●鄭大明

一天， 孫子用積木擺了一座如圖1 所示的 “房子”。

圖1

我問(wèn)他：“積木是什么樣子的呀？它們有幾個(gè)？”他說(shuō)：“方形的，三個(gè)；三角形的一個(gè)呀！ ”接著他告訴我，老師只問(wèn)了他們每個(gè)積木的顏色和軟硬。 我告訴他，爺爺這個(gè)叫數(shù)學(xué)問(wèn)法，老師那個(gè)叫物理問(wèn)法。 等以后長(zhǎng)大了， 兩種你都會(huì)問(wèn)了。 他高興地說(shuō)：“我要做數(shù)學(xué)大人，還要做物理大人。 ”

是呀，孫子要做“數(shù)學(xué)大人”。 我就琢磨，他怎樣才能從“數(shù)學(xué)幼兒”變成“數(shù)學(xué)大人”呢？ 需要有什么本領(lǐng)才是“數(shù)學(xué)大人”呢？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版） 開(kāi)篇就指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”。數(shù)量關(guān)系是什么呢？ 通俗地講就是關(guān)于事物的個(gè)數(shù)以及事物的多與少，大與小，長(zhǎng)與短等信息。空間形式又是什么？就是關(guān)于事物的樣子即形狀， 以及事物所在的位置比如上邊或者下邊、前面或者后面，還有事物運(yùn)動(dòng)的方式比如汽車輪子是滾動(dòng)著走的還是滑動(dòng)著走等信息。如果把握了數(shù)學(xué)的這個(gè)本質(zhì)內(nèi)涵，我們就知道如何把小孩子培養(yǎng)成“數(shù)學(xué)大人”了。

一、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)知：有數(shù)學(xué)家的耳朵和眼睛

我們認(rèn)識(shí)一樣?xùn)|西，心理學(xué)上叫做認(rèn)知。數(shù)學(xué)認(rèn)知就是用數(shù)學(xué)家感知和認(rèn)識(shí)事物的方法去收集事物的信息。 如果你會(huì)用數(shù)學(xué)家的看、聽(tīng)、摸等方法去收集信息了，你就形成“數(shù)學(xué)認(rèn)知”本領(lǐng)了。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家認(rèn)知事物的三個(gè)本領(lǐng)，即數(shù)感、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念。

所謂數(shù)感，就是想到用看、聽(tīng)和摸等方式了解事物的個(gè)數(shù)或多少的本領(lǐng)。 如圖2，一盤(pán)雞蛋多少個(gè)？一筐雞蛋多少個(gè)？

圖2

一盤(pán)雞蛋個(gè)數(shù)少，正常人用眼睛一看，邊看邊數(shù)邊念，一，二，三。 你就知道了雞蛋是3 個(gè)，旁邊的人也聽(tīng)到了雞蛋是3 個(gè)。 瞎子怎么辦？ 聽(tīng)你邊念邊數(shù)，也知道了。他也可以自己用手邊摸邊數(shù)，知道雞蛋是3 個(gè)。一筐雞蛋，你能只看就數(shù)出來(lái)了嗎？那不行，有些被遮住了，需要分揀出來(lái)，邊撿邊數(shù)了。

同時(shí)，通過(guò)這些信息收集活動(dòng)，你也就知道了盤(pán)子里面的雞蛋個(gè)數(shù)比筐子里的少，反過(guò)來(lái)筐子里的雞蛋比盤(pán)子里的多。

所謂空間觀念，就是想到用形狀、方位、位置、運(yùn)動(dòng)等知識(shí)去了解事物的本領(lǐng)。

如圖3，看到這個(gè)箱子圖片你想說(shuō)些什么？

圖3

圖4

“箱子是木頭做的?！边@不是數(shù)學(xué)家的眼光。數(shù)學(xué)家說(shuō)：“箱子是正方體形狀的。 ”“箱子有一個(gè)面用木條釘成三角形了?！薄跋渥拥? 個(gè)面都釘了木塊?！薄搬斢行蹦緱l的面不在前面，也不再上面。”“箱子不容易滾動(dòng)；容易推著滑動(dòng)，也就是平移。 ”

當(dāng)然，空間觀念還包括“看圖形想實(shí)物”，“看句子想圖形、想位置或者畫(huà)圖形”等內(nèi)容。 如圖4，根據(jù)下面的圖形設(shè)計(jì)制作一個(gè)禮品盒， 并在上面貼一朵花，在周圍畫(huà)上卡通畫(huà)或者寫(xiě)上祝福語(yǔ)。

所謂數(shù)據(jù)分析觀念， 就是能想到用收集數(shù)據(jù)的方法研究一些事物或者現(xiàn)象發(fā)生的情況以及預(yù)測(cè)其發(fā)展勢(shì)頭的本領(lǐng)。

如，家長(zhǎng)：“請(qǐng)問(wèn)張老師，五年級(jí)的3 個(gè)班，哪個(gè)班好一些，我想把孩子轉(zhuǎn)到那個(gè)班去。 ”張老師：“3個(gè)都還可以，轉(zhuǎn)哪個(gè)班都沒(méi)問(wèn)題。 ”

數(shù)學(xué)家：“請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，五年級(jí)的3 個(gè)班，哪個(gè)班好一些？ 我們想知道哪些班能保持‘優(yōu)秀班集體’。 ”

學(xué)生：“你去查看各班的成績(jī)單吧，老師那有。 ”“你去班上問(wèn)同學(xué)嘛！ ”

數(shù)學(xué)家看成績(jī)單和到班上去問(wèn)學(xué)生， 都是調(diào)查研究、采集數(shù)據(jù)和分析情況的好方法。拿到成績(jī)單數(shù)一數(shù)，排一排，就知道哪個(gè)班成績(jī)好，成績(jī)好的人數(shù)有多少。問(wèn)同學(xué)就知道哪個(gè)班表現(xiàn)好了。有了這個(gè)本領(lǐng)就不會(huì)像張老師那樣回答：“都可以。 ”或者“二班好點(diǎn)。 ”這樣回答，沒(méi)有說(shuō)服人的證據(jù)或者理由。

數(shù)學(xué)家認(rèn)知事物，最重要的就是有序地認(rèn)知。認(rèn)知時(shí)做到依次序，不重復(fù)不漏掉需要認(rèn)知的東西。

數(shù)雞蛋等事物的個(gè)數(shù)， 一般按照由少到多的順序，一個(gè)一個(gè)地、一十一十地接著往下數(shù)；數(shù)水果等幾種事物的個(gè)數(shù)，就要先分開(kāi)蘋(píng)果啊、香蕉啊和梨啊，分類以后再?gòu)纳俚蕉嗟財(cái)?shù)；數(shù)家里來(lái)的客人，就要從屋里到屋外依次一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)完；看箱子有幾個(gè)面，就要從上到下，從左往右，從前往后依次數(shù)完6 個(gè)面。

像給你一個(gè)圓形，叫你聯(lián)想真實(shí)的事物，你就得從身邊近的東西開(kāi)始觀察，再到離自己遠(yuǎn)的東西。先看身邊的鐘表、杯子、碗等，再看遠(yuǎn)處的汽車輪子、風(fēng)車，再想天上的太陽(yáng)、月亮；從熟悉的東西開(kāi)始慢慢到陌生的東西。

二、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)：有數(shù)學(xué)家的嘴巴和鉛筆

我們說(shuō)話，在心理學(xué)上叫做表達(dá)。表達(dá)的目的是傳播或者交流信息， 是一個(gè)人向另一個(gè)人或一群人傳播或者交流信息。有了這種本領(lǐng)，你就能夠在人群中相互溝通了。表達(dá)經(jīng)過(guò)無(wú)記錄到有記錄地發(fā)展，分為口頭表達(dá)和書(shū)面表達(dá)。口頭表達(dá)就是用嘴說(shuō)，用聲音符號(hào)傳達(dá)信息； 書(shū)面表達(dá)在白紙或者電腦等東西上用文字和圖形符號(hào)傳遞信息。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家表達(dá)信息的兩個(gè)本領(lǐng)，即符號(hào)意識(shí)和幾何直觀。

所謂符號(hào)意識(shí)，就是想到了用約定的、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)傳播所了解到的事物信息的本領(lǐng)。

數(shù)學(xué)家常用的符號(hào)有文字符號(hào)如一、二、三等，數(shù)字符號(hào)如 0，1，2，3 等， 字母符號(hào)如 a、b、c 和 x、y、z等，幾何符號(hào)如點(diǎn)、線、面、體等，圖形符號(hào)如〇、☉、☆、□等。 還有許多規(guī)定的符號(hào)如“＞、＜、=、（ ）、[ ]”等。

數(shù)學(xué)家用的聲音符號(hào)，就是指對(duì)每一種文字、數(shù)字和幾何符號(hào)等，都規(guī)定一個(gè)對(duì)應(yīng)的讀音（每個(gè)不同的民族或者國(guó)家， 對(duì)同一個(gè)符號(hào)的讀音都不一定相同）。或者反過(guò)來(lái)說(shuō)，對(duì)生活中人們的讀音，都對(duì)應(yīng)一個(gè)文字、數(shù)字或者幾何符號(hào)等去記錄。 比如“0”讀作“零”，“=”讀作等于；“☉”讀作圓。

有了這些符號(hào)我們就能傳播和記錄事物的大小、多少、形狀等數(shù)學(xué)信息了，就能像數(shù)學(xué)家那樣說(shuō)話了。 例“三角形什么樣子的？ ”“三角形有 3 個(gè)角，3條邊，3 個(gè)頂點(diǎn)”。

所謂幾何直觀， 就是想到了用約定的幾何符號(hào)點(diǎn)、線、面、體等來(lái)傳播一些沒(méi)有形狀特點(diǎn)的事物或現(xiàn)象的本領(lǐng)。比如記錄天氣變化的天氣實(shí)況圖，記錄心臟律動(dòng)的心電圖等，都不是真正意義上的有形事物，但是我們用上幾何元素表示，就能直觀地說(shuō)明問(wèn)題。如圖5，這些交通標(biāo)志牌上的幾何圖形符號(hào)，簡(jiǎn)單明白地給司機(jī)們提示了哪些能行走、哪些不能行走、要注意些什么的信息。你想，要是每個(gè)需要提示的地方派一個(gè)人或者一個(gè)大喇叭在那里 “哇啦哇啦” 地提示，那效果會(huì)是怎樣的呢？

圖5

這里的圖形符號(hào)表示的是一種交通運(yùn)行現(xiàn)象或者行為狀態(tài)，而不是一個(gè)事物真實(shí)的形狀或者樣子。

如圖6 是一張汕頭市平均月氣溫和降水量統(tǒng)計(jì)圖。這里的溫度和降水量也是一個(gè)沒(méi)有形狀的事物，但是通過(guò)用這些點(diǎn)、線和直條表達(dá)出來(lái)，人們一下就能感受它們的存在，也能很容易地知道了它們的發(fā)展變化狀態(tài)，可以預(yù)測(cè)明年大致每個(gè)月的氣溫和降水量的情況了。

數(shù)學(xué)家說(shuō)話，最重要的就是注意了以下四點(diǎn)：

一是客觀真實(shí)。 數(shù)學(xué)不允許像童話故事那樣瞎編。 比如，小明說(shuō)：“超人奧特曼昨天給我200 元錢(qián)，今天早上買(mǎi)了2 個(gè)包子和1 碗稀飯，還剩193 元。 ”

圖6

二是科學(xué)準(zhǔn)確。使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，不管是聲音符號(hào)還是文字、字母符號(hào)，都不能用錯(cuò)了，因?yàn)橛缅e(cuò)了別人就聽(tīng)不懂或者看不懂了。 比如135，讀音記錄為一百三十五，不能寫(xiě)成“一白山石午”。也不能用模棱兩可的語(yǔ)言或者符號(hào)。 比如“一頭牛重四百1000 克。 ”這里的“1000 克”和“1 千克”，看起來(lái)意義上好像區(qū)別不大，但是在計(jì)數(shù)規(guī)則上，就不一樣。 1000 克是以“1 克”為計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)單位，意思是 1000 個(gè)“1 克”；而1 千克是以“千克”為計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)單位，意思是1 個(gè)“1 千克”。 因此，應(yīng)該寫(xiě)成“一頭牛重 400 千克。 ”

三是簡(jiǎn)單明了。數(shù)學(xué)家表達(dá)的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單。比如交通標(biāo)志的第一和第二排，一看圖形就明白意思，就不需要加文字。 第三排比較復(fù)雜， 就加了簡(jiǎn)單的文字。通常來(lái)講，如果一個(gè)詞語(yǔ)或者一個(gè)符號(hào)能說(shuō)清楚的，就絕不使用兩個(gè)。

四是圖文并茂。表達(dá)比較復(fù)雜的事物，往往需要文字符號(hào)與圖片、圖形或者圖形符號(hào)一起使用，才方便說(shuō)清楚意思。 比如上面圖5 的“禁行標(biāo)識(shí)”和圖6的“氣溫和降水量統(tǒng)計(jì)圖”，既有文字說(shuō)明，又有符號(hào)、圖形等。

三、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考：有數(shù)學(xué)家的大腦和胸襟

我們想問(wèn)題，在心理學(xué)上叫做思考，想的過(guò)程叫做思維。數(shù)學(xué)家想問(wèn)題，有兩個(gè)關(guān)鍵，一個(gè)是情緒，一個(gè)是方式。也就是說(shuō)，一要靜下心來(lái)，心平氣和，不偏不倚，實(shí)事求是，在社會(huì)學(xué)里面叫做中立，在數(shù)學(xué)上叫做理性精神。二要有思考的路徑，從哪里開(kāi)始到哪里結(jié)束，用什么作參照，用什么做比較，他們都有相應(yīng)辦法。 如果沒(méi)有這些東西作支撐，就可能胡思亂想，沒(méi)有結(jié)果。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家想問(wèn)題的兩個(gè)本領(lǐng)，即模型思想和推理能力。

所謂模型思想，就是想到了要建立若干個(gè)想問(wèn)題的參照標(biāo)準(zhǔn)的本領(lǐng)。 這些參照標(biāo)準(zhǔn)既可以是生活中有的東西，也可以是我們大家約定俗成的一些東西。 像雷鋒叔叔，就是生活中的好人模型。 一說(shuō)做好事了，大家馬上就想到和雷鋒叔叔比一比，看自己做的是不是雷鋒做的那些好事。

數(shù)學(xué)家塑造了許許多多這樣的標(biāo)準(zhǔn)化模型。 比如，數(shù)的模型與加法模型。 如表1 中的實(shí)物，我們發(fā)現(xiàn)蘋(píng)果、 蜜蜂和足球， 在生活中他們幾乎沒(méi)什么聯(lián)系。但是在表格中，數(shù)每一列事物個(gè)數(shù)的次數(shù)也就是頻率是一樣的。 因此， 我們先用點(diǎn)子表示數(shù)數(shù)的次數(shù)，有了數(shù)數(shù)的模型。 再給他一個(gè)讀音，有了“yī、èr、sān、sì”這樣的聲音模型，我們就可以說(shuō)話了。以后數(shù)任何東西，凡是數(shù)“●”的，就說(shuō)“yī”，數(shù)“●●”的，就說(shuō)“èr”。 嘴上能說(shuō)了，數(shù)學(xué)家又規(guī)定了寫(xiě)數(shù)的符號(hào)化模型“一、二、三、四......”，再后來(lái)引進(jìn)了國(guó)際上通用的阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)“1，2，3，4……”進(jìn)行書(shū)寫(xiě)。

表1

如表2 中的點(diǎn)字圖，呈現(xiàn)了加法模型的基本形成過(guò)程，從若干個(gè)類似的黑白點(diǎn)子組合，抽象出兩部分合成一個(gè)整體的過(guò)程，再用語(yǔ)言和式子記錄這個(gè)過(guò)程。于是，整個(gè)一個(gè)從點(diǎn)子模型到式子模型的加法模型就形成了。

表2

后來(lái)，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型中的兩部分，無(wú)論先寫(xiě)哪一部分，結(jié)果都是一樣的。 于是出現(xiàn)了A+B=B+A 以及7=1+6=2+5=3+4 的衍生模型。

類似的模型還很多種類，如圖7 中（1）是計(jì)數(shù)單位的模型；（2）計(jì)量單位的模型；（3）基本圖形的模型。有了這些基本的模型，我們就可以借助它們思考和研究更復(fù)雜的問(wèn)題。

圖7

所謂推理能力，就是想到運(yùn)用已知模型或者研究出的結(jié)論進(jìn)行肯定與否定，從而得出新結(jié)論的本領(lǐng)。 這里涉及兩個(gè)詞語(yǔ)，概念和判斷。 利用概念對(duì)事物的某些特征進(jìn)行肯定和否定，就是判斷。

西方人把推理過(guò)程叫做邏輯 （源自古典希臘語(yǔ)logos）。邏輯三要素是概念、判斷和推理。上面講了推理和判斷，現(xiàn)在說(shuō)說(shuō)概念。

概念就是數(shù)學(xué)家想問(wèn)題時(shí)使用的參照標(biāo)準(zhǔn)，也就是基本模型。從前面的研究發(fā)現(xiàn)，有些模型是生活中的實(shí)物或者數(shù)學(xué)家根據(jù)事物共同的形狀特點(diǎn)約定的圖形元素，用起來(lái)很直觀、很形象；有些模型沒(méi)有實(shí)物或者事物的圖形元素做標(biāo)準(zhǔn)，只能靠語(yǔ)言、文字來(lái)進(jìn)行說(shuō)明的，比如“加法”“負(fù)數(shù)”“圓周率”等。 于是，邏輯學(xué)上把借助實(shí)物或圖形元素想問(wèn)題的過(guò)程，叫做形象思維； 借助非實(shí)物或者圖形元素想問(wèn)題的過(guò)程，叫做抽象思維。

邏輯學(xué)上還把推理分為歸納推理和演繹推理等幾種形式。 所謂歸納推理就是舉出許多實(shí)物或者基本模型的共同點(diǎn)進(jìn)行綜合判斷，得出新結(jié)論的過(guò)程。

如圖8，看圖片，孩子們很容易發(fā)現(xiàn)這些昆蟲(chóng)的共同點(diǎn)得出結(jié)論：“昆蟲(chóng)都有6 只腳和1 對(duì)翅膀”。

圖8

一些同學(xué)還能馬上舉出蜜蜂、蟬、蝴蝶、金龜子、天牛子等等都是昆蟲(chóng)的例子。也有同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：昆蟲(chóng)不是都有1 對(duì)翅膀嗎？跳蚤的翅膀呢？最后查閱資料，才發(fā)現(xiàn)跳蚤的翅膀退化了，屬于變態(tài)昆蟲(chóng)。 但跳蚤的腿腳很發(fā)達(dá)，于是才跳著走的。

這就屬于演繹推理了。所謂演繹推理，就是運(yùn)用已知結(jié)論對(duì)需要作出判斷的事物或現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比判斷得出新結(jié)論的過(guò)程。 因?yàn)椋ハx(chóng)都有一對(duì)翅膀，是先前的結(jié)論。既然跳蚤是昆蟲(chóng)，那么跳蚤的翅膀在哪里？

按照形式邏輯的演繹推理三段論格式表達(dá)上述過(guò)程就是：

四、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地運(yùn)用：有數(shù)學(xué)家的雙手和雙腳

我們做事情，要用到我們的身體和學(xué)來(lái)的知識(shí)，這在心理學(xué)上就叫做運(yùn)用。 前面講的都是數(shù)學(xué)家怎樣運(yùn)用自己的眼睛、嘴巴、耳朵和大腦了解事物的信息和想問(wèn)題。 其實(shí)，要像數(shù)學(xué)家那樣做事情，前面講的那些就是關(guān)鍵的組成要素。 如果你不會(huì)看， 不會(huì)說(shuō)，不會(huì)想，就談不上會(huì)做。 即使你照著別人設(shè)計(jì)好的圖紙、想好的方案、擺好的模型模仿一輩子，你也很難有自己的思想和方法，做不出大的成績(jī)來(lái)。因此我們說(shuō)“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地做”就是要像數(shù)學(xué)家那樣，自己看，自己想，自己說(shuō)，自己做。這就是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）上告訴的數(shù)學(xué)家做事情兩個(gè)關(guān)鍵本領(lǐng)，即創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

所謂實(shí)踐能力就是包括照著別人的圖紙與方案模仿做事情和自己獨(dú)立做事情的本領(lǐng)。

所謂創(chuàng)新意識(shí)就是專指自己獨(dú)立看、 自己獨(dú)立說(shuō)、自己獨(dú)立想、自己獨(dú)立做的本領(lǐng)了，而且特別強(qiáng)調(diào)你要看到別人沒(méi)有看到的，說(shuō)出別人沒(méi)有說(shuō)出的，想到別人沒(méi)有想到的，做出別人沒(méi)有做出的。

同時(shí)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）還告訴了數(shù)學(xué)家做事情的一個(gè)專項(xiàng)本領(lǐng)，即運(yùn)算能力。

很多人認(rèn)為，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)了，這個(gè)本領(lǐng)沒(méi)啥用了。 其實(shí)，數(shù)學(xué)家具備的運(yùn)算能力，不是把自己訓(xùn)練成會(huì)計(jì)算題目的機(jī)器，而是具備一種態(tài)度和一種規(guī)則意識(shí)。即做任何事情都要一絲不茍和按規(guī)則辦事。就像計(jì)算數(shù)學(xué)題，不專心觀察、不認(rèn)真書(shū)寫(xiě)、注意力不集中就容易出錯(cuò)； 不按運(yùn)算法則去做就很難找到合適的答案。 比如“先乘除，后加減；先括號(hào)里，再括號(hào)外”是先輩或者大家共同總結(jié)出來(lái)的規(guī)則，你照著做就會(huì)很快得出答案。 但是，如果遇到特殊數(shù)據(jù)，你會(huì)嘗試按照一些規(guī)律和性質(zhì)改變一下運(yùn)算順序，就會(huì)找到簡(jiǎn)便的算法，更快更好地完成任務(wù)。如果再遇到更特殊的運(yùn)算數(shù)據(jù)，完全靠自己去尋找更新、更獨(dú)特的思路和算法， 得出答案或結(jié)論， 你就是數(shù)學(xué)家了。 比如，成功發(fā)布“陳式定理”的陳景潤(rùn)、成功創(chuàng)造“統(tǒng)籌優(yōu)選法”的華羅庚、成功解決“孿生素?cái)?shù)界限問(wèn)題”的張益唐等，就是這樣的數(shù)學(xué)家。

因此，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家做事，那么長(zhǎng)大后如果按照一定的規(guī)則辦事，就會(huì)很順利地完成任務(wù)。如果我們解決問(wèn)題過(guò)程中還學(xué)會(huì)了自己看、 自己想、 自己說(shuō)、自己做，練就了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”的本領(lǐng)，那你就是真正的“數(shù)學(xué)大人”。