蔣宛霖，劉 昊

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710061)

1 引言

雖然光纖及光器件具有低損耗，高穩(wěn)定性等優(yōu)越性能，使得光通信系統(tǒng)具有抗干擾能力較強(qiáng)，穩(wěn)定性好等優(yōu)勢(shì)，但高速長(zhǎng)距離大容量光通信系統(tǒng)中仍存在多種產(chǎn)生誤碼的因素。例如，光放大器的自發(fā)輻射噪聲(ASE)、光纖偏振模色散(PMD)以及光的非線性效應(yīng)如自相位調(diào)制(SPM)和受激布里淵散射(SBS)，這些都會(huì)劣化光通信系統(tǒng)的性能。前向糾錯(cuò)技術(shù)(FEC)利用監(jiān)督碼元產(chǎn)生的數(shù)據(jù)相關(guān)性來(lái)糾正信道中產(chǎn)生的錯(cuò)碼，提高光通信系統(tǒng)的可靠性；因此，前向糾錯(cuò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于高速長(zhǎng)距離大容量光通信系統(tǒng)中。

應(yīng)用在光通信系統(tǒng)中的差錯(cuò)控制碼有Turbo碼、RS碼、LDPC(Low Density Parity Check，低密度奇偶校驗(yàn))碼等，其中LDPC碼是近些年研究的熱點(diǎn)[1-4]，有良好的糾錯(cuò)性能[5]，編碼具有較大的靈活性，譯碼復(fù)雜度低，運(yùn)算量不會(huì)因?yàn)榇a長(zhǎng)的增加而急劇增加[6]。

研究大容量光通信系統(tǒng)中規(guī)則LDPC碼的性能，討論不同列重和迭代次數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，尋求性能優(yōu)異的列重，研究誤碼率隨迭代次數(shù)變化曲線的收斂性，為不斷地嘗試改進(jìn)LDPC編譯碼的各種方案或是將LDPC碼與其它FEC碼進(jìn)行級(jí)聯(lián)，以獲得糾錯(cuò)性能更好的超強(qiáng)FEC性能提供借鑒。

2 規(guī)則LDPC碼

LDPC碼屬于線性分組碼，由奇偶校驗(yàn)碼演變而來(lái)，因其H矩陣中“1”碼數(shù)量稀疏，被稱為低密度奇偶校驗(yàn)碼(Low density parity-check code)，簡(jiǎn)稱LDPC碼。其稀疏的特性，使其能快速地實(shí)現(xiàn)編碼和譯碼，為其在大容量高速光通信系統(tǒng)的應(yīng)用提供了可能性。

LDPC碼有兩種表示方法，一種是由H矩陣表示，另一種是由Tanner圖來(lái)表示。H矩陣每行“1”的個(gè)數(shù)稱為行重，每列“1”的個(gè)數(shù)稱為列重，按照其稀疏校驗(yàn)矩陣H每列中“1”的個(gè)數(shù)是否相同，可分為規(guī)則LDPC碼和不規(guī)則LDPC碼，列重相同的為規(guī)則LDPC碼。

Gallager隨機(jī)構(gòu)造法構(gòu)造H校驗(yàn)矩陣，采用LU分解法[7]實(shí)現(xiàn)規(guī)則LDPC編碼。若碼長(zhǎng)為n 的LDPC碼字T以系統(tǒng)碼的形式來(lái)表示，則前k比特是信息位，剩余的n-k比特是校驗(yàn)比特，滿足如式(1)所示。

H×TT=0

(1)

將產(chǎn)生的H矩陣按列分為A、B兩部分，如式(2)所示，碼字T分為兩部分s和P，如式(3)所示。

H=[B?A]

(2)

T=[s?P]

(3)

A對(duì)應(yīng)校驗(yàn)部分，是一個(gè)非稀疏的n-k方陣， B對(duì)應(yīng)信息部分，是一個(gè)稀疏的(n-k)×k矩陣；s對(duì)應(yīng)k個(gè)信息位，sT是長(zhǎng)度為k的列向量，P對(duì)應(yīng)n-k個(gè)校驗(yàn)位，PT是長(zhǎng)度為n-k的列向量，將式(2)、式(3)代入式(1)得：

PT=A-1×B×sT

(4)

再將A進(jìn)行LU分解得式(5)：

A=L×U

(5)

其中L是下三角矩陣，U是上三角矩陣，將式(5)代入式(4)得：

PT=(LU)-1×B×sT=U-1×L-1×B×sT

(6)

其中L、U都是三角矩陣，并不需求逆，可直接與矢量相乘，可以降低編碼復(fù)雜度。

LDPC碼最常用的譯碼算法是置信度傳播譯碼算法(簡(jiǎn)稱BP算法)，這是一種性能優(yōu)越的迭代概率譯碼算法，之后又出現(xiàn)了用對(duì)數(shù)似然比表示的BP算法、最小和譯碼算法。已經(jīng)證明其中最小和譯碼算法性能和BP算法性能有很好的近似，但計(jì)算量比BP算法和對(duì)數(shù)似然比表示的BP算法都要簡(jiǎn)單，仿真中譯碼采用的是最小和譯碼算法[8]。

3 不同列重和迭代次數(shù)的規(guī)則LDPC碼對(duì)系統(tǒng)性能的影響

圖1 規(guī)則LDPC碼系統(tǒng)仿真框圖

為研究不同列重和迭代次數(shù)的規(guī)則LDPC碼在大容量光通信系統(tǒng)的性能，采用數(shù)據(jù)仿真，仿真框圖如圖1所示，首先產(chǎn)生偽隨機(jī)信源S，輸入到LDPC碼編碼器，編碼器通過(guò)Gallager隨機(jī)法生成的H校驗(yàn)矩陣，將S編碼成碼字T。隨后進(jìn)行BPSK調(diào)制，將0、1單極性碼變成-1、+1雙極性碼，進(jìn)入大容量光通信信道中傳輸[9]，再經(jīng)過(guò)BPSK解調(diào)器解調(diào)和LDPC碼譯碼器譯碼，比較譯碼后的碼字S′和S，統(tǒng)計(jì)得出光通信系統(tǒng)誤碼率。

3.1 列重對(duì)系統(tǒng)性能的影響

列重不同，構(gòu)造出來(lái)的H矩陣也不同，編碼后得到不同的規(guī)則LDPC碼，它們的性能也不同。為研究相同碼長(zhǎng)下，不同列重的H校驗(yàn)矩陣編碼后的規(guī)則LDPC碼的性能差異，在碼長(zhǎng)相同的情況下，對(duì)不同列重的規(guī)則LDPC碼的誤碼率性能進(jìn)行了數(shù)據(jù)仿真。取規(guī)則LDPC碼長(zhǎng)n=100，碼率1/2，迭代次數(shù)取20，列重取兩組值，第一組列重較小，分別為2，3，4，第二組列重較大，分別為 7，9，11，該規(guī)則LDPC碼的誤碼率隨信噪比變化的仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 小列重誤碼率隨信噪比變化的曲線

圖3 大列重誤碼率隨信噪比變化的曲線

從圖2可以看出，在第一組(列重取值2，3，4)中，列重4的誤碼率最低，列重3的次之，列重2的最高，可見(jiàn)，在列重較小時(shí)，隨著列重的增加，規(guī)則LDPC碼的誤碼率降低。從圖3可以看出，在列重取值較大(7，9，11)時(shí)，列重7的誤碼率最低，列重9的次之，列重11的最高，可見(jiàn)，在列重較大時(shí)，隨著列重增大，規(guī)則LDPC碼的誤碼率升高?？梢?jiàn)，列重的取值不能太小也不能太大，這是由于H矩陣列重的值決定H矩陣的“1”碼的數(shù)量，列重太大，“1”碼的數(shù)量增多，Tanner圖中短環(huán)的數(shù)量就會(huì)增多，而短環(huán)會(huì)使譯碼性能急劇惡化。而“1”碼的數(shù)量少時(shí)，譯碼時(shí)得到的校驗(yàn)信息少，也會(huì)使譯碼性能下降，誤碼率增高。

取規(guī)則LDPC碼的碼長(zhǎng)n為64，碼率1/2，信噪比為3，迭代次數(shù)為20，誤碼率隨列重的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 誤碼率隨列重變化曲線

由圖4可以明顯地看出列重為5的規(guī)則LDPC碼的誤碼率要比其它列重下的規(guī)則LDPC碼的誤碼率低。信道編碼追求的是在確定的冗余度時(shí)，達(dá)到盡可能好的誤碼率性能。因此，在相同的碼字開(kāi)銷下，找到誤碼率較小的列重值，具有重要的意義。

3.2 迭代次數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的數(shù)據(jù)仿真

最小和譯碼算法，它是軟判決迭代譯碼BP譯碼的改進(jìn)，每進(jìn)行一次迭代，譯碼的信息進(jìn)行一次更新，迭代次數(shù)決定校驗(yàn)信息更新的次數(shù)，是規(guī)則LDPC碼譯碼的重要參數(shù)。取碼長(zhǎng)n=100，碼率1/2，列重為5，迭代次數(shù)分別為10、20、30，仿真得到誤碼率隨信噪比變化的結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同迭代次數(shù)，誤碼率隨信噪比變化曲線

從圖5可以看出，迭代次數(shù)為20時(shí)，規(guī)則LDPC碼的誤碼率要比迭代次數(shù)為10時(shí)的誤碼率有明顯的降低，但是繼續(xù)增加迭代次數(shù)到30時(shí)，規(guī)則LDPC碼的誤碼率下降得不明顯。

進(jìn)一步探究不同迭代次數(shù)下規(guī)則LDPC碼的性能，對(duì)相同碼長(zhǎng)，相同碼率，相同信噪比，相同列重下，研究規(guī)則LDPC碼誤碼率隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律。取規(guī)則LDPC碼的碼長(zhǎng)n為100，碼率1/2，信噪比為2，列重為5，誤碼率隨迭代次數(shù)的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同迭代次數(shù)，誤碼率隨迭代次數(shù)變化曲線

從圖6可以看出，規(guī)則LDPC碼的誤碼率隨迭代次數(shù)的增大而減小，迭代次數(shù)達(dá)到20后，迭代次數(shù)再增加，誤碼率性能沒(méi)有大的提高，所以在誤碼率曲線下降平緩的迭代次數(shù)區(qū)域中盡量選取迭代次數(shù)較小的值，既可以達(dá)到系統(tǒng)誤碼率的要求，同時(shí)也能減小迭代次數(shù)的增加給系統(tǒng)帶來(lái)的時(shí)延，節(jié)約系統(tǒng)資源。

4 結(jié)語(yǔ)

仿真研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)列重取值較小時(shí)，隨著列重的增大系統(tǒng)誤碼率降低，規(guī)則LDPC碼的性能提高；當(dāng)列重取值較大時(shí)，隨著列重的增大系統(tǒng)誤碼率升高，規(guī)則LDPC碼的性能下降。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)規(guī)則LDPC碼在碼長(zhǎng)一定時(shí)，存在最佳的列重，能夠使其相比于其他列重的誤碼率性能更好。此外，在譯碼端，隨著迭代次數(shù)的增加，誤碼率的性能越好，但是迭代次數(shù)增加到一定值時(shí)，誤碼率不隨著迭代次數(shù)的增加出現(xiàn)大的降低，所以在譯碼選取最大迭代次數(shù)時(shí)，要選取合適的迭代次數(shù)，既能達(dá)到性能的要求，同時(shí)又能盡量減小迭代次數(shù)，節(jié)約耗費(fèi)的時(shí)間和軟硬件資源。

[1] Sugihara K， Miyata Y， Sugihara T，et al. A spatially-coupled type LDPC Code with an NCG of 12 dB for optical transmission beyond 100 GB/s[C]. Optical Fiber Communication Conference and Exposition and the National Fiber Optic Engineers Conference, 2013:17-21.

[2] 袁建國(guó)，王望，梁天宇. 一種高速長(zhǎng)距離光通信系統(tǒng)中 QC-LDPC 碼的構(gòu)造方法[J]. 光電子·激光，2012，23(5):906-909.

[3] 袁建國(guó)，劉文龍，黃勝，等. 光通信中基于有限域加群的一種QC-LDPC碼[J]. 光電子·激光，2013，24(1)：75-78.

[4] Djordjevic I B, Cvijetic M, Xu L, et al. Using LDPC-coded modulation and coherent detection for ultra high-speed optical communications [J]. Lightwave Technol,2007(25):3619-3625.

[5] MacKay D J C. Good error-correcting codes based on very sparse matrices [J].IEEE Tran.Info.Theory, 1999,45(2):399-431.

[6] Richardson T, Urbanke R .The Capacity of Low-Density Parity Check Codes under Message-Passing Decoding [J]. IEEE Trans.Info.Theory,2001,47(2):599-618.

[7] 西瑞克斯通信設(shè)備有限公司.無(wú)線通信的MATLAB和FPGA實(shí)現(xiàn)[M].北京：人民郵電出版社，2009：224-225.

[8] 賀鶴云.LDPC碼基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：人民郵電出版社，2009：133-134.

[9] 袁建國(guó).高速超長(zhǎng)距離光通信系統(tǒng)中超強(qiáng)FEC碼型的研究[D].重慶：重慶大學(xué)光電工程學(xué)院，2007：11-15.