朱乾坤，許陽，劉東鑫，于德海

（1.海軍航空工程學(xué)院訓(xùn)練部，山東煙臺264001；2.91372部隊(duì)，上海200436）

一種基于DFT的高精度載波頻偏估計(jì)算法

朱乾坤1，許陽2，劉東鑫1，于德海1

（1.海軍航空工程學(xué)院訓(xùn)練部，山東煙臺264001；2.91372部隊(duì)，上海200436）

針對無線數(shù)字通信中的載波頻率同步問題，提出一種新的載波頻偏估計(jì)算法。利用離散傅里葉變換（DFT）內(nèi)插技術(shù)，在較大頻偏范圍內(nèi)估計(jì)出載波頻偏，并且在估計(jì)精度上相對于DFT法有了很大的提高。這種算法不需要增加DFT數(shù)據(jù)長度，適合突發(fā)通信方式。進(jìn)行了Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明新算法不僅具有寬的估計(jì)范圍，還具有高的估計(jì)精度。

載波同步；頻偏估計(jì)；突發(fā)同步；DFT算法

由于突發(fā)通信的分組數(shù)據(jù)是在瞬間突然發(fā)送出數(shù)據(jù)，在很短的時間，頻率變化快，具有隱蔽性和難以攔截的特點(diǎn)，被廣泛使用在短波無線電通信，突發(fā)通信成為現(xiàn)代通信的一個熱點(diǎn)問題。而在無線通信中，由于不可避免地受到多普勒頻移和本地載波誤差的影響，接受端的本地載波頻率會發(fā)生偏移，致使接收信號的載波和發(fā)送端的載波存在一定的誤差，如果不消除這種誤差，將會嚴(yán)重影響通信系統(tǒng)的相干解調(diào)，使得通信系統(tǒng)的性能退化，所以接收機(jī)必須對頻偏進(jìn)行補(bǔ)償達(dá)到載波同步[1-4]。

文獻(xiàn)[5]給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進(jìn)行最大似然估計(jì)（MLE）算法，估計(jì)誤差的方差達(dá)到了克拉美-羅界，因而是最優(yōu)估計(jì)。由于MLE算法計(jì)算量大，難以實(shí)時進(jìn)行處理，于是學(xué)者們提出了很多基于最大似然估計(jì)的簡化算法。Kay在1989年提出了經(jīng)典的kay算法[6]。相對于最大似然估計(jì)（MLE）算法，kay算法的計(jì)算復(fù)雜度有了很大簡化，但是存在較高的信噪比門限（6 dB），當(dāng)接收端信噪比小于該門限時，性能急劇惡化，沒有達(dá)到工程應(yīng)用的要求。而針對kay算法高信噪比門限的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[7]提出了L&R算法。L&R算法也是基于最大似然算法的簡化算法，具有很低信噪比門限（-10 dB），完全能滿足工程應(yīng)用要求，但頻偏估計(jì)范圍過窄，也不適合運(yùn)用于工程上。文獻(xiàn)[8]提出了M&M算法。M&M算法既具有低的低信噪比門限，又能估計(jì)很大的頻偏，但是復(fù)雜度太高，同步過慢，不利于實(shí)時處理。

基于最大似然估計(jì)的算法共有的一個缺陷就是計(jì)算復(fù)雜，同步速度慢。而基于離散傅里葉變換（DFT）的譜估計(jì)方法，由于在實(shí)際中可通過快速傅里葉（FFT）實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算量小，得到廣泛應(yīng)用。但由于DFT算法存在柵欄效應(yīng)和能量泄漏，在樣本長度較小時估計(jì)誤差較大，為了提高準(zhǔn)確性，必須需要長的樣本數(shù)量N，這就局限了DFT算法的應(yīng)用。針對DFT算法估計(jì)誤差較大的缺陷，文獻(xiàn)[9]提出了Rife算法。該算法先對接收信號進(jìn)行FFT變換，然后利用最大譜線和次大譜線來確定真實(shí)的頻率位置。Rife算法相對于DFT算法性能得到了改善，且復(fù)雜度不高，易于硬件實(shí)現(xiàn)。但是對小頻偏不敏感，精度不高，存在短的數(shù)據(jù)長度N精度不高，長的數(shù)據(jù)長度N復(fù)雜度太高的問題，在實(shí)際工程中并不適用。對此，文獻(xiàn)[10-13]提出了許多有效的改進(jìn)方法，但是復(fù)雜度都偏高。本文提出了一種基于離散傅里葉變換的新算法，利用最大幅值2側(cè)的點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，避免了單純用DFT估計(jì)所出現(xiàn)的柵欄效應(yīng)和能量泄漏，并且通過比較頻譜搬移后的最大幅值|B′k|和搬移前的最大幅值|Bk|，來判斷δ正負(fù)號是否取反。本文算法克服了RIFE算法FFT量化頻率附近時誤差較大的缺點(diǎn)，使得新算法在估計(jì)性能上相對于RIFE算法和FFT算法有了明顯改善。這種算法不需要增加DFT數(shù)據(jù)長度，適合突發(fā)工作方式。

1 信號模型

本算法采用MPSK調(diào)制方式，在高斯白噪聲信道下進(jìn)行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為N0/2，采樣時滿足Nyquist準(zhǔn)則，已經(jīng)完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接受端進(jìn)行載波同步之前已經(jīng)進(jìn)行精確的定時同步，不存在定時偏差。假設(shè)接受端的載波頻率相對于發(fā)送端的載波頻率的頻率偏差為fe，則接收端基帶信號

式（1）中：ak是所要接受的信號，對于MPSK信號，可以表示為

T是符號周期；θ0是載波相位；θ0在觀測數(shù)據(jù)長度N內(nèi)是確定的未知量；fe是需要估計(jì)的載波頻偏；Nk是加性高斯白噪聲，其均值為0且方差為σ2[14]。實(shí)際上由于表示ak的復(fù)數(shù)共軛），于是可以定義，即得到：

2 算法分析

通過對式（3）的進(jìn)行公式變換得到[15]：

得到Bn的幅度為：

當(dāng)0≤n≤N/2時，如果0≤feT≤0.5，那么-π/2≤(πn-πfeTN)/N≤π/2。在(πn-πfeTN)/N趨于0時，故式(5)近似等于：

即|Bn|近似為sinc函數(shù)。當(dāng)πn-πfeTN為0時，|Bn|為 N。由于n為整數(shù)，πn-πfeTN不一定能取到0。而根據(jù)sinc函數(shù)性質(zhì)，πn-πfeTN越接近于0，|Bn|就越大，假設(shè)n=k時，|Bn|為最大，則πk-πfeTN必然接近于或等于0，且此時k〈N/2。令δ=πk-πfeTN，則|δ|滿足|δ|〈π/2，如能估計(jì)δ，則fe=(πk-δ)/(TNπ)。

當(dāng)N/2≤n≤N時，如果-0.5≤feT≤0，那么-π/2≤(π(n-N)-πfeTN)/N≤π/2。

在(π(n-N)-πfeTN)/N趨于0時，得到故式（5）近似等于|Bn|≈N sin c(π(n-N)-πfeTN)。同理存在n=k使得|Bn|為最大，則π(k-N)-πfeTN必然接近于或等于0，且此時k〉N/2。令δ=π(k-N)-πfeTN，則|δ|必然滿足|δ|〈π/2，如果能夠估計(jì)出δ，則fe=(π(k-N)-δ)/(TNπ)，即：

所以，算法關(guān)鍵在于估計(jì)δ。又因?yàn)椋?/p>

做|Bk-1|與|Bk+1|的比值，于是得到

則得到

而當(dāng)|Bk-1|>|Bk+1|時，

則得到

還可以通過|Bk+1|、|Bk|、|Bk-1|中最大與最小值求得δ，此為方案2；通過|Bk+1|、|Bk|、|Bk-1|中較小的2個求得δ，此為方案3。由于實(shí)際中都存在噪聲，3種方案的性能有區(qū)別。仿真實(shí)驗(yàn)證明，方案1總體性能最好，如圖1所示。圖1是SNR為10 dB、歸一化頻偏范圍0.04～0.08時3種方案的性能比較圖。

圖1 3種方案性能比較圖Fig.1 Performance comparasion chart for 3 schemes

實(shí)際中，由于噪聲的影響使得|Bk-1|與|Bk+1|的大小發(fā)生變化，從而導(dǎo)致δ正負(fù)方向性錯誤，進(jìn)而導(dǎo)致頻偏估計(jì)誤差變大。對接收信號bk進(jìn)行頻譜搬移，，對b′k做DFT變換，得到，其最大幅值，必然滿足|B′k|≥|Bk|，所以若|B′k|〈|Bk|，就可以判定δ正負(fù)號已取反。

如果得到|B′k|〈|Bk|，改變δ正負(fù)號，采用方案1，當(dāng)|Bk-1|<|Bk+1|時，δ>0，通過|Bk-1|與|Bk|得到δ為

當(dāng)|Bk-1|<|Bk+1|時，δ<0，此時通過|Bk+1|與|Bk|得到δ為

采用方案2，當(dāng)|Bk-1|<|Bk+1|時，δ>0，通過|Bk+1|與|Bk|得到δ為

當(dāng)|Bk-1|<|Bk+1|時，δ<0，此時通過|Bk-1|與|Bk|得到δ為

圖2是SNR為-5 dB、歸一化頻偏范圍0.04～0.08時2種方案的性能比較圖。由圖2可以看出，方案1的性能要比方案2的好，因而采用方案1。

圖2 2種方案性能比較圖Fig.2 Performance comparasion chart for 2 schemes

估計(jì)出δ后，代入fe=(πk-δ)/(TNπ)，即估計(jì)出載波頻偏。綜上本算法步驟：

1）對接收信號bk做FFT變換，并搜索得到得|Bk-1|、|Bk+1|、|Bk|（|Bk|是最大幅值）；

2）比較|Bk-1|和|Bk+1|。如果|Bk-1|<|Bk+1|，則δ< 0，通過|Bk+1|與|Bk|，根據(jù)式（14）估計(jì)出δ值；如果|Bk-1|>|Bk+1|，則δ>0，通過|Bk-1|與|Bk|，根據(jù)式（15）估計(jì)出δ值；

3）對bk進(jìn)行頻譜搬移，得到b′k=bkexp(-2π(δ π) T)，做FFT變換得到|B′n|，搜索得到最大幅值|B′k|。如果|Bk-1|<|Bk+1|，則δ>0，通過|Bk-1|與|Bk|，由式（17）估計(jì)出δ值；如果|B′k|<|Bk|，當(dāng)如果|Bk-1|>|Bk+1|，則δ<0，通過|Bk+1|與|Bk|，根據(jù)式（17）估計(jì)出δ值。

4）通過式（7）估計(jì)出頻偏。

3 建模仿真與分析

通過Matlab對本算法進(jìn)行蒙托卡羅仿真，主要在估計(jì)范圍和估計(jì)性能2方面進(jìn)行分析，并與FFT算法、Rife算法進(jìn)行比較。本文仿真實(shí)驗(yàn)采用8PSK調(diào)制方式，觀測數(shù)據(jù)長度N為128，并且用歸一化頻偏估計(jì)誤差來衡量算法的估計(jì)精度，并定義為

3.1 估計(jì)范圍

由DFT的性質(zhì)可以得到[6]，載波頻偏fe〈1/2T時，本算法時適用的；當(dāng)采樣速率fs=1/T時，本算法的估計(jì)范圍為|fe|〈fs/2。圖3是輸入信噪比為-5、0、5、10 dB，歸一化頻偏feT在-0.5～0.5變化時，算法估計(jì)方差隨頻偏變化的曲線圖。由圖3可以看出在低信噪比和高信噪比下，本算法的估計(jì)范圍都能達(dá)到fs/2，并且性能很好。這驗(yàn)證了理論上估計(jì)范圍為|fe|〈fs/2。

圖3 不同信噪比下估計(jì)方差隨頻偏的變化曲線Fig.3 Variance chart for estimation mean square error versus frequency offset under different SNR

3.2 估計(jì)性能

圖4是在不同信噪比下對于不同頻偏值，歸一化頻偏誤差方差與克拉美-羅界之間的比較。

克拉美-羅界的理論值是

式中，SNR是信噪比，滿足SNR=A2/(2σ2。)

圖4 不同頻偏下頻偏方差隨信噪比的變化曲線Fig.4 Variance chart for frequency offset versus SNR under different frequency offset

由圖4看出，在頻偏估計(jì)范圍內(nèi)，在低于某個信噪比門限下，性能急劇惡化。這是由于當(dāng)信噪比過低時，由于噪聲的影響，不能正確判斷出最大幅值的位置，致使估計(jì)出現(xiàn)較大偏差。當(dāng)信噪比大于信噪比門限時，頻偏方差接近于克拉美-羅界，性能很好。本算法的信噪比門限能達(dá)到-5 dB完全滿足實(shí)際需要。

3.3 與經(jīng)典算法性能比較

圖5是在信噪比為-5 dB下，歸一化頻偏feT在0.04～0.08范圍內(nèi)新算法，F(xiàn)FT算法及RIFE算法估計(jì)方差隨頻偏變化曲線圖。

圖5 估計(jì)方差隨頻偏變化曲線圖Fig.5 Variance chart for estimation mean square error versus frequency offset

從圖5中可以看出，新算法在性能上相對于FFT算法有了很大提高。這是因?yàn)镕FT算法只是利用最大幅值點(diǎn)估計(jì)頻偏，存在能量泄露和柵欄效應(yīng)，估計(jì)性能很差，新算法不僅利用到最大幅值點(diǎn)估計(jì)頻偏，還通過最大幅值點(diǎn)2側(cè)的點(diǎn)來改善其性能，克服了FFT算法能量泄露和柵欄效應(yīng)，使得估計(jì)性能有很大改善。

新算法與RIFE算法相比，在某些頻偏范圍內(nèi)性能有了明顯的改善。這是因?yàn)?，對于RIFE算法，當(dāng)信號的真實(shí)頻率處于兩相鄰量化頻率之間的中心區(qū)域時，Rife算法精度很高；但是在FFT量化頻率附近時，由于噪聲的影響，會導(dǎo)致次最大幅度的選取錯誤，致使RIFE算法比FFT算法估計(jì)誤差要大得多。而新算法通過比較頻譜搬移后的最大幅值|B′k|和搬移前的最大幅值|Bk|，來判斷δ正負(fù)號是否取反，克服了RIFE算法FFT量化頻率附近時誤差較大的缺點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文提出了一種在突發(fā)通信中利用離散傅里葉變換（DFT）內(nèi)插技術(shù)的載波頻偏估計(jì)算法。這種算法通過DFT變換可以很好地對頻率偏移進(jìn)行估計(jì)，而沒有增加數(shù)據(jù)長度。當(dāng)信噪比大于信噪比門限（-5 dB）時，載波頻偏估計(jì)精度接近克拉美-羅界，而估計(jì)范圍可以達(dá)到±0.5的符號速率。新算法相對于FFT算法和RIFE算法估計(jì)精度上有了很大改善，相比于其他幾種傳統(tǒng)算法，對于頻偏的估計(jì)，在精度、范圍可與M&M算法相比擬，而復(fù)雜度要低得多，并且新算法所使用的FFT技術(shù)已經(jīng)很成熟，相關(guān)的硬件實(shí)現(xiàn)都比較容易。

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A High-Precision Carier Frequency Offset Estimation Algorithm Based on DFT

ZHU Qian-kun1,XU Yang2,LIU Dong-xin1,YU De-hai1
（1.Department of Training,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The 91372ndUnit of PLA,Shanghai 200436,China）

According to the problem for the carrier frequency synchronization in wireless digital communications,a new carrier frequency offset estimation algorithm was proposed.Using the discrete fourier transform(DFT)interpolation technique, the carrier frequency offset was estimated in a wide frequency offset range,and the estimation accuracy was greatly improved,relative to the DFT.This algorithm does not increase the DFT data length for burst work.Finally,a Monte Carlo simulation experiment was done,and the simulation results showed that the new algorithm not only had a wide range of estimates,but also had high estimation accuracy.

carrier synchronization;frequency offset estimation;burst synchronization;the DFT algorithm

TN925

A

1673-1522（2014）04-0329-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.04.007

2014-03-24；

2014-05-05

朱乾坤（1965-），男，副教授，碩士。