顯大于其他沖擊頻率產(chǎn)生的振動(dòng)位移。由此可知：當(dāng)巖石固有頻率與壓頭沖擊頻率越接近時(shí)，巖石的振動(dòng)位移越大；巖石的固有頻率越偏離壓頭的沖擊頻率時(shí)，巖石的振動(dòng)位移越小，且曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定波動(dòng)，說(shuō)明巖石的振動(dòng)處于失穩(wěn)狀態(tài)。因此，用壓頭破碎巖石時(shí)，應(yīng)盡量選擇與所鉆巖石固有頻率相接近的沖擊頻率，此時(shí)巖石易達(dá)到共振狀態(tài)，振動(dòng)幅度最大，易發(fā)生破碎。

綜上所述，巖石密度和壓頭沖擊力對(duì)巖石振動(dòng)位移影響較小，因此其引起的最大振動(dòng)位移變化幅度也較小，而巖石固有頻率和壓頭沖擊頻率對(duì)巖石的振動(dòng)特性影響明顯，在沖擊頻率與巖石固有頻率相接近時(shí)引起的巖石最大振動(dòng)位移明顯大于沖擊頻率與巖石固有頻率相差較大的情況。同時(shí)，由于巖石振動(dòng)位移曲線為類余弦曲線，所以巖石振動(dòng)位移大小隨各影響因素的變化呈周期性變化，這與巖石在平衡位置上下振動(dòng)的特點(diǎn)相符。

4 結(jié) 論

1）基于最小作用量原理，建立了巖石的微振動(dòng)模型，給出了巖石的微振動(dòng)位移方程。分析可知，巖石的微振動(dòng)位移曲線呈類余弦函數(shù)形狀，振動(dòng)位移隨各因素的變化在平衡位置處上下波動(dòng)，與實(shí)際情況下巖石在平衡位置上下振動(dòng)的情況相符。

2）由試驗(yàn)數(shù)據(jù)和巖石微振動(dòng)模型可知：壓頭沖擊頻率一定的情況下，巖石的密度越小，越容易產(chǎn)生振動(dòng)；沖擊力越大，巖石產(chǎn)生的振動(dòng)位移越大。

3）巖石固有頻率對(duì)自身振動(dòng)的影響明顯高于巖石密度、壓頭沖擊力等因素對(duì)振動(dòng)的影響。當(dāng)壓頭沖擊頻率與巖石固有頻率相同時(shí)發(fā)生共振，振動(dòng)位移最大，且明顯大于其他任何情況。

符號(hào)說(shuō)明

q為拉格朗日函數(shù)中的廣義坐標(biāo)；為廣義速度，m／s；S為作用量，m；t為時(shí)間，s；U為振動(dòng)系統(tǒng)勢(shì)能，J；T為振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)能，J；k為巖石剛度，N／m；kik和kki為巖石剛度矩陣中對(duì)稱的兩項(xiàng)；x為巖石振動(dòng)位移，m；xi和xk為巖石振動(dòng)位移矩陣中的第i項(xiàng)和第k項(xiàng)；為巖石振動(dòng)速度，m／s；和為巖石振動(dòng)速度矩陣中的第i項(xiàng)和第k項(xiàng)；為巖石振動(dòng)加速度，m／s2；為巖石振動(dòng)加速度矩陣中的第k項(xiàng)；m為巖石質(zhì)量，kg；mik和mki為巖石質(zhì)量矩陣中對(duì)稱的兩項(xiàng)；ω為巖石固有頻率，rad／s；ω1為壓頭沖擊頻率，rad／s；F為壓頭沖擊力，N；α，β為初始相位，rad；a，b為振幅，m；f為巖石固有頻率，f＝2πω，Hz；f1為壓頭沖擊頻率，f1＝2πω1，Hz。

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