馬亮亮，劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

一類反常次擴散方程Neumann問題的有限差分格式及收斂性分析

馬亮亮，劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

利用一階向前差商和空間二階中心差商以及高階線性多步法公式構(gòu)造了反常次擴散方程Neumann問題的有限差分格式，借助Fourier分析方法對差分格式的穩(wěn)定性進行了分析，并討論了差分格式的誤差和收斂性問題.

反常次擴散方程；差分法；分離變量法

整數(shù)階擴散方程不能準(zhǔn)確地描述自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域中存在的許多反常擴散現(xiàn)象，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被證明能夠較精確地描述有記憶和遺傳以及依賴性質(zhì)的物理過程，因而成為反常擴散現(xiàn)象物理力學(xué)建模的有力工具[1-3]. 近年來，國內(nèi)外一些專家和學(xué)者在分?jǐn)?shù)階擴散方程衍生方程的理論分析、數(shù)值算法、工程應(yīng)用等方面做了非常有意義的研究工作：Yuste等[4]對反常次擴散問題提出了一種顯式有限差分方法和一種新Von Neumann類型的穩(wěn)定性分析；Langlands等[5]對反常次擴散問題提出了一種隱式近似格式（L1近似），并討論了差分格式的精度和穩(wěn)定性；Zhuang等[6]提出了一種隱式差分方法和分析技巧求解時間分?jǐn)?shù)階反常次擴散方程，利用能量方法給出了穩(wěn)定性和收斂性的詳細(xì)證明；Chen等[7]利用新的Fourier方法，討論了時間分?jǐn)?shù)階反常次擴散問題.

本文考慮如下帶有Neumann邊界條件的非齊次反常次擴散方程：

其中，0＜α＜1，Kα是擴散系數(shù)，q(x,t)為充分光滑的函數(shù)，表示關(guān)于t的(1-α)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分算子：

1 有限差分格式

定義1[8]93Mittag-Leffler函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的自然推廣，其單參數(shù)的形式為：

雙參數(shù)的形式為：

定義2[8]216-217μ表示Riemman-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子，分?jǐn)?shù)階線性多步法對應(yīng)1～6階方法的生成函數(shù)如下：

將式（4）和式（5）代入式（1），得：

其中，T(x,t)為截斷誤差.

對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散，采用如下高階線性多步法：

將式（6）和式（7）代入方程（1）并舍去截斷誤差得：

2 穩(wěn)定性與收斂性分析

2.1 穩(wěn)定性分析

若存在δ使得ξ＞1，則差分格式（8）不穩(wěn)定.

考慮極限情況ξ=-1，則

因此，要使差分格式（10）穩(wěn)定，需滿足以下條件：

2.2 誤差分析

又因為

所以：

因此，假設(shè)：1）u的初邊值條件相容，2）u在初始點t=0處充分光滑，則差分格式（8）無條件收斂. 即

3 數(shù)值例子

考慮如下帶有Neumann邊界條件的非齊次反常次擴散方程：

其中，α=0.6，f(x,t)=-(1+x)(1+t2). 此方程有精確解：

解 取定時間步長τ=0.0001，空間步長h=0.02. 圖1是在t=0.01時刻由隱式差分格式（8）計算得到的數(shù)值解與精確解的平面圖，可以看出數(shù)值解收斂于精確解. 圖2是隱式差分格式（8）計算得到的數(shù)值解與空間軸、時間軸之間的三維立體圖，從圖中可以看出時間分?jǐn)?shù)階對擴散性態(tài)的影響.

圖1 數(shù)值解與精確解比較圖

圖2 三維立體圖

[1] 孫洪廣，陳文，蔡行. 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)“反?！睌U散方程數(shù)值算法的比較[J]. 計算物理，2009, 26(5)： 719-724.

[2] ANDRADE de M F, LENZI E K, EVANGELISTA L R, et al. Anomalous diffusion and fractional diffusion equation： anisotropic media and external forces [J]. Physics Letters A, 2005, 347(4-6)： 160-169.

[3] PODLUBNY I. Fractional differential equations [M]. San Diego： Academic Press, 1999.

[4] YUSTE S, ACEDO L. An explicit finite difference method and a new Von Neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations [J]. SIAM J Numer Anal, 2005, 42(5)： 1862-1874.

[5] LANGLANDS T, HENRY B. The accuracy and stability of an implicit solution method for the fractional diffusion equation [J]. J Comp Phys, 2005, 205(2)： 719-736.

[6] ZHUANG Pinghui, LIU Fawang, ANH V, et al. New solution and analytical techniques of the implicit numerical method for the anomalous sub-diffusion equation [J]. SIAM on Numerical Analysis, 2008, 46(2)： 1079-1095.

[7] CHEN Changming, LIU Fawang, TURNER I, et al. A Fourier method for the fractional diffusion equation describing sub-diffusion [J]. J Comp Phys, 2007, 227： 886-897.

[8] 郭柏林，蒲學(xué)科，黃鳳輝. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M]. 北京：科學(xué)出版社，2011.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

A Finite Difference Scheme and a Convergence Analysis of a Kind of Anomalous Diffusion Equation with Neumann Conditions

MA Liang-liang, LIU Dong-bing
(College of Mathematics and Computer Science, Panzhihua University, Panzhihua 617000, China)

A finite difference method and a convergence problem for a kind of anomalous diffusion equation with Neumann conditions are discussed. A finite difference scheme is obtained by adopting the method of the first-order forward difference quotient and second-order space center difference quotient and the formula of higher-order linear multistep method to discrete the fractional derivatives. The stability of the difference scheme is analyzed by means of Fourier analysis and the errors and convergence of the schemes are also discussed.

anomalous diffusion equations; difference methods; separation variable methods

O241.82

A

1006-7302（2014）01-0001-04

2013-04-22

國家自然科學(xué)基金資助項目（No.60673192）；四川省科技廳資助項目（2013JY0125）

馬亮亮（1986—），男，甘肅天水人，講師，碩士，主要從事模型優(yōu)化和微分方程研究.