李爽，江涌，李君龍，張奕群

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854； 2.中國航天科工集團 防御技術研究院，北京 100854)

0 引言

大氣層內目標攔截彈末制導側窗探測技術的采用對中末制導交班提出特殊要求。除此之外，中制導過程還要受到氣動熱、過載、動壓、迎角等對狀態(tài)和輸入的約束。針對中末制導交班約束，文獻[1-2]分別研究了基于虛擬目標的LQR(linear quadratic regulator)中制導律和虛擬目標的位置參數(shù)設置方法。攔截彈在該導引律作用下可以在中制導末端滿足側窗視場和交班高度等要求，為中末制導交班提供良好的條件。但是，LQR不能處理控制和狀態(tài)約束，并且在處理環(huán)境的多變性方面缺少預見性。

模型預測控制(model predictive control,MPC)憑借其特有的滾動時域優(yōu)化和多步預測措施，在保證系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定方面顯示著巨大的優(yōu)越性[3]。尤其是其顯式處理狀態(tài)和輸入約束的功能使其在有約束系統(tǒng)領域受到推崇，目前已經(jīng)應用到航天飛機、衛(wèi)星姿態(tài)控制等領域[4]。文獻[5-7]提出了適用于各類采用慣性彈道與非慣性彈道的再入飛行器的預測制導律的設計方法，但此類方法只針對確定目標，主要用于再入階段的系統(tǒng)不確定性。文獻[8]通過迭代優(yōu)化，不斷修正控制模型參數(shù)，保證飛行器順利進入末制導。然而，MPC的滾動優(yōu)化所要求的繁重的計算量阻礙其在快速取樣系統(tǒng)中的推廣。針對此問題，文獻[9]提出牛頓-辛普森模型預測控制(Newton-Raphson MPC,NRMPC)，通過將部分在線計算轉嫁到離線過程，大大降低了在線計算量。文獻[10-12]又對NRMPC進行了改進，使MPC在快速取樣系統(tǒng)中的廣泛應用成為可能。

基于上述研究成果，本文先設計出針對虛擬目標的常系數(shù)次最優(yōu)制導律，再通過對控制信號引入有限維擾動，建立雙模閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，再通過模型擴展和在線優(yōu)化問題幾何意義的分析，引入牛頓-辛普森算法完成在線計算，以提高計算效率。

1 彈目運動學模型

針對大氣層內目標攔截彈的側窗探測對中末制導交班的特殊要求，文獻[1-2]提出一種虛擬目標的設置方法，如圖1所示，虛擬目標T′相對于實際目標T靜止，攔截彈以虛擬目標位置和速度所決定的終端彈道角σh和終端視線角qh與T′交會時，實際目標正好落在攔截彈導引頭的給定視場位置，且相對于實際目標的瞬時脫靶量為0。這一交會過程構成中制導過程，其彈道可以很好地滿足中末制導交班的特殊要求。

圖1 攔截彈與虛實目標位置示意圖Fig.1 Sketch map of interceptor，virtual and actual targets position

由圖1得攔截彈與虛擬目標的相對運動方程

(1)

(2)

η=σ-q，

(3)

ηT′=π-σT′-q.

(4)

(5)

式中：

x1(th)=0，x2(th)=0,th為交點時間。

假設攔截彈在中制導過程中的熱約束、過載和動壓等約束適當處理后，可以簡化成下面的一般形式

Hx≤h.

(6)

2 雙模預測制導律

為了保證閉環(huán)攔截系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自適應性，應該采用時變反饋控制律制導。又由于系統(tǒng)存在嚴格的控制和狀態(tài)約束，因此采用能顯式處理多變量約束的模型預測控制方法。若直接對非線性系統(tǒng)(5)提出預測控制，在線計算量太大，難以在快速取樣系統(tǒng)中實現(xiàn)。為了保證系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性，并減小在線計算量，這里提出雙模預測中制導律，整個控制策略如圖2所示[9]。

圖2 雙模預測控制模型Fig.2 Model of dual mode predictive control

反饋控制系統(tǒng)的前N步構成模1，采用約束條件下的優(yōu)化自由控制律，通過這N步的控制，使N+1時刻的狀態(tài)進入x的集合εx內；N步之后構成模2，采用常系數(shù)反饋控制，即

模1u=Kxk+c,Hx≤h,k=1,2，…,N,

(7)

模2u=Kxk,xk∈εx,k=1,2，…,N.

(8)

這里的εx定義為模2中的常系數(shù)反饋控制律下的可行不變集，即εx內的所有狀態(tài)均滿足約束(可行性)，且只要k時刻xk∈εx，則xk+1∈εx成立(不變性)。反饋控制律擬采用下面的次最優(yōu)制導律。

2.1 次最優(yōu)制導律設計方法

式中:p=v/vt。

式(5)中的參數(shù)矩陣變?yōu)?/p>

取二次性能指標函數(shù)

(9)

應用最優(yōu)控制理論，可得系統(tǒng)的最優(yōu)制導律

u=-R-1BTPx.

(10)

解Riccati方程

P(t)B(t)R-1BT(t)P(t)-Q(t)，

(11)

P(t)的終端條件P(tf)=C。

式(11)可以分解為下面2個方程

(12)

(13)

W(t)和Y(t)的終端條件為

W(tf)=I,

Y(tf)=C.

Riccati矩陣微分方程的解為

P(t)=Y(t)W-1(t).

(14)

u=k1x1+k2x2，

(15)

式中：k1和k2的值隨c1和c2的取值而不同。

根據(jù)對制導過程中可用過載和導引頭視線偏差角的要求，一般情況下，k1可取值0.05～0.2，k2可取值2～6，k1的值越大，交接段導引頭視線偏差角越小，但是如果k1過大，則會增大中制導末端的預測脫靶量。k2的取值規(guī)律及作用類似于比例導引。

2.2 基于吊裝模型的雙模預測制導

xk+1=Adxk+Bduk，
Ad=TA+I,Bd=TB，
uk=Kxk，

(16)

式中：T為采樣時間。

終端狀態(tài)約束xtf為0的情況下，式(9)中的指標函數(shù)簡化為

(17)

式中：xk+i，uk+i表示預測狀態(tài)和輸入向量。

為了保證過程約束得到滿足，如圖2所示，在次優(yōu)化狀態(tài)反饋控制信號上引入擾動項ck+i|k,i=1,…,N，于是雙模預測控制律可以表述為

(18)

相應的閉環(huán)系統(tǒng)

xk+1=Φdxk+Bdck|k，

(19)

式中：Φd=Ad+BdK。

式(19)又可以擴展成自治狀態(tài)空間模型

(20)

式中：m表示Bd的行數(shù)；E表示Nm×Nm維的單位矩陣的前m行。若存在關于z的可行不變集Ez，定義如下

(21)

則由Schur補定理知，Qz滿足下面2個約束：

(1) 不變性

(22)

(2) 可行性

(23)

i=1,…,p，

(24)

(25)

min lg det(SQzST)-1,
s.t. (22),(23).

(26)

只要N足夠大，就可以得到滿足式(22)，(23)的Qz，于是， 只要f滿足z∈Ez，預測軌跡的可行性和不變性便得到滿足。

K和Qz確定之后，在整個導引過程中不再改變，因此其計算過程可以離線執(zhí)行。擾動項ck+i|k專門用來保證預測軌跡的可行性和不變性。K確定之后，在線優(yōu)化過程中的目標函數(shù)(17)可以簡化為

J(f)=fTf.

(27)

于是可得下面的導引控制步驟：

在線計算：在每個采樣時刻執(zhí)行優(yōu)化

(28)

通過式(18)執(zhí)行f的第1個元素ck|k，下一時刻重新優(yōu)化f。

2.3 在線優(yōu)化問題的計算

在每個采樣時刻，x已知的情況下，式(28)定義了一個關于f的橢球面，記為εf。上述優(yōu)化問題的解若存在，從幾何意義上說應當是從原點到橢球面εf的最短距離向量，記為f*，則f*既與εf相交，又與εf在相交點處的切面垂直，即f*既滿足式(28)，又滿足

f=λ(Q22f+Q21x).

(29)

合并式(29)中關于f的項，得

f=λΓQ21x,Γ=(I-λQ22)-1.

(30)

代入式(28)得關于λ的方程

(31)

λ是τ(λ)的唯一負實根(另一實根為正，對應的f具有從原點到εf的最遠距離)。因此可以用牛頓-辛普森方法求解。于是在線計算問題概括為

(1)f=0滿足式(28)時，取f*=0；

(2) 否則，用牛頓-辛普森方法求解式(31)得λ，代入式(28)得f*。

3 仿真

目標選擇高超聲速巡航導彈，平均飛行Ma數(shù)為6，與水平方向成175°。攔截彈平均Ma數(shù)為7.5。雙模預測中制導律啟動時，目標位置(500,40)km，攔截彈位置(120,30) km，迎著目標平飛。要求中末制導交班距離L=60 km，目標相對于攔截彈導引頭的視線與彈軸夾角ξ*=9°。另外要求中制導過程輸入不大于0.02 rad/s。

由文獻[1]中的方法生成的虛擬目標起始位置為(460,44) km，飛行速度與實際目標相同。

圖3和圖4分別給出2.1中的常系數(shù)導引律和2.2中的雙模預測導引律下的攔截彈道軌跡和輸入曲線。結果顯示，雙模預測制導能夠很好地保證閉環(huán)系統(tǒng)的可行性，并使整體性能指標得到進一步優(yōu)化，其中常系數(shù)次優(yōu)化導引律的實際性能指標為0.016 2，雙模預測導引律0.010 1。

圖3 攔截彈道軌跡Fig.3 Missile trajectories for interceptor

圖4 輸入曲線Fig.4 Curve for inputs

4 結束語

本文針對大氣層內目標攔截彈既要滿足末制導側窗探測對中制導末端時刻，彈目相對距離和位置的要求，又要滿足飛行過程中的過載、動壓等約束的問題提出了雙模預測制導律。該導引律通過引入有限維輸入擾動量保證了閉環(huán)系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性，同時實現(xiàn)對性能指標的進一步優(yōu)化。仿真結果證明該導引律可以很好地保證過程約束得以滿足，并且可以有效減小性能指標值。研究預測制導在攔截彈中制導過程的應用具有重要的理論價值和實踐意義。

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